第二章-预备知识

第二章 预备知识本章给出本书所必需的预备知识。第一节介绍矩阵论的基本概念和基本知识；第二节讨论广义逆矩阵；第三节给出奇异矩阵束的概念；第四节讨论正则矩阵的基本结果。2.1矩阵论基本概念和知识用表示复数集合，用表示实数集合。上的矩阵由表示，上的矩阵由表示。除非特别说明，所有矩阵都属于。如果，我们用表示的共轭转置；对向量，通常的内积。对向量，定义它的Euclid范数，。对矩阵，我们使用算子范数，如果是的一个子空间，表示的维数。如果，的值域（列空间）用表示，而的零空间由表示。我们知道， 设都是的子空间，这些空间的和是子空间。如果（），即子空间是无关的，则它们的和称为直和，记作。我们知道，而且，如果，则存在唯一的使得 一个投影是一个矩阵使得。易证，。反之，如果，存在唯一的投影使得和；我们把这个投影称为沿着到上的投影，并记作。如果是的一个子空间，的一个正交补是。是一个子空间，并且。简记为。 我们经常要用到块矩阵的概念。特别地，若矩阵是块对角的，即沿的主对角线有矩阵块，其余元素均为零，记。矩阵的特征值是多项式的根。的谱是的所有特征值的集合，记作；的谱半径为。设，我们说相似于，如果存在一个非奇异矩阵使得。每一个矩阵都相似于一个Jordon标准型，即其中称为Jordon块。一个矩阵是半正定的，如果对所有都成立，其中表示向量的内积。如果矩阵是半正定的，则它有唯一的半正定方根，记为，即。一个矩阵，的指数，记作，是使得（为了方便起见设）的最小非负整数。由于显然，存在，且。若是非奇异矩阵，则。若是次数为的幂零矩阵（），则。指数也可以定义为使得成立的最小非负整数。如下定理我们在下节中要用到。定理1.1 如果，且，则和都是的不变子空间，且。定理1.1的证明留给读者。定理1.2 如果， ， 和则存在一个非奇异矩阵使得其中是一个非奇异矩阵，是一个次数为的幂零矩阵。证明：设是的一组基，是的一组基，则为的一组基。如果，则存在坐标使得。设则，其中，。注意到，当且仅当，而当且仅当。如果，我们有，其中是一个矩阵，是一个矩阵。这样，。若，则。由于，故。由于对所有都有，因此。类似可证，从而得到，。 若，。这意味着对任意成立，从而。另一方面，由于和是一个矩阵可得，是非奇异矩阵。现在，由得，。2.2 广义逆矩阵本节介绍广义逆阵，即半逆阵、反形半逆阵、Moore-Penrose逆阵和Drazin逆阵。首先，我们来讨论半逆矩阵。定义2.1 对于矩阵，若存在矩阵使得则称矩阵为矩阵的半逆矩阵。一般地，用表示的一个半逆矩阵。一般说来，一个矩阵的不一定是唯一的，但如下结果成立。定理2.1 若为矩阵的一个半逆矩阵，则均为矩阵的一个半逆矩阵，其中，为适当阶数的任意矩阵，且矩阵的任何一个半逆矩阵都可表示成(2.2)的形式。 证明：我们先证明(2.2)满足(2.1)，即 反过来，我们证明，如果矩阵满足(2.1)，则其可以表示成(2.2)的形式。事实上，只要取即可。这时定理2.1证毕。定理2.2 如果，其中，为非奇异矩阵，而取遍矩阵的所有半逆阵，则取遍矩阵的所有半逆阵。证明：如果为矩阵的半逆阵，设，则因而为的半逆阵。 反之，如果为的半逆阵，则它有形式，其中是的半逆阵。事实上，定理2.2证毕。 定理2.3 分块矩阵的半逆阵为，其中 证明：直接验证得定理2.3证毕。 同理可证如下定理。 定理2.4 分块矩阵的半逆阵为，其中 定理2.3和定理2.4分别给出求半逆阵的方法。例如，设，是由的前行构成的矩阵，是的第行。由定理2.3，我们可以得到求矩阵的半逆阵的递推公式：其中下面讨论反形半逆阵。定义2.2 设，若存在阶矩阵使得则称为矩阵的反形半矩阵。一般地，用表示矩阵的一个反形逆。反形半逆阵是特殊的半逆阵。 定理2.5 如下关系式成立，其中为适当阶数的单位矩阵，为适当阶数的任意矩阵。定理2.6 当取遍的所有半逆阵时，矩阵取遍矩阵的所有反形逆阵。定理2.5和定理2.6的证明由定义直接验证即得。定义2.3 设，若存在阶矩阵使得则称为矩阵的准逆阵（Moore-Penrose逆阵，简称逆阵）。 显然，逆矩阵是一种特殊的反形半逆阵。特别地，当时，这表明的逆阵确是逆阵的一种推广。下面证明定义2.3的矩阵存在而且唯一。定理2.7 设，存在唯一满足定义2.3的（Moore-Penrose）条件10-40的阶矩阵。 证明：设，则由矩阵分解理论知道，可以分解为，其中和分别为和阶酉矩阵，这里为阶非奇异上三角阵。记则满足Moore-Penrose条件10-40。 下面证明唯一性。设和是矩阵的任意两个Moore-Penrose逆，都满足Moore-Penrose条件10-40，则Moore-Penrose逆有许多与通常逆（正则逆）相仿的性质。定理2.8 设，则(1) ；(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ，这里和为酉矩阵。利用的定义可以方便地验证上述性质，留给读者作为习题。现在，我们讨论Drazin逆阵。定义2.4 设，若矩阵使得则称为矩阵的Drazin逆阵（简称逆阵）。定理2.9 设，Drazin逆阵存在，且唯一。进一步， 若其中是一个非奇异矩阵，是一个次数为的幂零矩阵，则。证明：设，由定理1.2，存在一个非奇异矩阵使得(2.4)成立。定义如(2.5)， 则满足定义2.4中的条件10-30，故为矩阵的Drazin逆阵。这就是说，任意矩阵都存在Drazin逆阵。 现在，我们证明Drazin逆阵的唯一性。设和是矩阵的任意两个Drazin逆阵，并设，则由定义2.4中的条件10和30得，且由定义2.4中的条件20有类似可证这样，我们有定理2.9证毕。 注2.1 和，其中。另外 由定理2.9，可得下面结论。定理2.10 如果，且是的一个重特征值，则是的一个重特征值。若是的一个重特征值，则是的一个重特征值。定理2.11 设，则是的次数小于或等于多项式。证明：在(2.4)中，是一个非奇异矩阵，是一个次数为的幂零矩阵，且。由Cayley-Hamilton定理，其中是次数小于或等于的多项式。直接计算得，由于。定理2.11证毕。2.3矩阵束 本节给出矩阵束的基本概念和相应的基本知识。定义3.1 对阶数同为的两个矩阵和纯量，称为以为参数的矩阵束，简称矩阵束。一般地，我们将矩阵分为正则矩阵束和奇异矩阵束两类。定义3.2 如果矩阵同为两个阶方阵，且行列式不恒为零，则称矩阵束为正则矩阵束，称矩阵对为正则矩阵对。定义3.3 对阶数同为的两个矩阵如果，或者且行列式恒为零，则称矩阵束为奇异矩阵束。定义3.4 对阶数同为的两个矩阵束和，如果存在两个阶数分别为和的非奇异矩阵和，使得则称矩阵束与矩阵束严格相抵的。对阶数为的奇异矩阵束，设其秩为，则或者，或者。不妨设，则列线性相关，且线性方程组有非零解。 由于(3.1)的系数是的一次式，其基本的线性无关解常可以这样选取，使得它的分量都是的多项式。我们只考虑这样一些解，它是的多项式，且在这些解中，取最小次数的解其中 。将其代入(3.1)，并比较的系数得则(3.3)关于的系数矩阵的秩。 由于是最小的，故矩阵的秩。这样，是在式中使成立的最小指标。定理3.1 如果(3.1)有最小次数的解，且有，则矩阵束与矩阵束严格相抵，其中而是这样的矩阵束，类似(3.1)的方程对于它没有次数小于的解。该定理的证明可分三步进行：第一步，证明矩阵束与严格相抵，其中为适当阶的矩阵。 第二步，证明方程不能有次数小于的解。第三步，上面的矩阵可以化为(3.4)。详细证明可参见5，从略。下面讨论奇异矩阵束的标准形式。定理3.2 对于阶数为的奇异矩阵束，若在其行之间和其列之间都没有常系数的线性相关性，则矩阵束与矩阵束严格相抵，其中而矩阵束是正则的。 证明：如果奇异矩阵束列线性相关，且方程有次数小于的非零解，由假定知，再由定理3.1可得，该矩阵束与矩阵束严格相抵，其中方程没有次数小于的解。 如果方程有次数小于的非零解（必有），由定理3.1得，奇异矩阵束与矩阵束严格相抵，其中方程没有次数小于的非零解。 如此继续下去，我们可将奇异矩阵化为其中，且方程有次数非零的解，即矩阵束列线性无关。 如果矩阵束行线性相关，则矩阵束的转置矩阵束列线性相关，由上可将其化为(1.6)的形式，即存在 将化为其中矩阵束的行和列都是线性无关的，即矩阵束是正则的。定理3.3 一般地，对于阶数为的奇异矩阵束，存在非奇异矩阵和非奇异矩阵，使得其中为零矩阵，而，为一正则矩阵束，这里 证明：一般说来，矩阵束的行与列可能有常系数线性相关。设方程与方程的常系数无关解的最大个数分别为和。 对于方程(3.8)，以其线性无关常数解为中基的前个向量，则对应的矩阵中前列都是零，即 对于，用完全类似的方法可使前行变为零。这样，矩阵束可化为其中的行与列没有常系数线性相关性。由定理3.2可得定理3.3成立。2.4 正则矩阵束上一节中，我们给出了正则矩阵束的概念，本节将作进一步的讨论。定理4.1 矩阵对为正则的充要条件为，存在单位矩阵和幂零矩阵使得矩阵束与矩阵束严格相抵。证明：定理的充分性是显然，我们只需证明其必要性。如果矩阵束正则，则存在常数使得。设，则从而用相似变换，将其化为其中为矩阵的准对角形范式。为幂零矩阵，而。 式(2.1)右端的对角线上第一子块乘以，第二子块乘以，并设，可得矩阵束与矩阵束严格相抵，而且，仍为幂零矩阵。定理2.1证毕。由定理4.1不难证明如下定理。定理4.2 矩阵对为正则的充要条件为，存在单位矩阵和幂零矩阵使得矩阵束与矩阵束严格相抵。定理4.3 设矩阵对正则，即存在某些纯量使得存在，令则有 证明：因为我们有因此，。用分别左乘和右乘该式，得故。定理2.3证毕。 定理4.4 下列叙述是等价的，a) 矩阵对正则；b) 如果，而且则对所有，都有；c) 如果，而且则对所有，都有；d) 对所有的，矩阵列满秩。e) 对所有的，矩阵行满秩。证明：我们首先证明a)与b)的等价性。如果a)不成立，则存在非零的使得对所有的数都有我们可以将表示为关于的阶数最小的多项式其中。将式(2.2)代入方程组并比较充要条件为，存在单位矩阵和幂零矩阵使得矩阵束与矩阵束关于的同次项系数得我们注意到，而且，故b)不成立，即由b)可以得到a)。反之，如果b)不成立，设为第一个使得（）非零的集合，并设为集中的非零元素。由的定义，存在唯一确定的使得类似地，存在唯一确定的使得(2.3)成立，故a)不成立。也就是说，由a)可推出b).综上所述，a)与b)等价。由于等价于，因而可由a)与b)的等价性得到a)与c)的等价性。a)与d)和a)与e)的等价性同理可证。