2015清华大学自主招生试题(含答案)

2015 清华大学自主招生 第 1 页 共 9 页 一 选择题 1 设复数 z cos isin 则 23 21 z A 0 B 1 C D 3 2 设数列 为等差数列 p q k l 为正整数 则 p q k l 是 的 条件 na pqklaa A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 3 设 A B 是抛物线 y 上两点 O 是坐标原点 若 OA OB 则 2x A OA OB 2 B OA OB 2 2 C 直线 AB 过抛物线 y 的焦点 D O 到直线 AB 的距离小于等于 12x 4 设函数 的定义域为 1 1 且满足 0 x 1 0 f fx x y 1 1 则 为fxy 1f f A 奇函数 B 偶函数 C 减函数 D 有界函数 5 如图 已知直线 y kx m 与曲线 y f x 相切于两点 则 F x f x kx 有 A 2 个极大值点 B 3 个极大值点 C 2 个极小值点 D 3 个极小值点 6 ABC 的三边分别为 b c 若 c 2 C 且 sinC sin B A 2sin2A 0 则有 a3 A b 2 B ABC 的周长为 2 2 C ABC 的面积为 D ABC 的外接圆半径为a 2323 7 设函数 则 2 3 xfxe A 有极小值 但无最小值 B 有极大值 但无最大值 fx C 若方程 b 恰有一个实根 则 b D 若方程 b 恰有三个不同实根 则 0 b fx36e f 36e 2015 清华大学自主招生 第 2 页 共 9 页 8 已知 A x y B x y 已知 A B 22xyr 22 xaybr 1 xy2 则 A 0 2 B 2ab2r1212 0ab C b D 12x 12y xy 9 已知非负实数 x y z 满足 2z 3 则 5x 4y 3z 的最小值为 24xyz A 1 B 2 C 3 D 4 10 设数列 的前 n 项和为 若对任意正整数 n 总存在正整数 m 使得 则 anS nSma A 可能为等差数列 B 可能为等比数列n a C 的任意一项均可写成 的两项之差 D 对任意正整数 n 总存在正整数 m 使得 na nmS 11 运动会上 有 6 名选手参加 100 米比赛 观众甲猜测 4 道或 5 道的选手得第一名 观众乙猜测 3 道的选手不可能得第一名 观众丙猜测 1 2 6 道选手中的一位获得第一名 观众丁猜测 4 5 6 道的选 手都不可能获得第一名 比赛后发现没有并列名次 且甲 乙 丙 丁中只有 1 人猜对比赛结果 此人 是 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 12 长方体 ABCD 中 AB 2 AD A 1 则 A 到平面 BD 的距离为 1ABCD11 A B C D 3263 13 设不等式组 所表示的区域为 D 其面积为 S 则 1 xyk A 若 S 4 则 k 的值唯一 B 若 S 则 k 的值有 2 个2 C 若 D 为三角形 则 043 14 ABC 的三边长是 2 3 4 其外心为 O 则 ABCOA A 0 B 15 C D 219 15 设随机事件 A 与 B 互相独立 且 P B 0 5 P A B 0 2 则 A P A 0 4 B P B A 0 3 C P AB 0 2 D P A B 0 9 16 过 ABC 的重心作直线将 ABC 分成两部分 则这两部分的面积之比的 A 最小值为 B 最小值为 C 最大值为 D 最大值为34454354 17 从正 15 边形的顶点中选出 3 个构成钝角三角形 则不同的选法有 A 105 种 B 225 种 C 315 种 D 420 种 18 已知存在实数 r 使得圆周 上恰好有 n 个整点 则 n 可以等于 2xyr 2015 清华大学自主招生 第 3 页 共 9 页 A 4 B 6 C 8 D 12 19 设复数 z 满足 2 z z 1 则 A z 的最大值为 1 B z 的最小值为 C z 的虚部的最大值为 D z 的实部的最大值为132313 20 设 m n 是大于零的实数 mcos msin ncos nsin 其中 0 2 a b 0 2 定义向量 记 12cosm in21cos2n in 则 A B C D 12a 12ab cs2n 122 4siabm 122 4cosabm 21 设数列 满足 6 则 n113nn A n N cosB B tanA cotB C D 22bc 33abc 25 设函数 的定义域是 1 1 若 1 则存在实数 0 1 使得 fx 0 f A 0 x B 在 上单调递增 x C 1 x 0 D 1 x 0 fx f 26 在直角坐标系中 已知 A 1 0 B 1 0 若对于 y 轴上的任意 n 个不同的点 k 1 2 n 总存kP 在两个不同的点 使得 sin A B sin A B 则 n 的最小值为 iPj iPj13 A 3 B 4 C 5 D 6 27 设非负实数 x y 满足 2x y 1 则 x 的 2xy A 最小值为 B 最小值为 C 最大值为 1 D 最大值为455123 2015 清华大学自主招生 第 4 页 共 9 页 28 对于 50 个黑球和 49 个白球的任意排列 从左到右排成一行 则 A 存在一个黑球 它右侧的白球和黑球一样多 B 存在一个白球 它右侧的白球和黑球一样多 C 存在一个黑球 它右侧的白球比黑球少一个 D 存在一个白球 它右侧的白球比黑球少一个 29 从 1 2 3 4 5 中挑出三个不同数字组成五位数 其中有两个数字各用两次 例如 12231 则能得到的 不同的五位数有 A 300 个 B 450 个 C 900 个 D 1800 个 30 设曲线 L 的方程为 0 则 4242 yxyx A L 是轴对称图形 B L 是中心对称图形 C L x y 1 D L x y y 2 1 Answer 1 解析 21 z 2 z1 z 2cosin32 cosin3 2sinsico33 s sin co2 0ni i 6 17 s si 6 1 选 B13cosi23i 2 简解 p q k l d 与公差 d 的符号有关 选 D pqklaa 3 解析 设 A B 021 x2 xOA 1212 x 21x 答案 A 2 正确 答案 OAB 2121 xx 21x1 x B OA OB 2 2 正确 答案 C 直线 AB 的斜率为 方 21 211x 程为 y x 焦点 0 不满足方程 错误 答案 D 原点到直线 AB x 21x1 x14 1 y 1 0 的距离 d 1 正确 选 ABD21 x 2015 清华大学自主招生 第 5 页 共 9 页 4 解析 x y 0 0 y x 为奇函数 A 正确 0 B 错误 0 f fxf x fx 0 C 正确 12x 1 fx21fx212f 1 f2 xf tan 满足已知条件 但无界 D 错误 选 A C f 5 简解 将直线平移知 斜率为 k 的直线 与曲线 y 至多有五个公共点 其中在此直线先下方后 fx 上方的两个区间 先上方后下方的三个区间 故 有三个极大值点 两个极小值点 选 BCF 6 解析 2R R D 正确 sincC43 2 又 sinC sin B A sin B A sin B A 2sinBcosA 2sin2A 4sinAcosA cosA 0 或 sinB 2sinA A 或 b 2 A 时 b 周长为 2 面积为 b 2 时 2 a2 3a43323a2c B 同样有周长为 2 面积为 选 BCDcosbC a 7 简解 x 3 x 1 作出其大致图象 如 fx xe36 ffe 极 大 1 2fxfe 极 小 图 选 BD 2015 清华大学自主招生 第 6 页 共 9 页 8 解析 已知即半径相等的两圆 O 与 C 交于相异的两点22xyr 22 xaybr 0 OC 2 r 0 0 时 S 单调增 梯形 ABC 面积为 4 故 S 4 只有一解 A 正确 AB D 的面积分别2851P34 为 1 都比 大 故再两个三角形内各存在一个围成面积为 的直线 B 正确 k 0 时 围成的仍然45 12 是三角形 C 错误 围成五边形 斜率大于直线 PC 的斜率 4 D 正确 选 ABD 14 简解 取 AB 的中点 D 则 OA AB cos OAB AB OA cos OAB 同理OAB 21AB 原式 选 DOBC 21 21C 2219 ABC 15 简解 设 P AB x 则 P A 0 2 x 根据 P AB P A P B 有 x 0 2 x 0 5 x 0 2 P A 0 4 A 正确 P B A 0 5 0 2 0 3 B 正确 P AB 0 2 C 正确 P A B P A P B P AB 0 7 D 错误 选 ABC 16 解析 设 ABC 的重心为 G 面积为 1 过点 G 的直线与三角形边 AB AC 分别相交于 D E AD xAB AE yAC 则有 AB ACsinA 1 如图2 ED G CB A 特别的 x y 0 1 时 DE 为三角形的中线 此时分成两部分面积比值为 1 当 x y 0 1 时 ADE 面积 S AD AEsinA xAB yACsinA xy D G E 三点共线 存在实数 1212 使得 1 1 x y 又DGE AD EA AD AB C 2015 清华大学自主招生 第 8 页 共 9 页 消去 得到 3 因 2 AG 13BC 1 3xy 1xy 1xy 2S 23 S 等号成立当且仅当 x y DE BC 故 S 最小值为 1 S 的最大值为 故两面积比值有 4923 4959 最小值 最大值 选 BD5 17 解析 先看一个顶点处构成钝角的三角形个数 加设此点为 A 从 A 逆时针方向的点依次记为 k 1 2 3 7 顺时针方向的顶点依次记为 k 1 2 3 7 要构成以 A 为钝角的钝kAkA nm 角三角形 则 n m 7 有 1 2 3 6 21 个 于是共可构成 15 21 315 个钝角三角形 选 C 18 简解 正数点关于 x 轴 y 轴对称 故一定是 4 的倍数 选 ACD 19 简解 设 x x yi x y R 代入化简得到 表示以 0 为圆心 以 为半径的21 39xy 1323 圆及其内部 根据图形 选 ACD 20 解析 是一个数值 不是向量 A 错 12a B 正确 12b cosmn sin2 cos2mn cos2n m n 2 cos m n 12 a co ii m 2 cos 2 1 cos C 正确 n n2 24sin 同理 D 正确 选 BCD 21 简解 迭乘得到 n 2 n 1 n n n 2 A B sinA sin B cosB tanA tan B cotB A B 正确 锐角三角2 2 2 形 一定有 C 正确 三角形三边长为 0 5 0 9 1 时 满足锐角三角形条件 但bc 0 存在 0 当 x 时 1 x 1 1 0fx 0 知在 0 附近存在区间 0 B 正确 fx 0 f fx 对于函数 y x 1 D 不正确 总之 选 ABC 26 解析 将所有的 sin A B sin A B 按从小到大排序 共有 个 其中最小者不大于 iPj 2nC13 最大为 2 于是 2 n 的最小值为 4 选 B213nC 27 解析 设 x rcos y rsin 0 2x y 1 r x rcos r 2 12cosin 2xy 记作 T 去分母得到 Tsin 2T 1 cos 1 sin arctan cos2in 2 T 1T 1 解得 T 等号成立当且仅当 arctan arctan A 正确 2 1 45 34 当 0 时 T 2 时 T 1 最大值为 2 C 正确 选 AC 28 简解 黑球先放好 放白球 选 A 29 解析 先从五个数字中 将这三个数字中选出来 有 种方法 如选了 123 在确定不重复用的数35C 字 有 种方法 如选 3 对数字 3 安排有 种方法 余下的对数字 1 安排有 种方法 剩下的两位13C15 24C 安排 2 有 900 选 C51A24 30 简解 解方程得到 易知它关于两坐标轴及原点都对称 A B 正确 2214yx 1 有 x 条件 但已知中无此条件 故 C 错误 设 2x tan 2xy 2413 sec 当 sec 2 时 y D 正确 选 ABD 22sec 42maxy1412