2018年北京市高考数学(文)试题含答案解析

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 数学 文史类 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 若集合 则 2Ax 2 01Bx AB I A B C D 0 2 2 在复平面内 复数 i1 的共轭复数对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 执行如图所示的程序框图 输出的 值为 s A 12 B 56 C 7 D 12 4 设 是非零实数 则 是 成等比数列 的 abcdadbc cd A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例 为这个 理论的发展做出了重要的贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 依次得到十三 个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等 于 若第一个单音的频率为 则第八个单音的频率为 12 f A 3f B 2f C 15f D 127f 6 某四棱锥的三视图如图所示 在此三棱锥的侧面中 直角三角形的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在平面直角坐标系中 是圆 上的四段弧 如图 点 在其 ABCDEF GH 21xy P 中的一段上 角 是以 为始边 为始边 若 则 所在的圆弧是 OxPtancosin A B B CD C EF D GH 8 设集合 则 1 4 2Axyaxya 对任意实数 对任意实数 a2 A B 1A 当且仅当 时 当且仅当 时 C0 1 D32a 二 填空 9 设向量 若 则 a bm b m 10 已知直线 过点 且垂直于 轴 若 被抛物线 截得的线段长为 则l 1 0 xl24yax4 抛物线的焦点坐标为 11 能说明 若 则 为假命题的一组 的值依次为 ab b 12 若双曲线 的离心率为 则 214xy 0 52a 13 若 满足 则 的最小值是 2x y 14 若 的面积为 且 为钝角 则 的取值范围ABC 2234acbC B ca 是 三 解答题 15 本小题 13 分 设 是等差数列 且 na1ln2a 35ln2a 1 求 的通项公式 2 求 12eenaa 16 本小题 13 分 已知函数 2 si3sicofxx 求 的最小正周期 若 在区间 上的最大值为 求 的最小值 fx m3 32m 17 本小题 12 分 电影公司随机收集了电影的有关数据 经分类整理得到下表 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 1405302080510 好评率 2 15 5 2 好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 从电影公司收集的电影中随机选取 部 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率 随机选取 部电影 估计这部电影没有获得好评的概率 21 电影公司为增加投资回报 拟改变投资策略 这将导致不同类型电影的好评率发生变化 3 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化 那么哪类电影的好评率增加 哪类电0 1 影的好评率减少 使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大 0 只需写出结论 由表格可知电影的总部数 1140532085102 获得好评的第四类电影 2 设从收集的电影中选 部 是获得好评的第四类电影为事件 则A501 4P 未获得好评的第一类电影 2140 56 未获得好评的第二类电影 5 2 未获得好评的第三类电影 30 1 5 未获得好评的第四类电影 2 0 未获得好评的第五类电影 80 1 64 未获得好评的第六类电影 5 59 未获得好评的电影总数 6420160 设随机选取 部电影 估计这部电影没有获得好评为事件 则1 B1604 25P 第五类电影增加 第二类电影减少30 18 如图 在四棱锥 中 底面 为矩形 平面 平面 PABCD ABPAD BC 分别为 的中点 PA EF 1 求证 2 求证 平面 平面 3 求证 平面 19 本小题 13 分 设函数 2312exfxaxa 1 若曲线 在点 处的切线斜率为 求 yf f 0a 2 若 在 处取得极小值 求 的取值范围 fx1 a 20 本小题 14 分 已知椭圆 的离心率为 焦距为 2 0 yMba 632 斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 kl AB 1 求椭圆 的方程 2 若 求 的最大值 AB 3 设 直线 与椭圆 的另一个交点为 直线 椭圆 的 2 0P PMCPBM 另一个交点为 若 和点 共线 求 DC71 4Q k 一 选择题 1 答案 A 2 答案 D 1i1iii 2z 则 故 的共轭复数在第四象限 2i 故选 3 答案 B 解析 根据程序框图可知 开始 1k s 执行 此时 不成立 循环 12s 3 此时 成立 结束 256 3kk 输出 s 故选 B 4 答案 解析 当 时 成立 但是 不成等比数列 1a 9d3bc adbc abcd 当 成等比数列时 此时根据等比数列性质 成立 bc 故 是 成等比数列 的必要而不充分条件 d 故选 B 5 答案 D 解析 根据题意可得 此十三个单音形成一个以 为首项 为公比的等比数列 f12 故第八个单音的频率为 81272ff 故选 6 答案 C 解析 由三视图可知 此四棱锥的直观图如图所示 在正方体中 均为直角三角形 PAD PAB 故 不是直角三角形 3PB 52 C 故选 C 7 答案 C 解析 因为 最小 所以 在第一二象限 tan 小于 所以 满足题意 cos EF 8 答案 D 解析 若 则 2 1A 210342a 则当 时 当 时 选 D3a 1A 二 填空题 9 答案 1 解析 由题知 因为 所以 0ma 1 abm amb 所以 10amb A1m 10 答案 解析 由已知 点在抛物线上 满足抛物线方程 即 124a 1 即抛物线方程为 4yx 焦点坐标为 0 11 答案 答案不唯一 1 解析 由题知 需求 的值 使得 且 所以当 时abab 10a b 符合条件 即当 时成立 其余正确答案均可 1 12 答案 4 解析 由题知 据双曲线的性质知 解得 2b 254ca 216a 0a 4 13 答案 3 解析 将不等式转换成线性规划 即 12xy 目标函数 zyx 如右图 在 处取最小值 1 2 min3z 14 答案 2 解析 由余弦定理可得 22cosbaB 由三角形面积公式可得 213sin4Scb 化简得 又 13sincos2acBa tan3B 0 2 3B 为钝角 C 0 6A 由正弦定理可得 sini 132tanCca A 0 6A 3t0 A ca 三 解答题 15 解析 解 1 设等差数列公差为 d ln2a 35ln2a 12ld l l n 1ln21lln2ad 所以 的通项公式为 n lna 2 12eenaa lnl3l2ln2e l2llnl3 12n 1n 16 解析 解 2 sin3sico1co n21si2sn 6fxxx 所以函数的最小正周期 2Tw 函数 能取到最大值 时 1 sin2 6fx 32sin 16x 由正弦函数的图像 m3x 5 mx 2m 所以 即 的最小值为 3 17 解析 由表格可知电影的总部数 1140532085102 获得好评的第四类电影 20 5 设从收集的电影中选 部 是获得好评的第四类电影为事件 则A 4P 未获得好评的第一类电影 214 0 56 未获得好评的第二类电影 5 2 未获得好评的第三类电影 30 1 5 未获得好评的第四类电影 2 0 未获得好评的第五类电影 80 1 64 未获得好评的第六类电影 5 59 未获得好评的电影总数 6420160 设随机选取 部电影 估计这部电影没有获得好评为事件 则1 B1604 25P 第五类电影增加 第二类电影减少30 18 解析 1 证明 在 中 点 为 中点 PAD EAD E 平面 平面 BC 平面 平面 平面 平面 平面 BCAD PE 2 由 1 知 平面 PE ABCD 平面 CD 平面 PEA 平面 CD 平面 平面 P CD 平面 A 平面 B 平面 平面 CD 3 证明 取 中点 连接 PQ F 在 中 分别为 中点 B PB 且 FC12 且 EDBB 且 FQFQ 四边形 为平行四边形 平面 平面 ED PCD PCD 平面 F 19 解析 1 解 函数定义域为 x R 2 231e312exfxaaxa ex 1xa 若函数在 处切线与 轴平行 则2 fx 即 2e10fa 12a 2 由 1 可知 xf 当 时 令 0a 0 1x 1 1 f 0 fxZ 极大值 不满足题意 当 时 令 或 0a 0f 1xa 当 时 即 1ax 1a1 a 1 f 0 fx 极小值 Z极大值 不满足题意 当 时 0a 1 当 即 时 函数 无极值点 1 0fx fx 2 当 即 时 a x a 1a1 a 2 1 f 0 fxZ 极大值 极小值 Z 满足题意 3 当 即 时 1a 01a x 11 a 1a f 0 fxZ 极大值 极小值 Z 不满足题意 综上所述 若 在 处取得极小值 fx2 1a 20 解析 1 由已知可得 又 所以 c63ce 3a 21bac 所以椭圆 的方程为 M213xy 2 令 直线 的方程为 1 Axy2 BAByxm 联立 整理得 23m 224630 x 所以 222361 3 1 4 0m 所以 m 所以 2222 2111 4 6 4mABxyx 因为 所以易知当 时 2m 0m max6AB 3 因为点 在椭圆外 所以直线 一定存在斜率 QCD 令 设直线 的方程为 3 Cxy4 Dxy17 4ymx 则 71m 374mx 直线 带入椭圆 中去 3 2 yPAx 213y 得 2223 3yxx 整理得 2222233331 0yxx 又因为 xy 所以 22333 47 1710 xx 所以可知 解得 1334x 31724 所以 313372 yyx 同理可得 4271x 427yx 所以 3412347147ABykxxx 34 7 22y 334411 7 4 mmxxx 34343347 8989x