广东省广州市2018届高三上学期第一次调研测试理科数学

秘密 启用前 试卷类型 A 广州市 2018 届高三上学期第一次调研测试理科数学 2017 12 本试卷共 5 页 23 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的姓 名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考 生号 2 作答第 卷时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 写在本试卷上无效 3 第 卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 设集合 则 1 023A 230Bx AB A B C D 1 1 3 1 03 2 若复数 满足 则z 12iiz z A B C D 53510510 3 在等差数列 中 已知 前 项和 则公差 na2 776S d A B C D 232 3 4 已知变量 满足 则 的最大值为xy02xy zxy A B C D 0456 5 的展开式中 的系数为 912x 3x A B C D 92 9221 6 在如图的程序框图中 为 的导函数 若 ifx if0 sinfx 则输出的结果是 A B sinx cos C D x 7 正方体 的棱长为 2 点 为 的中点 点 为1BDCM1CN 线段 上靠近 的三等分点 平面 交 于点 则1 BNAQ 的长为 A B 23 12 C D 16 3 8 已知直线 与曲线 相切 则实数 的值为2ykx lnyx k A B C D ln11ln2 1ln2 9 某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额 其中甲大学 2 名 乙大学 2 名 丙大学 1 名 并且甲大学和 乙大学都要求必须有男生参加 学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象 则不同的推荐方法共 有 A 36 种 B 24 种 C 22 种 D 20 种 10 将函数 的图象向左平移 个单位 所得图象对应的函数恰为奇函2sinsi36yxx 0 数 则 的最小值为 A B C D 6 124 3 11 在直角坐标系 中 设 为双曲线 的右焦点 为双曲线 的右xOyF21 0 xyab PC 支 上一点 且 为正三角形 则双曲线 的离心率为PC A B C D 32313 23 开始 输入 f0 x i 0 i i 1 1 iifxf i 2017 输出 ifx 结束 否 是 12 对于定义域为 的函数 若满足 当 且 时 都有 R fx 0f x R0 0 xf 当 且 时 都有 则称 为 偏对称函数 现给出四120 x 12 12fxf f 个函数 31fx 2exf 3ln1 0 xf 则其中是 偏对称函数 的函数个数为 4 0 20 xf A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 若 则向量 的模为 2x a 3 4 b abAa 14 在各项都为正数的等比数列 中 若 则 的最小值为 n2018 20179 15 过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于 两点 若 C2 ypx FCAB6AF 则 的值为 3BF 16 如图 格纸上正方形小格的边长为 1 图中粗线画出的是某三棱锥 的三视图 则该三棱锥的外接球的表面积为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题 考生都必须做答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求做答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 的内角 的对边分别为 且满足 ABCCabc2a cos 2 cosBbA 1 求角 的大小 2 求 周长的最大值 18 本小题满分 12 分 如图 已知多面体 的底面 是边长为 的菱形 PABCDE2 底面 且 PA 2 1 证明 平面 平面 2 若直线 与平面 所成的角为 求二面角 PABo45 的余弦值 DCEP 19 本小题满分 12 分 某基地蔬菜大棚采用水培 无土栽培方式种植各类蔬菜 过去 50 周的资料显示 该地周光照量 小时 都在 30 小时以上 其中不足 50 小时的周数有 5 周 不低于X 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周 超过 70 小时的周数有 10 周 根据统计 该基地的西红柿增加量 百斤 与使用某种液体肥料y 千克 之间对应数据为如图所示的折线图 x 1 依据数据的折线图 是否可用线性回归模型拟合 与 的关系 请计算相关系数 并加以说明yxr 精确到 0 01 若 则线性相关程度很高 可用线性回归模型拟合 75 0 r 2 蔬菜大棚对光照要求较大 某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪 但每周光照控 制仪最多可运行台数受周光照量 限制 并有如下关系 X 周光照量 单位 小时 305X 07 0X 光照控制仪最多可运行台数 3 2 1 若某台光照控制仪运行 则该台光照控制仪周利润为 3000 元 若某台光照控制仪未运行 则该台光 照控制仪周亏损 1000 元 以过去 50 周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率 商家欲使周总利润 的均值达到最大 应安装光照控制仪多少台 附 相关系数公式 参考数据 niiniii ii yxr1212 5 03 95 0 E D B C A P x y克克克克 5 43 86 5 42 克克克克O 20 本小题满分 12 分 如图 在直角坐标系 中 椭圆 的上焦点xOyC21yxab 0 为 椭圆 的离心率为 且过点 1FC126 3 1 求椭圆 的方程 2 设过椭圆 的上顶点 的直线 与椭圆 交于点 不在 轴上 垂直于 的直线与 交AlCByll 于点 与 轴交于点 若 且 求直线 的方程 MxH10FB MOAl 21 本小题满分 12 分 已知函数 lnbfax 1 当 时 若函数 恰有一个零点 求实数 的取值范围 2bf a 2 当 时 对任意 有 成立 求实数 的0 12 ex 12efxf b 取值范围 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 曲线 的参数方程为 为参数 将曲线 经过伸缩变换xOy1Ccos2inxy 1C 后得到曲线 在以原点为极点 轴正半轴为极轴的极坐标系中 直线 的极坐标方程为2xy 2 l cosin10 1 说明曲线 是哪一种曲线 并将曲线 的方程化为极坐标方程 2C2C 2 已知点 是曲线 上的任意一点 求点 到直线 的距离的最大值和最小值 MMl 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 fxa 1 当 时 求不等式 的解集 21fx 2 若函数 的值域为 且 求 的取值范围 2018 届广州市 3gxf A 2 a 高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解 答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题不给中间分 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B A A D D B A C C 二 填空题 13 10 14 4 15 4 16 1 三 解答题 17 1 解法 1 由已知 得 cos2cosaBbA 由正弦定理 得 1 分siniinAC 即 2 分si 2BC 因为 3si si 分 所以 4sin2icosA 分 因为 所以 5 分i0C 12 因为 所以 6 分A 3 解法 2 由已知根据余弦定理 得 1 分 2222acbbca 即 3 分2bcab 所以 5 分 21osAc 因为 所以 6 分0 3 2 解法 1 由余弦定理 22cosabA 得 7 分24bc 即 8 分 3 因为 9 2cb 分 所以 223 4c 即 当且仅当 时等号成立 114b bc 分 所以 6ac 故 周长 的最大值为 12ABCb6 分 解法 2 因为 且 2sinisincRBC a3A 所以 8 分43b43 所以 9 分 2sinac 4322sin3B 104i6B 分 因为 所以当 时 取得最大值 203B 3 abc 6 故 周长 的最大值为 12ACabc 6 分 18 1 证明 连接 交 于点 设 中点为 DACOPF 连接 OFE 因为 分别为 的中点 所以 且 PA 12F 因为 且 DE PA 所以 且 1 分ODE 所以四边形 为平行四边形 所以 即 2 分FOEFABDA FOPACB DE 因为 平面 平面 所以 PA BCD ABCDPB 因为 是菱形 所以 因为 所以 平面 4 分 因为 所以 平面 5EFAP 分 因为 平面 所以平面 平面 6 PCAC E 分 2 解法 1 因为直线 与平面 所成角为 BDo45 所以 所以 7 45 A2 分 所以 故 为等边三角形 CBC 设 的中点为 连接 则 MABC 以 为原点 分别为 轴 建立空间直ADPxyz 角坐标系 如图 xyz 则 20 P01 3 C 2 E0 1 9 分 设平面 的法向量为 1 xyzn 则 即 0 PCE An11320 z 则 所以 101 y令 1 2 xz n 分 设平面 的法向量为 CDE2 xyz m 则 即 令 则 所以 11 分 0 2230 zz 21 x 23 0 yz 1 30 m 设二面角 的大小为 由于 为钝角 P 所以 36cos 4 nm 所以二面角 的余弦值为 12 分DCE 46 Mz yxPACB DE 解法 2 因为直线 与平面 所成角为 且 平面 PCABD45 PABCD 所以 所以 745A 2 分 因为 所以 为等边三角形 2B 因为 平面 由 1 知 PC PAOF 所以 平面 OFD 因为 平面 平面 所以 且 A BCD BOFC 在菱形 中 以点 为原点 分别为 轴 建立空间直角坐标系 如图 Bxyz xyz 则 0 12 0 3 0 1 PE 则 91 CECD 分 设平面 的法向量为 1 xyzn 则 即0 PCE n11203 令 则 则法向量 10 分1y1 yz n 设平面 的法向量为 D2 xyz m 则 即0 CE 230 令 则 则法向量 11 分21x2 0 yz 1 3 设二面角 的大小为 由于 为钝角 PCED 则 6cos 42 nm 所以二面角 的余弦值为 12 分 PE 19 解 1 由已知数据可得 1 分24568345 4xy 因为 2 分 51 3 1016iiixy zOyxPACB DE 3 分 52310 3 22 512 iix 4 分 522221 1 iiy 所以相关系数 5 分1221 690 515 niiini ii ixyr 因为 所以可用线性回归模型拟合 与 的关系 60 75r yx 分 2 记商家周总利润为 元 由条件可知至少需安装 1 台 最多安装 3 台光照控制仪 Y 安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元 7 分 安装 2 台光照控制仪的情形 当 X 70 时 只有 1 台光照控制仪运行 此时周总利润 Y 3000 1000 2000 元 当 3070 时 只有 1 台光照控制仪运行 此时周总利润 Y 1 3000 2 1000 1000 元 当 50 X 70 时 有 2 台光照控制仪运行 此时周总利润 Y 2 3000 1 1000 5000 元 当 30 X 70 时 3 台光照控制仪都运行 周总利润 Y 3 3000 9000 元 故 的分布列为YY 1000 5000 9000P 0 2 0 7 0 1 所以 元 1110 250 79 146E 分 综上可知 为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪 12 分 20 解 1 因为椭圆 的离心率为 所以 即 1 分C1212ca c 又 得 即 所以椭圆 的方程为 22 abc 2 3c4bC 2134yxa 把点 代人 中 解得 2 分61 3 C2a 所以椭圆 的方程为 3 分 2143yx 2 解法 1 设直线 的斜率为 则直线 的方程为 lkl 2ykx 由 得 4 分2 34ykx 23410 x 设 则有 5 Axy ByA 2134Bkx 分 所以 26834Bk 所以 6 分 221 k 因为 所以 在线段 的中垂线上 MOA OA 所以 因为 所以 即 71y2Mykx 1Mxk 1k 分 设 又直线 垂直 所以 即 8 0 HxlH1Hxk 分 所以 即 9 1Hxk 1 0k 分 又 所以 10 F 21249 3kBk 1 1FHk 因为 所以 10 分10FBH 22149033kk 解得 11 分283k 所以直线 的方程为 12 分l263yx 解法 2 设直线 的斜率为 则直线 方程 lkl 2ykx 由 得 4 分2 134ykx 23410 x 设 则有 5 分 Axy ByA 2134Bkx 所以 26834Bk 所以 6 分 2129 kFk 1 HFx 因为 所以 解得 710BH 234k 29034k2941Hkx 分 因为 所以 解得 8 分MOA 222MMxy My 所以直线 的方程为 9194k 分 联立 解得 10 分2 194 ykxk 2901Mky 由 解得 11 分 20Mky 283 所以直线 的方程为 12 分l6yx 21 解 1 函数 的定义域为 fx 0 当 时 所以 1 分2b 2lnfxax 2axafx 当 时 所以 在 上单调递增 2 分0a 0 0 取 则 3 分 10ex 211eaaf 或 因为 且 时 所以 0 x 0 20001lnlnl0efxaxaa 因为 所以 此时函数 有一个零点 4 分 1f 1f A 当 时 令 解得 0a0fx 2x 当 时 所以 在 上单调递减 2x f f0 a 当 时 所以 在 上单调递增 a 0fx fx 2 要使函数 有一个零点 则 即 5 f ln0aaf 2e 分 综上所述 若函数 恰有一个零点 则 或 6 fx2ea 分 2 因为对任意 有 成立 12 e 12fxf 因为 maxminfxff 所以 7 分 maine 因为 则 0b b 所以 所以 lfxx 1 bbxfx 当 时 当 时 01 0f 1 0f 所以函数 在 上单调递减 在 上单调递增 8 分 x e e min1fxf 因为 与 所以 9 分1bf bf max eff 设 1ee2bgbf 0 则 2b 所以 在 上单调递增 故 所以 g0 0gb 1eff 从而 10maxf ebf 分 所以 即 12b e10b 设 则 e b 当 时 所以 在 上单调递增 0 0 又 所以 即为 解得 111 e1b 1 b 分 因为 所以 的取值范围为 12b 分 22 解 1 因为曲线 的参数方程为 为参数 1Ccos2inxy 因为 则曲线 的参数方程 2 分2 xy 2si 所以 的普通方程为 3 分2 4xy 所以 为圆心在原点 半径为 2 的圆 4C 分 所以 的极坐标方程为 即 5 分24 2 解法 1 直线 的普通方程为 6l10 xy 分 曲线 上的点 到直线 的距离 82CMl 2cos 10 2cosin104d 分 当 即 时 取到最小值为 9 分cos 14 24k Z 52 当 即 时 取到最大值为 10 分3 d 10 解法 2 直线 的普通方程为 6 分l10 xy 因为圆 的半径为 2 且圆心到直线 的距离 7 分2Cl 25 10 d 因为 所以圆 与直线 相离 85 2l 分 所以圆 上的点 到直线 的距离最大值为 最小值为 10 分2CMl 25 rd 25 rd 23 解 1 当 时 11 a 1 fx 分 当 时 原不等式可化为 解得 2 分x 2x 1 x 当 时 原不等式可化为 解得 此时原不等式无解 3 分 12 1 当 时 原不等式可化为 解得 4 分 x 2 x x 综上可知 原不等式的解集为 或 5 分 1 2 解法 1 当 时 6 分3a 3 3 2 axgxa 所以函数 的值域 gx 3Aa 因为 所以 解得 7 分 21 当 时 8 分3a 3 3 axagx 所以函数 的值域 3Aa 因为 所以 解得 9 2 1 21 5 分 综上可知 的取值范围是 10 分a 解法 2 因为 7 3 xa 3 xaa 分 所以 g 3 fx 所以函数 的值域 8x 3 Aa 分 因为 所以 解得 或 2 1 231a 15a 所以 的取值范围是 10 分a 5