4.2.3直线与圆的方程的应用教案

1 4 2 3 直线与圆的方程的应用 一 教学目标 1 知识与技能 1 理解掌握 直线与圆的方程在实际生活中的应用 2 会用 数形结合 的数学思想解决问题 2 过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面 几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 将代数运算结果 翻译 成几何结论 3 情态与价值观 让学生通过观察图形 理解并掌握直线与圆的方程的应用 培养学生分析问题与解决 问题的能力 二 教学重点 难点 重点与难点 直线与圆的方程的应用 教学环 节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 你能说出两点间的距离公 式直线方程的四种形式及圆的 方程的两种形式吗 学生思考后作答 教师再引入课题 现在我们通过几个例子说明 直线与圆的方程在实际生活以及 平面几何中的应用 启发 并引导学 生回顾 从而引入 新课 应用举例 3 阅读并思考教科书上 的例 4 你将选择什么方法解 决例 4 的问题 例 4 图是某圆拱形桥一 孔圆拱的 示意图 这 个圆的圆 拱跨度 AB 20m 拱高 OP 4m 建 造时每间隔 4m 需要用一根支 柱支撑 求支柱 A2P2 的高度 精确到 0 01m 解析 建立图所示的直 角坐标 系 使 圆心在 y 轴上 设圆心的坐标是 0 b 圆的 半径是 r 那么圆的方程是 x2 y b 2 r2 师 指导学生观察教科书上 的图形特征 利用平面坐标系求 解 生 自学例 4 并完成练习 题 1 2 师 分析例 4 并展示解题过 程 启发学生利用坐标法求 注 意给学生留有总结思考的时间 指导 学生从直 观认识过 渡到数学 思想方法 的选择 2 下面确定 b 和 r 的值 因为 P B 都在圆上 所 以它们的坐标 0 4 10 0 都满足方程 x2 y b 2 r2 于 是 得到方程组 220 4 1rb 解得 b 10 5 r 2 14 52 所以 圆的方程是 x2 y 10 5 2 14 52 把点 P2 的横坐标 x 2 代入圆的方程 得 2 2 y 10 5 2 14 52 取 2210 54 y P2 的纵坐标 y 0 平方根取正值 所以 2214 5 1 5 14 36 10 5 3 86 m 4 你能分析一下确定一 个圆的方程的要点吗 教师引导学生分析圆的方程 中 若横坐标确定 如何求出纵 坐标的值 使学 生加深对 圆的方程 的认识 5 你能利用 坐标法 解决例 5 吗 例 5 已知内接于圆的四 边形的对角线互相垂直 求证 圆心到一边的距离等于这条边 所对边长的一半 师 引导学生建立适当的平 面直角坐标系 用坐标和方程表 示相应的几何元素 将平面几何 问题转化为代数问题 生 建立适当的直角坐标系 探求解决问题的方法 证明 如图 以四边形 ABCD 互直垂直的对角线 CA DB 所在直线分别为 x 轴 y 轴 建立 直角坐标系 设 A a 0 B 0 b C c 0 D 0 d 过四边形 ABCD 外接圆的圆 心 O 分别作 AC BD AD 的垂线 垂足分别为 M N E 分别是线段 AC BD AD 的中点 由线段的中 巩固 坐标法 培养学 生分析问 题与解决 问题的能 力 3 点坐标公式 得 2OMacx Nbdy 2Eax 所以 222 1cbdOb 又 2 BCc 所以 1 OE 6 完成教科书第 140 页 的练习题 2 3 4 练习 2 赵州桥的跨度是 37 4m 圆拱高约为 7 2m 求这 座圆拱桥的拱圆的方程 练习 3 某圆拱桥的水面 跨度 20m 拱高 4m 现有一船 宽 10m 水面以上高 3m 这 条船能否从桥下通过 练习 4 等边 ABC 中 点 D E 分别在边 BC AC 上 且 1 3BC CE CA AD B E 相交于点 P 求证 AP CP 教师指导学生阅读教材 并 解决课本第 140 页的练习题 2 3 4 教师要注意引导学生思 考平面几何问题与代数问题相互 转化的依据 练习 2 解 建立如图所示的直 角坐标系 OP 7 2m AB 37 4m 即有 A 18 7 0 B 18 7 0 C 0 7 2 设所求圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 于是有 222218 7 abr 解此方程组 得 a 0 b 20 7 r 27 9 所以这这圆拱桥的拱圆的方 程是 x2 y 20 7 2 27 92 0 y 7 2 练习 3 解 建立如图所示 的坐标系 依题 意 有 使学 生熟悉平 面几何问 题与代数 问题的转 化 加深 坐标法 的解题步 骤 4 A 10 0 B 10 0 P 0 4 D 5 0 E 5 0 设所求圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 于是有 222 10 4abr 解此方程组 得 a 0 b 10 5 r 14 5 所以这座圆拱桥的拱圆的方 程是 x2 y 10 5 2 14 52 0 y 4 把点 D 的横坐标 x 5 代入上式 得 y 3 1 由于船在水面以上高 3m 3 3 1 所以该船可以从桥 下穿过 练习 4 解 以 B 为原点 BC 边所在直线为 x 轴 线段 BC 长的 16为 单位长 建立如图所示的坐标系 则 3 0 6 ABC 由已知 得 D 2 0 5 3E 直线 AD 的方程为 2 yx 直线 BE 的方程为3 5 yx 解以上两方程联立成的方程组 得 53 7xy 所以 点 P 的坐标是 153 7 直线 PC 的斜率 9pck 因为 3 1ADpck 5 所以 AP CP 练习题 直角 ABC 的斜 边为定长 m 以斜边的中点 O 为圆心作半径为长定长 n 的圆 BC 的延长线交此圆于 P Q 两点 求证 AP 2 AQ 2 PQ 2 为定值 7 你能说出练习题蕴含 了什么思想方法吗 学生独立解决练习题 教师 组织学生讨论交 流 证明 如图 以 O 为原点 分别以直线 PQ 为 x 轴 建立直角 坐标系 于是有 0 2mBC nP Q 设 A x y 由已知 点 A 在 圆 224m 上 AP2 AQ2 PQ2 2 nnxyxy 223m 定值 反馈 学生掌握 坐标法 解决问题 的情况 巩固所学 知识 归纳总结 8 小结 1 利用 坐标法 解 决问题的需要准备什么工作 2 如何建立直角坐标 系 才能易于解决平面几何问 题 3 你认为学好 坐标 法 解决问题的关键是什么 4 建立不同的平面直 角坐标系 对解决问题有什么 直接的影响呢 师 指导学生完成练习题 生 阅读教科书的例 3 并完 成 教师引导学生自己归纳总结 所学过的知识 组织学生讨论 交流 探究 对知 识进行归 纳概括 体会利用 坐标法 解决实际 问题的作 用 课后作业 布置作业习案 4 2 第 2 课时 学生独立完成 巩固所学知识 备选例题 例 1 一圆形拱桥 现时的水面宽为 22 米 拱高为 9 米 一艘船高 7 5 米 船顶宽 4 米的船 能从桥下通过吗 解析 建立坐标系如图所示 C 11 0 D 11 0 M 0 9 可求得过 C D M 三点的圆的方程是2221 9xy 故 A 点坐标是 2 y 1 则 22101 49y 6 得 y1 8 82 取 y1 0 y 1 7 5 因此船不能从桥下通过 例 2 设半径为 3km 的圆形村落 A B 两人同时从村落中心出发 A 向东 B 向北 A 出村后不久改变前进方向 斜着沿切于村落圆周的方向前进 后来恰好与 B 相遇 设 A B 两人的速度一定 其比为 3 1 问 A B 两人在何处相遇 解析 由题意以村中心为原点 正东方向为 x 轴的正方向 正北为 y 轴的正方向 建立直角坐标系 设 A B 两人的速度分别的为 3vkm h vkm h 设 A 出发 ah 在 P 处改 变方向 又经过 bh 到达相遇点 Q 则 P 3av 0 Q 0 a b v 则 PQ 3bv OP 3av OQ a b v 在 Rt OPQ 中 PQ 2 OP 2 OQ 2 得 5a 4b0 PQvak 4 设直线 PQ 方程为 3yxb 由 PQ 与圆 x2 y2 9 相切 2 43 解得 154b 故 A B 两人相遇在正北方离村落中心 154km 例 3 有一种商品 A B 两地均有售且价格相同 但某居住地的居民 从两地往回运时 每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍 已知 A B 相 距 10km 问这个居民应如何选择 A 地或 B 地购买此种商品最合算 仅从 运费的多少来考虑 解析 以 AB 所在的直线为 x 轴 AB 的中点为原点建立直角坐标系 AB 10 所以 A 5 0 B 5 0 设 P x y 是区域分界线上的任一点 并设从 B 地运往 P 地的单位距离运费为 a 即从 B 地运往 P 地的运费为 PB a 则运住 A 地的运费 PA 3a 当运费相等时 就是 PB a 3a PA 即 22 5 5 xy 整理得 214xy 所以在 表示的圆周上的居民可任意选择在 A 或 B 地购买 在圆内的居民应选择在 A 地购买 在圆外的居民应选择在 B 地购买