8.空间几何体的表面积和体积练习题

1 一 知识回顾 1 棱柱 棱锥 棱台的表面积 侧面积 2 圆柱 r 为底面半径 l 为母线长 侧面积为 表面积为 圆锥 r 为底面半径 l 为母线长 侧面积为 表面积为 圆台 r r 分别为上 下底面半径 l 为母线长 侧面积为 表面积为 3 柱体体积公式 S 为底面积 h 为高 锥体体积公式 S 为底面积 h 为高 台体体积公式 S S 分别为上 下底面面积 h 为高 二 例题讲解 题 1 如图 1 所示 直角梯形 ABCD 绕着它的底 边 AB 所在的直线旋转一周所得的几何体的表面 积是 体积是 图 1 题2 若一个正三棱柱的三视图如图 2 所示 求这个正三棱柱的表面积与体积 图 2 左视图 俯视图 主视图 23 4 8 3 A D CB 2 题 3 如图 3 所示 在多面体 ABCDEF 中 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形 且 均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 ADE BCF A B C D 3233423 图 3 1 若圆柱的侧面积展开图是长为 6cm 宽为 4cm 的矩形 则该圆柱的体积为 2 如图 4 在正方体 中 11DCBA 棱长为2 E为 的中点 则1BA 三棱锥 的体积是 D 图 4 3 已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形 正 视图 或称主视图 是一个底边长为8 高为4的等腰三 角形 侧视图 或称左视图 是一个底边长为6 高为4 的等腰三角形 1 求该几何体的体积V 2 求该几何体的侧面积 S 图 5 选做题 4 如图 6 一个圆锥的底面半径为 2cm E A B D C F CB BAB D C1B B1 EA 1 D1 3 高为 6cm 在其中有一个高为 xcm 的内接圆柱 1 试用 x 表示圆柱的侧面积 2 当 x 为何值时 圆柱的侧面积最大 一 选择题 每小题 5 分 共计 60 分 请把选择答案填在答题卡上 1 以三棱锥各面重心为顶点 得到一个新三棱锥 它的表面积是原三棱锥表面积的 A B C D 341916 2 正六棱锥底面边长为 a 体积为 则侧棱与底面所成的角等于32a A B C D 6 4 15 3 有棱长为 6 的正四面体 S ABC 分别在棱 SA SB SC 上 且CBA S 2 S 3 S 4 则截面 将此正四面体分成的两部分体积之比为A B C A B C D 91843 4 长方体的全面积是 11 十二条棱长的和是 24 则它的一条对角线长是 A B C 5 D 6 321 5 圆锥的全面积是侧面积的 2 倍 侧面展开图的圆心角为 则角 的取值范围是 A B C D 0 70 180 9 6 正四棱台的上 下底面边长分别是方程 的两根 其侧面积等于两底2 x 面积的和 则其斜高与高分别为 A 与 2 B 2 与 C 5 与 4 D 2 与 3523 7 已知正四面体 A BCD 的表面积为 S 其四个面的中心分别为 E F G H 设四面体 E FGH 的表面积为 T 则 等于 A B C D 911 8 三个两两垂直的平面 它们的三条交线交于一点 O 点 P 到三个平面的距离比为 1 2 3 PO 2 则 P 到这三个平面的距离分别是14 A 1 2 3 B 2 4 6 C 1 4 6 D 3 6 9 9 把直径分别为 的三个铁球熔成一个大铁球 这个大铁球的半径是cm0 8 A B C D cmc2 4 9 如 图 在 多 面 体 ABCDEF 中 已 知 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形 且 均 为 正 三BCFADE 角 形 EF AB EF 2 则 该 多 面 体 的 体 积 为 A B C D 3 234 10 如图 在四面体 ABCD 中 截面 AEF 经过四面体的内切球 与四个面都相切的球 球心 O 且与 BC DC 分别交于 E F 如果截面将四面体分成体积 相等的两部分 设四棱锥 A BEFD 与三棱锥 A EFC 的表面积分别 是 则必有 21S A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D 的大小关系不能确定21与 11 三角形 ABC 中 AB BC 4 现将三角形3 0BC ABC 绕 BC 旋转一周 所得简单组合体的体积为 A B C 12 D 4 4 34 12 棱台的上 下底面面积分别为 4 和 9 则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比 是 A B C D 213132 二 填空题 请把答案填在题中横线上 每小题 5 分 共 20 分 13 一个四面体的所有棱长都为 四个顶点在同一个球面上 则此球的表面积为 2 3 14 已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截 剩下部分母线长的最大值为 最小值为r a 那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是 b 2 rba 15 江西卷 在直三棱柱 ABC A 1B1C1 中 底面为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC 1 P 是 BC1 上一动点 则 CP PA 1 的最小值是 2 137 16 圆柱的轴截面的对角线长为定值 为使圆柱侧面积最大 轴截面对角线与底面所成的 角为 45 0 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 4 个大题 共 20 分 17 圆锥的底面半径为 高为 12 当它的内接圆柱的底面半径为何值时 圆锥cm5c 的内接圆柱全面积有最大值 最大值是多少 当 r 30 7cm 时 S 的最大值是 7360 18 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面对角线 A1B 与侧面 ACC1A1成 45 角 AB 4 求棱柱的侧面积 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D A A B B A C C B D B A O C E F 5 棱柱的侧面积为 24 2 练习 11 空间几何体的表面积与体积 A 组 1 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A B C D 2 14 12 142 2 在棱长为 1 的正方体上 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 则截去与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 剩下的几何体的体积是 A B C D 343565 3 一个直棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱 的底面是菱形 对角线长分别是 6cm 和 8cm 高是 5cm 则这个直棱柱的全面积是 4 已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆 且它们的侧面 积之比为 1 2 则它们的高之比为 5 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 且长度分别为 1cm 2cm 3cm 则 此棱锥的体积 6 矩形两邻边的长为 a b 当它分别绕边 a b 旋转一周时 所形成的几何 体的体积之比为 7 球面上有三点 其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 经过这三 16 点的小圆周长为 4 则这个球的表面积为 B 组 1 四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E F G H 则四面体 EFGH 的表 面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是 2 半径为 R 的半球 一正方体的四个顶点在半球的底面上 另四个顶点在半 球的球面上 则该正方体的表面积是 3 如图 一个棱锥 S BCD 的侧面积是 Q 在高 SO 上取一点 A 使 SA SO 过点 A 作平行于底面的截面得一棱台 求这1 个棱台的侧面积 6 4 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 边 长 AB a 且 PD a PA PC a 若在这个四棱锥内放一个2 球 求球的最大半径 练习七参考答案 A 组 1 答案 A 解 设展开图的正方形边长为 a 圆柱的底面半径为 r 则 2 r a 2 底面圆的面积是 于是全面积与侧面积的比是 选 A 24a 21a 2 答案 D 解 正方体的体积为 1 过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱 锥的体积是 于是 8 个三棱锥的体积是 剩余部分的 324 6 体积是 选 D 65 3 答案 148 cm 2 解 底面菱形中 对角线长分别是 6cm 和 8cm 所以底面边长是 5cm 侧面面积是 4 5 5 100cm2 两个底面面积是 48cm2 所以棱柱的全面积是 148cm2 4 答案 2 解 设圆柱的母线长为 l 因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆 且它 们的侧面积之比为 1 2 所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 和 23 4 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 得 2rl 1l 23lr 7 所以它们的高的比是 2 235ll 5 答案 1cm 3 解 转换一个角度来认识这个三棱锥 即把它的两条侧棱 如长度为 1cm 2cm 的两条 确定的侧面看作底面 另一条侧棱作为高 则此三棱锥的 底面面积是 1 高为 3 则它的体积是 1 3 1cm3 6 答案 ba 解 矩形绕 a 边旋转 所得几何体的体积是 V1 b2a 矩形绕 b 边旋转 所得 几何体的体积是 V2 a2b 所以两个几何体的体积的比是 21a 7 答案 48 解 小圆周长为 4 所以小圆的半径为 2 又这三点 A B C 之间距离相等 所以每两点间的距离是 AB BC AC 2 3 又 A B 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的 所以 A B 在大圆中的圆61 心角是 60 所以大圆的半径 R 2 于是球的表面积是 4 R2 48 3 B 组 1 答案 1 9 解 如图 不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是相似 的 所以关键是求出它们的相似比 连接 AF AG 并延长与 BC CD 相交于 M N 由于 F G 分别是三角形的重心 所以 M N 分别是 BC CD 的中点 且 AF AM AG AN 2 3 所以 FG MN 2 3 又 MN BD 1 2 所以 FG BD 1 3 即两个四面体的相似比是 1 3 所以两个四面体的表面积的比是 1 9 2 答案 24R 解 如图 过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的截面 NM H GF E D C B A C 1A1 O CA 8 则 OC1 R CC 1 a OC a 2 所以 得 a2 R2 22 3 所以正方体的表面积是 6a2 4R2 3 解 棱锥 S BCD 的截面为 B C D 过 S 作 SF B C 垂足为 F 延长 SF 交 BC 于点 E 连结 AF 和 OE 平面 BCD 平面 B C D 平面 B C D 平面 SOE AF 平面 BCD 平面 SOE OE AF OE 于是 即 同理13AFSOE SFE 可得 1 3BC 9SSBC 9SDSB 9SCDSC S 棱锥 S B C D Q S 棱台侧 Q 8 4 解 设放入的球的半径为 R 球心为 S 当且仅当球与四棱锥的各个面都 相切时 球的半径最大 连结 SA SB SC SD SP 则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱 锥 这些小棱锥的高均为 R 底面为原四棱锥的侧面或底面 由体积关系 得 3PABCDPABCPDABCDVSSS 2221aa 2 3R 又 VP ABCD S 正方形 ABCD PD a3 11231 Ra 解得 R 2a 故所放入的球的最大半径为 2a 9