2010年高考数学计算试题分类汇编-概率与统计.doc

2010 年高考数学试题分类汇编 概率与统计 2010 浙江理数 19 本题满分 l4 分 如图 一个小球从 M 处投入 通过管道自上而下落 A 或 B 或 C 已 知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的 小球落到 A B C 则分别设为 l 2 3 等奖 I 已知获得 l 2 3 等奖的折扣率分别为 50 70 90 记随变量 为获得 k k 1 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望 E II 若有 3 人次 投入 l 球为 l 人次 参加促销活动 记随机变量 为 获得 1 等奖或 2 等奖的人次 求 2 P 解析 本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望 二项分布等概念 同时考查抽象概括 运算求解能力和应用意识 解 由题意得 的分布列为 50 70 90 p 31638716 则 50 70 90 316874 解 由 可知 获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 169 由题意得 3 9 则 P 2 2 1 C1670496 2010 湖南文数 17 本小题满分 12 分 为了对某课题进行研究 用分层抽样方法从三所高校 A B C 的相关人员中 抽取若干人组成研究小组 有关数据见下表 单位 人 I 求 x y II 若从高校 B C 抽取的人中选 2 人作专题发言 求这二人都来自高校 C 的概率 2010 全国卷 2 理数 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T1 T2 T3 T4 电流能通过 T1 T2 T3的概率都是 p 电流能通过 T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知 T1 T2 T3中至少有一个能通过电 流的概率为 0 999 求 p 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 表示 T1 T2 T3 T4中能通过电流的元件个数 求 的期望 命题意图 本试题主要考查独立事件的概率 对立事件的概率 互斥事件的概率及数学期望 考查分类 讨论的思想方法及考生分析问题 解决问题的能力 参考答案 点评 概率与统计也是每年的必考题 但对考试难度有逐年加强的趋势 已经由原来解答题的前 3 题的 位置逐渐后移到第 20 题的位置 对考生分析问题的能力要求有所加强 这应引起高度重视 2010 陕西文数 19 本小题满分 12 分 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查 测得身高情况的统计图 如下 估计该校男生的人数 估计该校学生身高在 170 185cm 之间的概率 从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的概率 解 样本中男生人数为 40 由分层出样比例为 10 估计全校男生人数为 400 有统计图知 样本中身高在 170 185cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量为 70 所以 样本中学生身高在 170 185cm 之间的频率 故有 f 估计该校学生身高在 170 180cm 之 间的概率 样本中身高在 180 185cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本中身高在 185 190cm 之间的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为 故从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率 2010 辽宁文数 18 本小题满分 12 分 为了比较注射 A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积 选 200 只家兔做实验 将这 200 只家兔随机地 分成两组 每组 100 只 其中一组注射药物 A 另一组注射药物 B 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果 疱疹面积单位 2m 完成下面频率分布直方图 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小 完成下面 列联表 并回答能否有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积与注射药2 物 B 后的疱疹面积有差异 附 22 nadbcK 解 图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间 而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数 在 70 至 75 之间 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数 表 3 疱疹面积小于 270m疱疹面积不小于 270m合计 注射药物 a 3b 10 注射药物 B35c65d 合计 19n 24901 67 20 K 由于 所以有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面8 2 积有差异 2010 辽宁理数 18 本小题满分 12 分 为了比较注射 A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积 选 200 只家兔做试验 将这 200 只家兔随机 地分成两组 每组 100 只 其中一组注射药物 A 另一组注射药物 B 甲 乙是 200 只家兔中的 2 只 求甲 乙分在不同组的概率 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果 疱疹面积单位 mm 2 表 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 完成 下面频率 分布直方 图 并比 较注射两种 药物后疱疹面积的中位数大小 完成下面 2 2 列 联表 并 回答能否 有 99 9 的把握认 为 注射 药物 A 后的疱疹 面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异 表 3 解 甲 乙两只家兔分 在不同组的概 率为 91802CP 4 分 i 图 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间 而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数 在 70 至 75 之间 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数 8 分 ii 表 3 220 76530 4 5619K 由于 K2 10 828 所以有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有 差异 12 分 2010 全国卷 2 文数 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T T T T 电源能通过 T T T 的概1234123 率都是 P 电源能通过 T 的概率是 0 9 电源能否通过各元件相互独立 已知 T T T 中至少有一个4 123 能通过电流的概率为 0 999 求 P 求电流能在 M 与 N 之间 通过的概率 解析 本题考查了概率中的互斥事件 对立事件及独立事件的概率 1 设出基本事件 将要求事件用基本事件的来表示 将 T1 T2 T3 至少有一个能通过电流用基本事件 表示并求出概率即可求得 P 2 将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来 由互斥事件与独立事件的概率求得 2010 江西理数 18 本小题满分 12 分 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达此门 系统会随机 即等可能 为 你打开一个通道 若是 1 号通道 则需要 1 小时走出迷宫 若是 2 号 3 号通道 则分别需要 2 小时 3 小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随机打开一个你未到过的通道 直至走完迷宫为止 令 表 示走出迷宫所需的时间 1 求 的分布列 2 求 的数学期望 解析 考查数学知识的实际背景 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率 随机事件的 数学特征和对思维能力 运算能力 实践能力的考查 1 必须要走到 1 号门才能走出 可能的取值为 1 3 4 6 1 3P 1 326P 1 4 326P 21 3PA 分布列为 2 小时11734632E 2010 安徽文数 18 本小题满分 13 分 某市 2010 年 4 月 1 日 4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下 主要污染物为可吸入颗粒物 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 完成频率分布表 作出频率分布直方图 根据国家标准 污染指数在 0 50 之间时 空气质量为优 在 51 100 之间时 为良 在 101 150 之 间时 为轻微污染 在 151 200 之间时 为轻度污染 请你依据所给数据和上述标准 对该市的空气质量给出一个简短评价 命题意图 本题考查频数 频率及频率分布直方图 考查运用统计知识解决简单实际问题的能力 数据 处理能力和运用意识 解题指导 1 首先根据题目中的数据完成频率分布表 作出频率分布直方图 根据污染指数 确定空 气质量为优 良 轻微污染 轻度污染的天数 答对下述两条中的一条即可 1 该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平 占当月天数的 有 26 天处于良的水平 占当15 月天数的 处于优或良的天数共有 28 天 占当月天数的 说明该市空气质量基本良好 135 4 1 3 4 6 2 轻微污染有 2 天 占当月天数的 污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天 加上处15 于轻微污染的天数 共有 17 天 占当月天数的 超过 50 说明该市空气质量有待进一步改善 1730 规律总结 在频率分布表中 频数的和等于样本容量 频率的和等于 1 每一小组的频率等于这一组的 频数除以样本容量 频率分布直方图中 小矩形的高等于每一组的频率 组距 它们与频数成正比 小矩形 的面积等于这一组的频率 对于开放性问题的回答 要选择适当的数据特征进行考察 根据数据特征分析得 出实际问题的结论 2010 重庆文数 17 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采 用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 甲 乙两单位的演出序号均为偶数的概率 甲 乙两单位的演出序号不相邻的概率 2010 重庆理数 17 本小题满分 13 分 I 小问 5 分 II 小问 8 分 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用抽签 的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 I 甲 乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 II 甲 乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望 2010 山东文数 19 本小题满分 12 分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为 1 2 3 4 从袋中随机抽取两个球 求取出的球的编号之和不大于 4 的概率 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为 n 求 的概率 2 2010 北京理数 17 本小题共 13 分 www ks 某同学参加 3 门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 第二 第三门课程取45 得优秀成绩的概率分别为 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优pq 秀成绩的课程数 其分布列为 0 1 2 3p6125ad2415 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求 的值 pq 求数学期望 E 解 事件 表示 该生第 门课程取得优秀成绩 1 2 3 由题意知iAi i 14 5PA 2 p3 PAq I 由于事件 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 与事件 是对立的 所以该生至少有 10 门课程取得优秀成绩的概率是 619 0 25 II 由题意知 1236 125PApq 435 整理得 6125pqq 由 可得 III 由题意知 123123123 aPAPA 455pqpq 3712 0 1 3 bPP 58 0 1 2 EP 95 2010 四川理数 17 本小题满分 12 分 w w w k s5 u c o m 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖内印有 奖励一 瓶 字样即为中奖 中奖概率为 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 16 求甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率 求中奖人数 的分布列及数学期望 E 解 1 设甲 乙 丙中奖的事件分别为 A B C 那么 w w w k s5 u c o m P A P B P C 16 P P A P P 152 66 A 答 甲中奖且乙 丙都没有中奖的概率为 6 分1 2 的可能值为 0 1 2 3 P k k 0 1 2 3 3315 6kC 所以中奖人数 的分布列为 w w w k s5 u c o m 0 1 2 3 P 125625757126 E 0 1 2 3 12 分2567 2010 天津文数 18 本小题满分 12 分 有编号为 的 10 个零件 测量其直径 单位 cm 得到下面数据 1A210 其中直径在区间 1 48 1 52 内的零件为一等品 从上 述 10 个零件 中 随机抽 取一个 求 这个零件为 一等品的概 率 从一等品零件中 随机抽取 2 个 用零件的编号列出所有可能的抽取结果 求这 2 个零件直径相等的概率 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及 事件发生的概率等基础知识 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力 满分 12 分 解析 解 由所给数据可知 一等品零件共有 6 个 设 从 10 个零件中 随机抽取一个为一等品 为事件 A 则 P A 61035 i 解 一等品零件的编号为 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个 12345 AA 所有可能的结果有 12134 123 错误 不能通过编辑域代码创建对象 共有 15 2425 A 263435 AA 56 A 种 ii 解 从一等品零件中 随机抽取的 2 个零件直径相等 记为事件 B 的所有可能结果有 共有 6 种 141646 23535 所以 P B 5 2010 天津理数 18 本小题满分 12 分 某射手每次射击击中目标的概率是 且各次射击的结果互不影响 23 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 假设这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 假设这名射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次射击中 若有 2 次连续击中 而另外 1 次未击中 则额外加 1 分 若 3 次全击中 则额外加 3 分 记 为射手射击 3 次后 的总的分数 求 的分布列 解析 本小题主要考查二项分布及其概率计算公式 离散型随机变量的分布列 互斥事件和相互独立事 件等基础知识 考查运用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 1 解 设 为射手在 5 次射击中击中目标的次数 则 在 5 次射击中 恰有 2 次击中目标XX2 3B 的概率 22540 2 133PC 解 设 第 次射击击中目标 为事件 射手在 5 次射击中 有 3 次连续击i 1 2345 iA 中目标 另外 2 次未击中目标 为事件 则 13451234512345 PAAPP 22 81 解 由题意可知 的所有可能取值为 0 1236 31231 0 27PA 12313123 PA 29 1234 7PA 123123 PA 221837 123 6 PA 87 所以 的分布列是 2010 广东理数 17 本小题满分 12 分 来源 高考资源网 KS5U COM 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况 随即 抽取该流水线上 40 件产品作为样本算出他们的 重量 单 位 克 重量的分组区间为 490 495 495 510 由此得到样本的频率 50 51 分布直方 图 如图 4 所示 1 根据频率分布直方图 求重量超过 505 克的产 品数量 2 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量 求 Y 的分布列 3 从流水线上任取 5 件产品 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率 2010 广东文数 17 本小题满分 12 分 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中 随机抽取了 100 名电视观众 相关的数据 如下表所示 文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 2010 福建文数 18 本小题满分 12 分 设平顶向量 m 1 2 n 其中 m n 1 2 3 4 anb I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 ma b 2010 全国卷 1 理数 18 本小题满分 12 分 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求 的分布列及期望 XX 2010 四川文数 17 本小题满分 12 分 某种有奖销售的饮料 瓶盖内印有 奖励一瓶 或 谢谢购买 字样 购买一瓶若其瓶盖内印有 奖励一 瓶 字样即为中奖 中奖概率为 甲 乙 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料 16 求三位同学都没有中奖的概率 w w w k s5 u c o m 求三位同学中至少有两位没有中奖的概率 2010 湖北文数 17 本小题满分 12 分 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况 从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼 称得每条鱼的质量 单位 千克 并将所得数据分组 画出频率分布直方图 如图所示 在答题卡上的表格中填写相应的频率 估计数据落在 1 15 1 30 中的概率为多少 将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水 库 几 天后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼 其中带 有记号 的鱼有 6 条 请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条 数 2010 山东理数 P 4 312 43 124 所以 的分布列为 2 3 4 P 18102412 数学期望 4 E128 03423 命题意图 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的 知识 考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力 2010 湖南理数 17 本小题满分 12 分 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方图 求直方图中 x 的值 II 若将频率视为概率 从这个城市随机抽取 3 位居民 看作有放回的抽样 求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望 2010 福建理数 0 1 4 9 P 1631316 所以 E 0 349 6 2010 安徽理数 21 本小题满分 13 分 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 一种通常采用的测试方法如下 拿出 瓶外观相同但品质不同n 的酒让其品尝 要求其按品质优劣为它们排序 经过一段时间 等其记忆淡忘之后 再让其品尝这 瓶酒 n 并重新按品质优劣为它们排序 这称为一轮测试 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为 现设 分别以 表示第一次排序时被排为 1 2 3 4 的四种酒在第二次排序时的序号 4n 1234 a 并令 1234Xaa 则 是对两次排序的偏离程度的一种描述 X 写出 的可能值集合 假设 等可能地为 1 2 3 4 的各种排列 求 的分布列 1234 a X 某品酒师在相继进行的三轮测试中 都有 2X i 试按 中的结果 计算出现这种现象的概率 假定各轮测试相互独立 ii 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由 2010 江苏卷 22 本小题满分 10 分 某工厂生产甲 乙两种产品 甲产品的一等品率为 80 二等品率为 20 乙产品的一等品率为 90 二 等品率为 10 生产 1 件甲产品 若是一等品则获得利润 4 万元 若是二等品则亏损 1 万元 生产 1 件乙 产品 若是一等品则获得利润 6 万元 若是二等品则亏损 2 万元 设生产各种产品相互独立 1 记 X 单位 万元 为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润 求 X 的分布列 2 求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解析 本题主要考查概率的有关知识 考查运算求解能力 满分 10 分 解 1 由题设知 X 的可能取值为 10 5 2 3 且 P X 10 0 8 0 9 0 72 P X 5 0 2 0 9 0 18 P X 2 0 8 0 1 0 08 P X 3 0 2 0 1 0 02 由此得 X 的分布列为 X 10 5 2 3 P 0 72 0 18 0 08 0 02 2 设生产的 4 件甲产品中一等品有 件 则二等品有 件 n4n 由题设知 解得 4 10n 145n 又 得 或 N 3 所求概率为 44 82 0892PC 答 生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0 8192