2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(理数)

1 2017 届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 理科 本试题卷共 4 页 23 题 含选考题 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答题前 先将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3 填空题和解答题的作答 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4 选考题的作答 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 答案写在 答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设全集 UR 集合 2 log0 31AxBx 则 UCBA A B 103 C 0 D 答案 D 解析 2 log43xxBx 或 1 13UCBx 所 以 03UCBA 故选 D 2 已知复数 1 2i 1z 则 z等于 A i5 B C 5D 答案 A 解析 由题意得 1 2i 15iz 则 1i5z 故选 A 3 下列函数中 即是单调函数又是奇函数的是 A B C D xy3log xy321xy3xy 答案 D 解析 因为 为奇函数 也满足在 R 上单调递增 符合题意 故选 D 4 已知双曲线 21 0 4xym 的离心率为 3 则 m 的值为 A 2B C 3 D 2 答案 A 解析 由双曲线的方程 214xym 可得 2 abm 所以 4cm 又双曲线的离心 率 3e 即 32 解得 故选 A 5 若 1 bc 则方程 220 xbc 有实数根的概率为 A 2B 3 C 4D 56 答案 A 解析 设方程 220 xbc 有实根为事件 A D b c 1 b 1 1 c 1 所以 SD 2 2 4 方程有实根对应区域为 d b c 2 214dS A 所以方程有实 根的概率 P A 12 6 如下图所示 某几何体的三视图中 正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形 则该几何体的体积为 A 16 B 3C 1 D 12 答案 B 解析 由题意得 根据给定的三视图可知 原几何体表示底面边长为 1 高为 1 的三棱 锥 所以该几何体的体积为 133VSh 故选 B 7 函数 2sinfxx 的部分图象可能是 答案 A 3 解析 因为 2sin Rxfxfx 所以函数图象关于原点对称 因此不选 B 因为 2cos0f 所以函数单调增 因此选 A 8 执行如下图所示的程序框图 如果输入 t 0 1 则输出的 n A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 由题意得 根据给定的程序框图可知 第一次循环 1 124Smn 第二次循环 1 248Smn 第三次循环 386 第三次循环 463 此时跳出循环 所以输出的结果为 n 4 故选 C 9 设 0 2 0 2 且 cos1sii 则 A B C 2 D 2 答案 B 解析 由题意得 根据三角函数的基本关系式可得 costin 又 21 sin sicos tanin2co 即 tacota 2 因为 0 2 0 2 所以 即 故选 B 4 10 已知抛物线 C 24yx 的焦点是 F 过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P Q 两点 且点 Q 在第一象限 若 3PFQ 则直线 PQ 的斜率是 A 3 B 1 C 2D 3 答案 D 解析 设 1 Pxy 2 Qxy 由抛物线的方程可知 抛物线的焦点 1 0 F 因为 3F 则 123 1 y 所以 213y 又设过焦点的直线的斜率为 所以方程为 kx 联立方程组 2 1 4ykx 得 240yk 所以 1212 4 yyk 代入可得 3k 故选 D 11 若函数 2 lnfxa 在区间 1 2 内存在单调递增区间 则实数 a 的取值范围是 A 2 B 1 8 C 8 D 答案 D 解析 由题意得 2fxa 若 fx在区间 12 内存在单调递增区间 在 0f 在 有解 故 2 1 ax 的最小值 又 2 1 gx 在 上是单调递增函数 所以 1 2gx 所以实数 a 的取值范围是 故选 D 12 已知点 P 为不等式组 210 xy 所表示的平面区域内的一点 点 Q 是 2 1 Mx 21y 上的一个动点 则当 MPQ 最大时 A 1 B 2C 13 D 25 答案 C 5 解析 由题意得 作出约束条件所表示的平面区域 可知当取可行域内点 B 时 能使得MPQ 最大 由 210 xy 解得 12 3B 则 215 33PM 由圆的切线 长公式 可得 2 9PMr 故选 C 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 2x 4 的展开式中 x3 的系数是 答案 24 解析 二项展开式的通项是 令 得 2 441 2 rrrrr xCxT 3 2r 故 的系数为 3x24C 14 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步 跳远 铅球比赛 每人参加一项 每项都要 有人参加 他们的身高各不同 现了解到已下情况 1 甲不是最高的 2 最高的是没报铅球 3 最矮的参加了跳远 4 乙不是最 矮的 也没参加跑步 可以判断丙参加的比赛项目是 答案 跑步比赛 解析 根据题意可知 甲是最矮的 丙是最高的 所以甲参加了跳远比赛 且乙参加了 铅球比赛 所以丙参加了跑步比赛 15 在平行四边形 ABCD 中 4AD 3 B E 为 CD 中点 若 4ACBE 则 AB 的长为 答案 6 解析 根据题意可得 CB 12CD 则 211 cos602ACBEADAAB 化简得 2 40 解得 6 6 16 已知 ABC 中 角 A B C 所对边分别为 a b c 满足 6C 且 43sinbB 则 ABC 面积的最大值为 答案 63 解析 由题意得 因为 43sinbB 由三角形的正弦定理得 2sin43siRB 解得243R 又 6C 所以 2isi236cRC 所以三角形的面积 1sin43ini1sinSbAA 又 5 6ABB 所以 56B 所以 21312sin 2sin cosin icos3insi2SAAAA co 633i 6i 当 2A 时 三角形的面积最大 最大值为 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知各项均为正数的数列 a n 的前 n 项和为 Sn a 1 1 且 2 63nnSa N 1 求数列 a n 的通项公式 an 2 若 12b 求数列的前 n 项和 Tn 答案 1 3na 2 342 解析 1 由 6nSa N 得 21163nnSa 两式相减得 2113nnna 2211113 3 0nnnnaa 0na N 10n 1n 由 21163 1a 或 12 a 1 1 故 23 1nn 2 由 1 知 2nb 7 231 147532n nnT 2341n nn 得 21231 1 1 3232nnn nT 14n 34nn 2nn T 18 小明同学在寒假社会实践活动中 对白天平均气温与某家奶茶店的 A 品牌饮料销量之 间的关系进行了分析研究 他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天气温 x 与该 奶茶店的 A 品牌饮料销量 y 杯 得到如下表数据 日期 1 月 11 号 1 月 12 号 1 月 13 号 1 月 14 号 1 月 15 号 平均气温 x 9 10 12 11 8 销量 y 杯 23 25 30 26 21 1 若先从这五组数据中抽出 2 组 求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率 2 请根据所给五组数据 求出 y 关于 x 的线性回归方程式 ybxa 3 根据 2 所得的线性回归方程 若天气预报 1 月 16 号的白天平均气温为 7 请预测该奶茶店这种饮料的销量 参考公式 11222 nnii ii ixyxyb aybx 答案 1 25 2 4 yx 3 19 杯 解析 1 设 选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天的数据 为事件 B 所有基本事件 mn 其中 m n 为 1 月份的日期数 有 510C 种 事件 B 包括的基本事件有 1 2 12 3 4 5 共 4 种 所以 4 PB 2 由数据 求得 902180 x 23502615y 由公式 求得 2 1b aybx 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 4 yx 3 当 7x 时 741 8 所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 19 杯 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1 的底面是边长为 2 的等边三角形 AA 1 底面 ABC 点 E F 分别是棱 CC1 BB 1 上的点 且 EC B 1F 2FB 8 1 证明 平面 AEF 平面 ACC1A1 2 若 AA1 3 求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值 答案 1 证明过程见解析 2 24 解析 1 证明 取 AC 中点 M 连接 BM 则 BM AC AA 1 底面 ABC 侧面 ACC1A1 底面 ABC BM 平面 ACC1A1 取 AE 中点 N 连接 MN FN 则 MN EC 且 12NEC 又 BB 1 CC 1 EC 2FB FB EC 且 FB MN FB 且 MN FB 四边形 BMNF 是平行四边形 FN BM FN 平面 ACC1A1 又 FN 平面 AEF 平面 AEF 平面 ACC1A1 2 以 M 为原点 MA MB 分别为 x 轴 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系 因为 AA1 3 依题意得 1 0 A 30 B 1 2 E 0 31 F 所以 2 0 AE AF 设平面 AEF 的一个法向量为 nxyz 由 0nEAF 得 203zxy 令 x 1 得 1 0 n 9 设直线 AB 与平面 AEF 所成的角为 则 1 2sin co 4nAB 故直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值为 24 20 已知椭圆 2 1 0 xyMab 的离心率是 上顶点 B 是抛物线 24xy 的焦点 1 求椭圆 M 的标准方程 2 若 P Q 是椭圆 M 上的两个动点 且 OP OQ O 是坐标原点 由点 O 作 OR PQ 于 R 试求点 R 的轨迹方程 答案 1 21xy 2 23xy 解析 1 由题设知 2cab 又 b 所以椭圆 M 的标准方程为 21xy 2 i 若直线 PQ x 轴 设直线 PQm 并联立椭圆方程解出 2 Pm 2 Qm 由 OP OQ 得 2 6030 3OOR 定值 ii 若直线 PQ 不平行 x 轴 设直线 Pxtyn 联立椭圆 M 的方程消 x 得 22 0tytn 设 1 2 Q 由韦达定理得 12 tnyt 由 OP OQ 得 0OP 即 120 xy 即 1212 0tynt 把 代入 并化简得 231nt 所以 23n 又原点 O 到直线 PQ 的距离 22 6 ORt 定值 所以动点 R 的轨迹是以点 O 为圆心 63 为半径的圆 其方程为 23xy 10 21 设函数 2 lnaxbfx 曲线 yfx 在 1处的切线为 2y 1 求函数 f的单调区间 2 当 4x 时 证明 3 4fx 答案 1 单调递增区间为 0 1 2 单调递减区间为 1 2 2 证明过 程见解析 解析 1 函数 fx定义域为 23 1 abfxx 由已知得 2f 10 得 2a b 所以 3 xf 由 fx 得 或 01x 由 0f 得 12 所以函数 的单调递增区间为 2 单调递减区 间为 2 2 由 2232311 ln lnxfx xx 令 lng 23 h 因为 1g 4 所以 0 x 所以 gx在 1 4 上为增函数 所以 1g 时取 而 2436 xh 由 2 360uxx 得 193x 所以 193x 时 0 194 时 ux 所以 hx在 为增函数 在 3 为减函数 而 1 7432 所以 7 2hx 4x 时取 所以 53 14fxg 即 3 f 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 229cosin 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 11 1 求曲线 C 的普通方程 2 A B 为曲线 C 上两个点 若 OA OB 求 22 1 OAB 的值 答案 1 219xy 2 09 解析 1 由 22cosin 得 22cos9in 将 cosx iy代入得到曲线 C 的普通方程是 21xy 2 因为 229sin 所以 21cosi 由 OA OB 设 1 A 则 B 点的坐标可设为 2 所以 2222211cossin10ico999 O 23 已知函数 fxa 1 当 2a 时 求不等式 6fx 的解集 2 设函数 1 gx 当 R时 3fxg 求 a 的取值范围 答案 1 3 2 解析 1 当 a 时 2fx 解不等式 2 6x 得 13 因此 f 的解集为 x 2 当 x R时 2 12 12 fgaxaxa 当 x 在 1 与 a 之间时等号成立 所以当 R时 3fg 等价于 3 当 时 等价于 13a 无解 当 时 等价于 解得 2a 所以 a 的取值范围是 2