2010年高考数学理科试题解析版(全国卷I).doc

绝密 启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 本试卷分第 I卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I卷 1至 2页 第 卷 3 至 4页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 I卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准 考证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I卷共 12小题 每小题 5分 共 60分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 参考公式 如果事件 A B互斥 那么 球的表面积公式 PP 24SR 如果事件 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 A 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p 那么 34V n 次独立重复试验中事件 恰好发生 k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 12 knknPCpn 一 选择题 1 复数 32i A i B i C 12 13i D 12 13i 1 A 命题意图 本小题主要考查复数的基本运算 重点考查分母实数化的转化技巧 解析 1 32 36941iiii 解析 2 23ii 2 记 cos 80 k 那么 tan10 A 21k B 21k C 2k D 21k 2 B 命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识 并突出 了弦切互化这一转化思想的应用 解析 1 222sin801cos80cos 80 k 所以 tan10ta8 cok 解析 2 s 80 cos 80 k 0in1i sintan1 80oocc 2k 3 若变量 xy满足约束条件 1 02 yx 则 2zxy 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 3 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 1 画出可行域 如右图 由图可知 当直线 l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大值为max2 3z 解析 2 12zxyxz 画图知过点 1 是最大 123Maxz 4 已知各项均为正数的等比数列 na 23 5 789 10 则 0 xy 1Oyx y20 xy x A 0 2ly L0 A 456a A 2 B 7 C 6 D 42 4 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等 知识 着重考查了转化与化归的数学思想 解析 1 由等比数列的性质知 312312 5aa A 378978 aa A 10 所以 850 所以 1336456452 a 5 3 12 x 的展开式中 x的系数是 A 4 B 2 C 2 D 4 解析 2 13a 5 325 789a 10 3810 658460 5 C 解析 2 12451335 3322 1 6850 xxxx x的系数是 10 12 2 6 某校开设 A类选修课 3门 B 类选择课 4门 一位同学从中共选 3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 6 A 命题意图 本小题主要考查分类计数原理 组合知识 以及分类讨论的 数学思想 解析 1 可分以下 2种情况 1 A 类选修课选 1门 B 类选修课选 2门 有234C 种不同的选法 2 A 类选修课选 2门 B 类选修课选 1门 有 134C种不 同的选法 所以不同的选法共有 134C 18230 种 A B CD A1 B1 C1D1 O 解析 2 33740C 7 正方体 ABCD 1ABD中 B 1与平面 AC 1D所成角的余弦值为 A 23 B C 23 D 6 7 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的 求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的 具体体现 解析 1 因为 BB1 DD1 所以 B 1与平面 AC 1D所成角和 DD1与平面 AC 1所成角相 等 设 DO 平面 ACD 由等体积法得 1ACAV 即 1 133ACDACDSOS 设 DD1 a 则 1 221 3sin60 2ACDSaa 2ACDa 所以 1 32ACDO 记 DD1与平面 AC 1所成角为 则1sin3 所以 6cos3 解析 2 设上下底面的中心分别为 1 O 1与平面 AC 1D所成角就是 B 1与平面 AC1D 所成角 11 6cos 32D 8 设 a 3log2 b In2 c 125 则 A a b c Bb c a C c a b D c b a 8 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数 大小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 3log2 21 b In2 21loge 而 22l3log1e 所以 a b c 25 而 225l4l 所以 c a 综上 c a b 解析 2 a 3log2 21 b ln2 2loge 321loge 3211loge c 1254 c a b 9 已知 1F 2为双曲线 C 21xy 的左 右焦点 点 p 在 C 上 1Fp 2 06 则 P 到 x 轴的距离为 A 3 B 6 C 3 D 6 9 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转化的数 学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 不妨设点 P 0 xy在双曲线的右支 由双曲线的第二定义得21000 12aPFexexc 22000 21aPFexexc 由余 弦定理得 cos 1P 2 222111 FP 即 cos 0622200 1 1x 解得 205x 所以 203yx 故 P 到 x 轴的距离为 06 2y 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0261cot1t32FPSbchh 10 已知函数 F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 A B C D 3 10 A 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a 2b 2a 从而错选 A 这 也是命题者的用苦良心之处 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 1ba 所以 a 2b 2a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 1 3 即 a 2b 的取值范围是 3 解析 2 由 0 a b 且 f a f b 得 01a 利用线性规划得 01xy 求zxy 的取值范围问题 22zxyxz 21yx 过 点 1 时 z最小为 3 C 3 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为俩切点 那么 PAB 的 最小值为 A 42 B 32 C 42 D 32 11 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求 法 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 1 如图所示 设 PA PB x 0 APO 则 APB 2 PO 2 21sin coPABP 22 si x 2 1 x 42x 令 y 则 421 即 42 0y 由 2是实数 所以2 1 0 26y 解得 3 或 32y 故min3PAB 此时 x 解析 2 法一 设 0APB 2cos1 tancos P A B O 22221sinsincos1sinin 法二 换元 2sin 01xx 12132xPABx 或建系 园的方程为 2y 设 110 yxP 2211010110 AOPxyxyxyx 22 20 3B 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 A 23 B 43 C 23 D 83 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 1 过 CD作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB与 P 设点 P到 CD的距离为 h 则有ABCD2233Vh 四 面 体 当直径通过 AB与 CD的中点时 2max13 故max4 解析 2 0 绝密 启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2页 请用直径 0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0小题 共 90分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线 上 12x y 1 x y a O 41ay a 注意 在试题卷上作答无效 13 不等式 21x 的解集是 13 0 2 命题意图 本小题主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致 解析 1 原不等式等价于 221 0 x 解得 0 x 2 解析 2 222 11002xxx xx 14 已知 为第三象限的角 3cos5 则 tan 4 14 17 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角的 正切公式 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 1 因为 为第三象限的角 所以 2 1 2 1 kkZ 又3cos25 0 所以 2 k 于是有 4sin25 in4tas 所以 tan 2 4tant134712 解析 2 为第三象限的角 3cos5 kk 443kk 2 在二象限 4sin5 sin sinc2cosin214tan 2 7coosi44 15 直线 1y与曲线 2yxa 有四个交点 则 a的取值范围是 15 1 5 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解 法 着重考查了数形结合的数学思想 解析 1 如图 在同一直角坐标系内画出直线 1y 与曲线2yxa 观图可知 a 的取值必须满足 4 a 解得 514a 解析 2 由数型结合知 1544aa 16 已知 F是椭圆 C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段 BF的延长线交 C于点 D 且 BD ur 则 的离心率为 16 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第 二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 1 如图 2 BFbca 作 Dy 轴于点 D1 则由 ur 得1 23O 所以 13 2OFc 即 2Dcx 由椭圆的第二定义得 223 aceca 又由 BF 得 23c 整理得 20 两边都除以 2a 得 30e 解得 1 e 舍 去 或 3e 解析 2 设椭圆方程为 第一标准形式 F分 BD所成的比为 2 220 0 1 2cc ccybxbybx 带入294ba 3e 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 已知 ABCV的内角 及其对边 a b满足 cottaAbB 求内角 17 命题意图 本小题主要考查三角恒等变形 利用正弦 余弦定理处理三角形中的边 角关系 突出考查边角互化的转化思想的应用 xOyBF1D 18 本小题满分 12分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1篇稿件被录用的概率 II 记 X表示投到该杂志的 4篇稿件中被录用的篇数 求 X的分布列及期望 18 命题意图 本题主要考查等可能性事件 互斥事件 独立事件 相互独立试验 分 布列 数学期望等知识 以及运用概率知识解决实际问题的能力 考查分类与整合思想 化归与转化思想 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 命题意图 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 二面 角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 1lnfxx 若 2 a 求 的取值范围 证明 0 xf 命题意图 本小题主要考查函数 导数 不等式证明等知识 通过运用导数知识解决函数 不等式问题 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力 同时也考查了函数 与方程思想 化归与转化思想 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知抛物线 2 4Cyx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线 l与 C相交于 A B两点 点 A 关于 x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 89AB 求 DK 的内切圆 M 的方程 命题意图 本小题为解析几何与平面向量综合的问题 主要考查抛物线的性质 直线与圆 的位置关系 直线与抛物线的位置关系 圆的几何性质与圆的方程的求解 平面向量的数量 积等知识 考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力 运算能力和解决问题的能力 同 时考查了数形结合思想 设而不求思想 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 na中 11 nnac 设 5 2ncb 求数列 nb的通项公式 求使不等式 13na 成立的 c的取值范围 命题意图 本小题主要考查数列的通项公式 等比数列的定义 递推数列 不等式等基础 知识和基本技能 同时考查分析 归纳 探究和推理论证问题的能力 在解题过程中也渗透了 对函数与方程思想 化归与转化思想的考查