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高中数学考前备忘录 一.代数部分 （一）集合与函数 1.集合与函数 （1）含有n个元素的有限集合，共有2n个子集，其中非空真子集的个数为2n-2个。（2）集合的相等指的是两个集合的元素完全相同，所以结构形式不相同的集合并不意味着 一定不相等。（3）注意符号：、 、的使用；空集切忌写作。（4）用数形结合的思想解函数的有关问题，能作图的尽量作图，哪怕是草图也有助于你对 问题的分析。（5）函数问题务必考虑定义域；（6）形如y=的值域为yR,且y;形如y=ax+的值域一般用变量代换， 即设u=,且u0,代入求解。（7）利用基本不等式求最值，应注意三个条件均须满足，即“一正二等三定值”。（8）指数、对数函数问题务必注意底数的取值范围，真数大于零的条件；若底数不确定， 要讨论。（9）幂函数在第一象限的图象：当n1时，是上抛物线 ；当0n1时，为右抛物 线 ；当n0).9.图象的伸缩变换：f(x)_f();f(x)_Af(x)(A0). （二）.方程与不等式 1. 解方程与不等式的基本思想有两个：转化为整式或不等式；从函数的观点出发，利用性质 或图形求解。2. 解不等式务必注意定义域，解对数方程、根式方程一定要验根；3. 形如cx+d用图象或换元法求解；4. 解高次不等式最好先检查各因式的符号，可直接降次，如x2+x+10,x2-x+10;5. 有关字母的取值范围、数的大小比较的选择题，用特殊值会使你化难为易；6. 解分式不等式一般不宜用“交叉相乘”，应用移项通分、化除为乘法，注意分母0；7. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、判别式法、反证法等；8.重要不等式：（1）a+b22ab(a、bR); x+2.(2); ()4;.(3) a2+b+c2 (a、b、cR)(4); ()9; a2+b. （三）数列与极限 1. 等差数列：设an是公差为d的等差数列，则am=an+(m-n)d,(m、nN);其奇数项a2k-1,偶数项a2k分别组成等差数列，公差是2d .若m+n=p+q ,则am+an=ap+aq(m、n、p、qN)；若2m=p+q,则2am=ap+aq.2. 等比数列：设an是公比为q的等比数列，则am=anqm-n(m、nN)，其奇数项a2k-1，偶数项a2k分别组成等比数列，公比为q2.若m+n=p+q,则aman=apaq;若2m=p+q,则a=apaq.3. 设数列an的前n项和为sn,则an=;(1)若Sn=an2+bn+c,当c=0时an为等差数列，当c0时，an不是等差数列，但除去第一项，从第二项起是等差数列；(2)若SN=aqn+c(a0,q0,q1),当a+c=0时，an是等比数列，当a+c0时，an不是等比数 列，但除去第一项，从第二项起是等比数列.4. 等差数列与等比数列的互相转化：若an是公比为q的等比数列，且an0,那么logban是等差数列，公差为logbq;若an是公差为d的等差数列，那么c是等比数列，公比为cd. (p=k)5.基本极限： = o (pk) 0 （q1) 不存在（p1） （四）复数1.复数解题的三个基本思想是：（1）实数化：设Z=(x、yR),或Z= (2)数形结合：复数的几何形式，运算的几何意义；（3）整体化：主要是模与共轭复数的性质.2.模与辐角的性质：(1) 求模：若，则；（2）求辐角主值：，其中的终边所在象限由的符号确定.（3）Z1-Z2Z1+Z2Z1+Z2; Z1Z2=Z1Z2; Z1+Z22+Z1-Z22=2(Z12+Z22) ; (4)argZ1+argZ2=arg(Z1Z2)或arg(Z1Z2)+2 argZ1-argZ2=arg或arg-2;3.共轭复数的运算性质：Z+=2aR,Z-=2bi,Z=Z2=a2+b20, 特例：Z=1，则= 4.平方运算：; Z12+Z22=0=.5. 立方根的性质：（1）1的立方根有三个值：1、w、w2,其中w=-i, w3=1且1+w+w2=0，w2=. 在复平面上这三个值的对应点是单位圆内接正三角形的三个顶点.(2)任何复数Z的立方根为a、aw、aw2,其中a=（cos）.6. 在复数集内的一元二次方程ax2+bx+c=0必有两根.（1）实系数方程（a、b、cR） 当0时有两个实根；当 0),则是第一、三象限角；若是三、四象限角（sin0)，则是二、四象限角.3.锐角（)的性质：（1）sintg;（2）若,则sincos（3）1BsinAsinB;（4）tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC;若，则（.反之亦然. (5) 直角三角形的外心是斜边中点，R=c，r=(a+b-c)；（6） 设正三角形的边长为,则其外接圆半径,内切圆半径,面积为 三、向量（一）平面向量1向量的有关概念：相等向量、共线向量、零向量、向量的模2向量的线性运算：加法、减法及其几何意义；平行四边形法则和三角形法则；数乘运算及其几何意义、运算律：； 四.立体几何部分 1.几个重要结论：（1）三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点或互相平行； 夹在两个平行平面之间的平行线段相等；（2） 过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角两边夹角相等（或斜线上 一点到角两边距离相等），那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线。其逆命题也成立。（4）两个相交平面垂直于同一平面，那么它们的交线也垂直这个平面。（5）平行于同一平面的两平面互相平行。2.存在且唯一性命题：（1）两条异面直线的公垂线存在且唯一；（3） 过定点与一个平面垂直的直线有且只有一条； （4） 过定点与一条直线垂直的平面有且只有一个； （3）过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个。 3.有关角与距离的公式：（1）斜线与平面所成角的性质：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内的直线所成的一切角中的最小角；如图，设斜线与平面所成角为，在平面内的射影为，平面内过斜足的直线为，与的夹角为，与的夹角为，则coscos=cos.此公式有两个重要推论：推论1二面角为直二面角，自棱上一点A在平面、内分别作射线AB、AC，设AB、AC与所成角分别为、，则cosBAC=coscos. 推论2斜三棱锥P-ABC中，cosAPBcosAPC=cosBPC平面APB平面APC.（2）自二面角内一点向两个面引垂线，这两条垂线的夹角与二面角的平面角互补；（3）二面角的平面角有三种作法：（i）定义法；（ii)直截面法；（iii)三垂线法：一垂面二垂线三连线；设一个多边形面积S它在某平面上的射影多边形面积为S，两多边形所在平面组成的二面角为（00900),那么cos=.(4)异面直线所成角的求法：（i)平移法；（ii)公式法：如图，求异面直线AC与BD所成角的大小，可在这两条异面直线上取两条线段AC、BD，以A、B、C、D为顶点构造一个四面体， 则AC、BD所成角可用公式cos=. (5)点面距离用“等体积法”较简便。 C4.平行六面体的性质：（1）四条对角线交于一点，且在这点互相平分； A B（2）长方体的对角线长相等且长度为（a、b、c为长方体的长、宽、高）， 正 方体的对角线长为a；（3）长方体对角线中点是其外接球球心，对角线是外接球直径； （4）设长方体对角线AC1与从A点引出的三条棱AB、AC、AA1所夹的角分别为、， cos2+cos2+cos2=2; . (5)正方体的对角线若与面对角线异面，则必垂直。例如A1CBD.5.正三棱锥侧棱与相对的底棱异面垂直；正四棱锥的侧棱与底面一条对角线异面垂直。6.棱锥被平行于底面的平面所截，截得的小锥与原棱锥的对应线段（底面的对应边、对应侧棱、对应高）成比例，其底面积、侧面积的比均等于对应线段比的平方，体积比等于对应线段比的立方。7.中截面面积公式：=，当S=0（锥体）时，S0=S.8.斜三棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的乘积。9.若棱台各侧面与底面所成角相等，设为，两底面积为S和S0,侧面积为S1，则COS=;当S0=0（棱锥）时有S=S1 COS.将棱台换成圆台，设圆台母线与底面所成角为，上述公式也成立。10.设圆台侧面展开图（扇环）圆心角为，母线与底面所成角为，则=2=2cos;当r=0时，=。（其中分别为圆台两底半径和母线）11.圆锥两条母线所确定的平面（即过圆锥顶点的平面）截圆锥所得截面是等腰三角形，其中以轴截面的顶角最大=2arcsin,若00900,则轴截面面积最大，若900b0）; 长轴平行于y轴：=1；（2）双曲线实轴平行于x轴：=1； 实轴平行于y轴：=1；（3）抛物线对称轴平行于x轴：（y-y0)2= 2p(x-x0)(p0); 对称轴平行于y轴：（x-x0)2=2p(y-y0).12.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的曲线是对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线或直线、或一点、或曲线不存在（方程无解）：（1）AC0（A、C同号）椭圆型（曲线是椭圆、一点、或不存在）；（2）AC0(A、C异号）双曲线型（曲线是双曲线或两条相交直线）；（3）AC=0（A=0或C=0）抛物线型（曲线是抛物线、两条平行线、一条直线或曲线不存在）。13.直线、圆的极坐标方程：（1）直线过点（），倾斜角为，则方程是（常数）特例：若直线过极点（=0），则直线方程为可取负值）； 若直线垂直于极轴（=900）,则方程为；若直线平行于极轴（=00）,则方程为。(2)过极点的圆：圆心为（,），半径为，方程为； 当圆心在极轴上（=0），方程为； 当圆心在极轴垂线上方时()，方程为。(3)互化公式：，。 14.求轨迹方程时，注意方程相加减的技巧、判别式和韦达定理的应用；还有直译法、代换法等。走入考场应注意以下事项1.应坚信：你会以胜利者的姿态走出考场；2.应坚信：试题中所涉及到的所有知识、方法、技巧都是学过的；3.应坚信：所有的题目你都是可以做出来的。4.切忌：考虑昨天考试的成败得失。5.拿到试卷后，把题目浏览一遍，分成三大类：易解、可解、稍难解，按先易后难顺序答题；6.仔细审题，注意括号中的条件；7.解选择题一般先用排斥法（可用特殊值、特殊位置的图形、特殊的几何体、图形的性质等）， 然后再推理；先考虑简单的选择支，再考虑复杂的选择支；8.解填空题有时也可用特殊值，结果应表述为最简形式（分母有理化、最简分式、标准方程 等），不要漏了单位。9.对易解的题，应保证运算的准确性和书写的规范；10.对可解的题，应注意推理的严谨性和可能的各种情况；11.对难解的题，入口并不会太难，能做多少就做多少。12. 当做到一半做不下去时，从几个方面检查：演算过程有无错误？题设的条件用完了没有？ 有无暗示条件？从另一个角度考虑；13.一个复杂的问题，尝试分解成几个简单问题来看看；14,条件和结论的结构都复杂时，别忘了化简一下，然后再看它们的内在联系；15.换元法是化繁为简的重要手段，不妨试试；16.的确无计可施而时间又所剩无几时，放弃它!_别人也未必做得出。17.是否留15分钟检查一下，确保会做的题得满分；18.选择题的确做不出来时，不能放弃，最后应填一个答案上去，反正错了也不会扣你的分 _也许上帝会保佑你!19.总之，选择题灵活做，填空题仔细做，解答题分部做。