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寒假课程高一数学第四讲 基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念N（0，1）2.指数与对数的性质 指数运算性质、Q），、 Q）， Q）（注）上述性质对r、R均适用.对数运算性质logloglog（M、N0, 0, 1）推广：换底公式：（，0，1，1）3.指数函数、对数函数的概念形如（0且1，0）叫做指数函数（exponential function），其中是自变量，函数的定义域为R.形如（0且1，0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function）.（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2） 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.（2）幂函数性质： 所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：以和为桥梁；利用函数的单调性；作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例1】比较下列各数的大小： 解析：0 ，其他各数都大于零，故最小；又1，2， 128，对于与 ，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数 为减函数，.于是有.又例:比较下列各组数的大小：（1），；（2）， 解析：（1）1， 01，0 ，.（2），.又函数为减函数， 0.再例：当1，下列不等式正确的有（ ）A. B.C. D.解析：01，又函数 为减函数，在（0,1）上为增函数，故选D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用和为桥梁，能使比较大小的问题得到解决. 【例2】已知函数 （0，1）在区间1，1上的最大值为14，求的值.解析：，又，当1时，为的增函数.函数的最大值为当01时，为的增函数.函数的最大值为综上得，.技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径又例：已知.求（1）的单调区间；（2）求函数的最大值及对应的的值. 解析：（1）由，得的定义域为， 记（1）24，对称轴为1.的增区间为（1，1】，减为区间【1，3）.（2）（1）244，当1 时有最大值1.【例3】函数的定义域是（ ）A. B. C. D.解析：由 ，得，即，由 为减函数，.故所求定义域为.选A.技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例：若，则的取值范围是 .解析：由 ，即，当时，是增函数，于是，.当时，是减函数，于是，.综上可知的取值范围是或.再例：解不等式（0，0）.解析：由，得0，即. 或（舍去）.当时, ；当时，；当时，不等式无解.【例4】函数的单调递增区间是 .解析：由，得，而函数，即在上是增函数，在上是减函数.又是减函数，单调递增区间是.技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例：求函数的单调递减区间.解析：显然的定义域是.设，则.的单调递增区间为有是的减函数，的单调递减区间为.再例：已知0且1,函数在定义域2,3上的最大值比最小值大1 ,则的值为 .解析：由题意，有，即 ，.【例5】当1时，证明函数是奇函数.解析：由10得0.故函数定义域0是关于原点对称的点集.又，.所以函数是奇函数.技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定与关系时，也可采用如下等价证法.（），（）.如本题可另证如下：，即，所以函数是奇函数.又例：设是实数，（R）（1）试证明对于任意，为增函数；（2）试确定值，使为奇函数.解析：（1）设，R，且，则（由于指数函数在R上是增函数，且，所以，即0，又由2x0得10，10，所以0.即.因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，为增函数.（2）若为奇函数，则，即，变形得：，解得1.所以当1时，为奇函数.【例6】已知01，0，1，比较和的大小. 解析：方法一：当1时， 0，.当01时，+0，.综上所述，在题设条件下，总有.方法二：1.技巧提示：比较大小通常采取作差变形判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商变形与“1”比较的办法.又例：解不等式 解析：原不等式可化为 ， 即等价于，即，解得：，所以原不等式的解集为.【例7】（1）已知，用，表示； （2）已知求的值.解析：（1）又 .（2），.技巧提示：掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度.又例：判断下列函数的奇偶性（1）； （2）.解析:（1），为奇函数.（2） 0.为奇函数.四、课后训练1.已知，那么等于（ ） A. B. C. D.2.函数的图像关于（ ）A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称3.函数的定义域是（ ）A. B. C. D.4.函数的值域是（ ）A. B. C. D.5.下列函数中，在上为增函数的是（ ）A. B.C. D.6.已知在上有，则是（ ）A.在上是增加的 B.在上是减少的C.在上是增加的 D.在上是减少的7.函数是减函数，则实数的取值范围是 .8.计算 .9.已知是奇函数 （其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）求的反函数；（4）当定义域区间为时，的值域为，求的值.10.对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数a的值；（5）若函数的值域为，求实数a的值；（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.五、参考答案1.C.2.C. 3.A. 4.C. 5.D. 6.C.7. 8.109.解析：（1）对定义域内的任意恒成立，当，无意义，舍去， ，（2）， 定义域为，而，当时，在上都是减函数；当时，在上都是增函数；（3）， ， .（4）上为减函数，命题等价于，即，解得.10.解析：记，（1）恒成立，的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的值域为命题等价于，的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是方程的两根，即的值为2；（5）由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.的值域是，命题等价于；即的值为1；（6）命题等价于：，即，得的取值范围是.12
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