教案与圆有关的位置关系.doc

与圆有关的位置关系重点、难点： 1. 重点： （1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。 （2）三角形外接圆的性质。 （3）切线的识别及切线性质的应用。 （4）切线长定理。 （5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 （6）两圆相交、相切的性质和判定。 （7）圆和圆的位置关系。 2. 难点： （1）直线与圆相切的性质和判定。 （2）切线的判定方法：切线的性质。 （3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。 两圆相交，可作公共弦。 两圆相切，可作公切线。 有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周角。 圆与圆要心连心，即作连心线。【知识纵览】 1. 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（d与r）的大小关系点在圆内dr点在圆上dr点在圆外dr 2. 直线与圆的位置关系的性质与判定 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系drdrdr 3. 三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边垂直平分线的交点OAOBOC；外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三个内角的平分线的交点ODOEOF；OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB 4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法 设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0外切1相交2内切1内含0 上表中，两圆内含时，如果d0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。【典型例题】 例1. O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和O是什么位置关系？为什么？ 解：PO22.5 P点在O内部 Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。 当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为。 当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为。 当Q点处在点和点时，则，如上图所示。 综上所述，Q点既可能在O上，也可能在O外，或在O内。 例2. 在平面直角坐标系xOy中，当以点O（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。 （1）与坐标轴有惟一交点。 （2）与坐标轴有两个交点。 （3）与坐标轴有三个交点。 （4）与坐标轴有四个交点。 解：如下图，由题意，圆心O到x轴的距离，到y轴的距离。 （1）O与坐标轴有惟一公共点 只可能与x轴有惟一公共点 （2）由条件知，O与x轴相交，但与y轴无公共点 （3）O与坐标轴有三个交点 O与x轴必相交且与y轴必有公共点 若O与y轴有惟一公共点，则r4 若O与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r5。 所求r的值为r4或r5 （4）O与坐标轴有四个交点 O与两坐标轴都相交，且不过原点 r4且r5 例3. 如图所示，已知：AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是O的切线。 解：连结OD 因为OAOD，所以12 又因为ADOC，所以13，24 因此34 而OBOD，OC公共，于是将OBC沿OC翻折可与ODC重合 所以ODCOBC 又BC是O的切线，所以OBC90 从而ODC90，ODDC，故DC是O的切线 例4. 如图所示，已知AB、AC分别是O的直径和弦，D为劣弧上一点，DEAB于点H，交O于E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。 （1）当PCF满足什么条件时，PC与O相切，请说明理由； （2）当点D在劣弧上的什么位置时，才能使。 精析与解答：（1）如图所示，当PCF为等腰三角形，PCPF时，PC与O相切 连结OC，当PCPF时，PCFPFC DEAB，1AFH90 1PFC90，即1PCF90 又OAOC，12 2PCF90，即PC与O相切于点C （2）当D为劣弧中点时， 连结AE，D为中点，34 又ADFEDA，ADFEDA ，即 例5. 如下图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，CD切O于点C，ADCD于点D，C以CD为半径。 求证：AB是C的切线。 分析：要证AB是C的切线，就是要证点C到AB的距离CECD。即要证ACD和ACE全等。 证明：过点C作CEAB于点E，连结AC、BC、OC CD是O的切线，AB是O的直径 CDOC，ACBC 在ACD和ACE中 ACDACE CECD AB是C的切线 例6. 如下图，设I与ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点F、D、E，连结BI、CI、ED、FD。若A60，则BIC_，EDF_。 分析：本题所求的两个角分别是I的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。 解：连结IE、IF I是ABC的内切圆 I分别切AB、AC于F、E IFAB，IEAC AFIAEI180 AEIF180 例7. 如图所示，O半径为R，CD为O直径，以D为圆心。r为半径的圆与O相交于A、B，BD的延长线交D于E点。 求证： 证明：本题中的O经过D的圆心，是一种特殊相交，则连接AD。可知AD即为O的弦，又为D的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB，对R、r进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。 连结AD、AB、OA、AC 又CB AODADE AOD与ADE都是等腰三角形且顶角相等 它们的底角也相等，即ADODAE AODADE （相似三角形对应边成比例） 即 例8. 已知：如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AB8cm，AD24cm，BC26cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？等腰梯形？ （2）当t分别为何值时，直线PQ与O相切？相交？相离？ 精析与解答：（1）四边形PQCD为平行四边形时，只要PDCQ即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQCD，PDQC 当QCPD时，有，解得t6 当t6s时，四边形PQCD为平行四边形 过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F（如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EFPD，QEFC2，QCPD4 ，解得t7 当t7时得四边形PQCD为等腰梯形甲 （2）讨论动直线PQ与O的位置关系，关键是要抓住直线PQ与O相切时的情况计算出t的值，加以分析推理可以得出PQ与O相交、相离时t的值。 设运动t s时，直线PQ与O相切于点G，过P作PHBC，垂足为H（如图乙所示）乙 PHAB，BHAP 即PH8，HQ264t 由切线长定理，得： 由勾股定理，得： 即 得，解得 t0时，PQ与O相交，当时，Q点运动到B点，P点尚未运动到点D，但也停止运动，此时PQ直线与O相交 或8s时，直线PQ与O相切； 当或时，直线PQ与O相交； 当时，直线PQ与O相离。 例9. 如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？甲 精析与解答：如图乙所示，连结乙 设与外切于点A，则 在中， 最高点C到水平面的距离 例10. 如图所示，两等圆和相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B作任一直线，分别交、于C、D两点，连结AC、AD。 （1）试猜想ACD的形状，并给出说明。 （2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。 （3）若，是两个不相等的圆，半径分别为R和r。那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由。 精析与解答：（1）ACD为等边三角形 理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结 则 所以 所以ADBACB60 所以ACD为等边三角形 （2）ACD为等腰三角形 理由：因为两圆是等圆，连结 则 所以 所以ADBACB 所以ACD为等腰三角形 （3）不成立，此时 如图所示，分别作、的直径AE和AF分别交两圆于E、F点，连结CE、DF、AB，则ACEADF90 ACEADF 【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列语句不正确的是（ ） A. 过一点可以作无数个圆 B. 过两点可以作一个圆 C. 过任意三点都可以作一个圆 D. 过任意四个点不一定能作圆 2. O的直径是8cm，直径和O相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，P是O外一点，自P点向O引切线PA，PB，切点为A，B，CD切O于E，交PA，PB于C，D，若PA20，则PCD的周长为（ ） A. 20B. 30C. D. 40 4. 设ABC的内切圆的半径为2，ABC的周长为4，则ABC的面积为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 5. 两圆半径分别为5和3，d为圆心距，当时，两圆的位置关系是（ ） A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交 6. 如图所示，AB，AC与O相切于点B，C，A50，点P是圆上异于B，C的一动点，则BPC的度数是（ ） A. 65B. 115C. 65或115D. 130和50二. 填空题（每小题2分，共12分） 7. 如图所示，AB是O的直径，ABAC，AC是O的切线，A是切点，则B_。 8. 如图所示，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，P30，则CAB_。 9. ABC的内切圆O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB4，BC8，AC6，则AE_，BF_，CD_。 10. 如图所示，已知O是ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，B50，C40，则DOF_，DEF_。 11. O的半径为3cm，若O与O外切时，圆心距为10cm，则O与O内切时，圆心距为_cm。 12. 如图所示，已知RtABC中，C90，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP_。三. 综合题（每小题6分，共24分） 13. 如图所示，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，且DBBO，过点A作弦AC，使CAB30，连结DC，DC是O的切线吗？为什么？ 14. 如图所示，AC为O的直径，PA，PB是O的切线，OP交AB于点E，交于点F，CAB30，AC8cm。求： （1）APB的度数； （2）OP的长； （3）PE的长； （4）ABP的面积。 15. 如图所示，O为ABC的内切圆，连结OB，OC。 （1）当B80，C30时，求BOC； （2）当A70时，求BOC； （3）当A时，求BOC。 16. 如图所示，AB是O的直径，BE是O的切线，切点为B，点C为射线BE上一动点（点C与点B不重合），且弦AD平行于OC。 （1）求证CD是O的切线； （2）设O的半径为r，试问：当动点C在射线BE上运动到什么位置时，有？证明你的结论。四. 开放与交流（共10分） 17. 如图所示，在直角坐标系内，以点M（2，0）为圆心，3为半径作M。 （1）分别画出当；当；当时的图形，并判断直线与M的位置关系； （2）试判断直线与M相交和k，b的取值是否有关，请说明理由，得出结论。五. 思考与探究（每小题6分，共12分） 18. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQPO，过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C。 （1）QPA60时，请你对QCP的形状作出猜想，并给予证明； （2）当QPAB时，QCP的形状是_三角形； （3）由（1），（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是_三角形。 19. 如下图（1）所示，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点。 （1）判断AP与BP的关系，并说明理由； （2）当弦AB向上平移分别与小圆交于点C，D时，如下图（2）所示，判断AC与BD的关系，并说明理由。六. 回顾与预测（第2023小题各3分，第24小题6分，共18分） 20. （2003南京）阅读下面材料，然后回答问题。 对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖。 对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖。 例如：如下图所示，图（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图（2）中的四边形被两个圆所覆盖。 （1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_cm； （2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_ cm； （3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是_ cm，这两个圆的圆心距是_ cm。 21. （2004重庆）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm的钢球，测得上面的一个钢球顶部高DC16 cm（钢管轴截面如下图所示），则钢管的内直径AD长为_ cm。 22. （2004兰州）如下图所示，圆A的半径为r，圆O的半径为4r，圆A从圆上所示位置出发绕圆O作无滑动的滚动，要使圆A的圆心返回到原来的位置，圆A滚动的圈数是_。 23. （2004海口）如下图所示，已知AOB30，M为OB边上一点，以M为圆心，2 cm为半径作M，若点M在OB边上运动，则当OM_ cm时，M与A相切。 24. （2004南京）如下图（1）所示，在矩形ABCD中，AB20 cm，BC4 cm，点P从A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s）。 （1）t为何值时，四边形APQD为矩形？ （2）如下图（2）所示，如果P和Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，P和O外切？【试题答案】 1. C2. C3. D 4. B5. D6. C 7. 458. 159. 1；3；5 10. 90；4511. 4 12. 13. 解：DC是O的切线。 理由是：如下图所示，连结CO CAB30，COAO ACO30，COD60 COBO，BCOB DBBO，DBOBBC COD为直角三角形，OCD90 DC是O的切线 14. （1）APB60 （2）OP8 cm （3）PE6 cm （4） 15. （1）125；（2）125；（3） 16. （1）提示：如下图所示，欲证CD是O的切线。由于CD与O的公共点是D，故只要连结OD，再证ODDC即可。 （2）解：如上图所示，当时，有 这是因为：BC是O的切线，OBC90 又 ADOC，A345 又OAOD，1A45 AOD90 17. 提示：（1）图略。相交；相交；相交。 （2）略 18. （1）解：QCP是等边三角形。证明过程如下： 连结OQ，则CQOQ PQPO，QPC60 POQPQO30 QPC是等边三角形 （2）等腰直角 （3）等腰 19. 解：（1）APBP 理由是：连结OP AB切小O于点P，OPAB 又AB是大圆的弦，APBP （2）ACBD 理由是：过点O作OGAB于点G 可知 20. （1）；（2）；（3） 21. 18 22. 4 23. 4 24. 解：（1）由题意知，当APDQ，APDQ，A90时，四边形APQD为矩形 此时，t4（s） t为4 s时，四边形APQD为矩形 （2）当PQ4时，P与Q外切 如果点P在AB上运动，只有当四边形APQD为矩形时，PQ4，由（1）得t4 s。 如果点P在BC上运动，此时t5，则CQ5，PQCQ54，P与Q外离。 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，可得CQt， 当时，P与Q外切，此时 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，当时，P与Q外切。此时 点P从A开始沿折线ABCD移动到D需要11 s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要20 s，而 当t为4 s，时，P与Q外切。