第七章习题

第七章 静电场中的导体和电介质7-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷，金属球半径为，已知与金属球心间距离为。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？题7-1图解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度与点电荷在球心处产生的电场强度大小相等，方向相反。 的方向由指向点电荷在球心处的电势为金属球表面感应电荷在球心的电势为，由于球表面感应电荷量总和为零，故球心电势为和的代数和（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势。设球上净电荷为。球面上的电荷在球心处的电势为点电荷在球心的电势为 由电势叠加原理 7-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板移近一块已带有正电荷的金属板，平行放置。设两板面积都是，板间距是，忽略边缘效应。求：（1）板不接地时，两板间的电势差；（2）板接地时，两板间电势差。 题7-2图解：（1）如图，设、两金属板各表面的面电荷密度分别为、。由静电平衡条件可知解得 又 故 两板间为匀强电场，电场强度两板间的电势差 （2）若板接地，则有 两板间的电场强度 两板间的电势差 7-3 为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为，板间距离为，使板带电分别为、，且。求：（1）板内侧的带电量；（2）两板间的电势差。解：（1）如图，设、两板各表面的电荷面密度分别为、。由题意 又由静电平衡条件（参考题7-2）得 题7-3图由、解得 故板内侧的带电量 （2）两板间为匀强电场，电场强度两板间电势差 7-4 如图所示，半径为的导体球带有电荷，球外有一个内半径为的同心导体球壳，壳上有电荷。（1）求球与壳的电势差；（2）用导线把球和壳连接在一起后，其电势为多少？解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为球与壳的电势差 题7-4图 （2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静电平衡时，球与球壳为等势体，。所有电荷（）均匀分布在球壳外表面。球壳外电场强度为球与球壳的电势 7-5 如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。设圆柱体的电势为，半径为，圆管的电势为，内半径为，求它们之间离轴线为处(的电势。解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为，在距轴线为的任意一点的场强为 题7-5图点与圆柱体的电势差 圆管与圆柱体的电势差 由、两式消去，得点电势7-6 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，垂直于地面向下，大小约为。试求：（1）地面的面电荷密度；（2）地面的每平方米所受的库仑力。解：设地球带电荷。由高斯定理，地球表面电场电荷均匀分布于地球表面，则地面面电荷密度地面每平方米受库仑力 7-7 如图所示，一平行板电容器两极板间充满了电容率为的均匀介质，已知极板上的面电荷密度分别为和。略去边缘效应。求电介质中的电场强度、极化强度、电位移，介质表面的 题7-7图极化电荷面密度。解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为其中为沿极板法线方向的单位矢量，方向从极板指向极板。两极板电介质中的电位移为极化强度 由于极化电荷都在介质的上下两表面，故极化电荷体密度。两极板间介质中的电场为板上自由电荷产生的电场和介质表面束缚电荷产生的电场的叠加。设介质表面极化电荷面密度为。 对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为。靠近带负电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为。7-8 如图所示，平行板电容器两极板相距为，接到电压为伏的电源上，在其间插入厚为、相对电容率为的玻璃平板。略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强度。题7-8图解：设电容器极板上电荷面密度为，则两极板间空气间隙中的场强为玻璃平板中的场强为 两极板间的电位差 由、两式可得 7-9 在相对电容率为、半径为的均匀电介质球的中心有一点电荷，介质球外的空间充满相对电容率为的均匀电介质。求距为()处的场强及电势（选无穷远处为电势零点）。解：介质球中心的点电荷产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外的场强分别为 （ ） （）选无穷远处为电势零点，距为（）处的电势7-10 有一面积为、间距为的平行板电容器。（1）在板间平行于极板面插入厚度为，面积也为的相对电容率为的均匀电介质板，计算其电容；（2）若插入的是同样尺寸的导体板，求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电容有无影响？题7-10图解：设电容器极板所带电荷面密度为（1）两极间电势差 由， 得 电容 （2）若插入导体板，则电容 （3）上下移动介质板或导体板对电容无影响。7-11 如图所示，一无限大平行板电容器，设两板相距，板上各带电荷，板带正电，板带负电并接地（地的电势为零），求：（1）在两板之间距板处点的电势；（2）板的电势。解：（1）平板电容器两板间场强点电势（2）板的电势题7-11图7-12 面积是的两平行导体板放在空气中相距，两板电势差为，略去边缘效应。试求：（1）电容；（2）各板上的电量、电荷的面密度和板间电场强度的值。解：（1）平板电容器电容（2）各板上的电量 板上电荷的面密度 板间电场强度的值 7-13 如图所示，电容器由三片面积都是的锡箔构成，相邻两箔间距离都是，外边箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极， 题7-13图（1）求电容；（2）若在这电容器上加电压，问三箔上电荷的面密度各是多少？解：（1）三片锡箔组成的电容器，其电容相当两个电容器的并联。（2）总电量 对于中间一片锡箔，总电量均匀分布在箔的两面，故锡箔面电荷密度7-14 如图所示，同心球电容器内外半径分别为和，两球间充满相对电容率为的均匀介质，内球带电量，试求：（1）电容器内外各处电场强度和两球的电势差；（2）电介质中电极化强度和极化电荷面密度；（3）电容。解：（1）内球所带电荷，在外球壳内外两表面感应出电荷和，两球间及球外电场具有球对称性，由高斯定理 （） （）两球的电势差题7-14图（2）电介质中的极化强度极化电荷分布在靠近内外球表面的球面上，极化电荷面密度分别为（靠近内球表面 ）（靠近内球表面）（3）由两球的电势差，电容器电容为7-15 一电容率为的无限大均匀介质中，有一个半径为的导体球，带电荷。求电场的能量。解：导体球的电荷均匀分布在外表面，球内不存在电场，电场只存在于球体外，其空间分布为 （） （）此时，电场的能量为7-16 一空气球形电容器内外球壳的半径分别为和，分别带有等量异号电荷，电势差为。试求：（1）电势能；（2）电场的能量。解：（1）介质为空气的球形电容器的电容为电势能为 （2）球形电容器介质层中的电场强度为其中 故 由于内球壳中场强为零，外球壳外场强也为零，故电场能量储存在内外球壳之间。在两球壳间取体积元，其电场能量全部电场中的能量 7-17 半径为的导体球，外套有同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为、，球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷，球壳带电荷时，问：（1）这个系统储藏了多少电能？ （2）如果用导线将球与壳连在一起，结果如何？解：（1）这个由导体球和同心导体球壳的系统将空间分为4个部分，分别为导体球内（；球与壳之间（；球壳之间（）及球壳之外（）。由于球体与球壳均为导体，所以导体球内与球壳之间的电场强度为零。由高斯定理易得此时全空间场强的表达式为系统储藏电能为（2）如果用导线将球与壳连在一起，此时电荷只分布在球壳外表面上。由高斯定理知：球壳外表面以内电场强度为0，球壳外表面以外电场强度表达式为系统储藏电能为7-18 如图所示，两平行导体板面积为、间距为，在它们中间平行地插入一层厚为、电容率的电介质，求下列两种情况下，插入介质后能量改变的值。（1）维持两极板电荷不变时插入介质；（2）维持两极板电压不变时插入介质。解：未插入介质极前，平板电容器的电容为 插入介质后，平板电容器的电容变为题7-18图（1）维持两极板电荷不变时插入介质板，插入前后电场的能量分别为， 能量改变的值 （2）维持两极板电压不变时插入介质板，插入前后电场的能量分别为 能量改变的值 7-19 一平行板电容器，板的面积为、极板间距离为,把它充电到两极板电势差为时去掉电源，然后把两极板拉开到距离为。略去边缘效应，试求：（1）分开两极板所需的功；（2）两极板的电势差；（3）电容器所储存的能量。解：当极板间距为时，电容器电容为当极板间距为时，电容器电容为（1）由于在拉开极板前电池已撤去，所以板上电荷量不变，分开两极板所需的功为电容器储存能量的增加量（2）两极板的电势差（3）两极板拉开后电容器所储存的能量