参数范围(求恒成立问题)

专题 求参数取值范围一般方法 概念与用法 恒成立问题是数学中常见问题 也是历年高考的一个热点 题型特点大多以已知一个变量的取值范围 求另一个变量 的取值范围的形式出现 这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里 就常考题型的一般题型以及解题方法 我在这里做了个小结 题型以及解题方法 一 分离参数 在给出的不等式中 如果能通过恒等变形分离出参数 即 若 恒成立 只须求出 则 afx maxf maxf 若 恒成立 只须求出 则 转化为函数求最值 afx minfx minafx 例 1 已知函数 若对任意 恒有 试确定 的取值范围 lg2f 2 0fx a 解 根据题意得 在 上恒成立 1ax x 即 在 上恒成立 23a 设 则 2fxx 2394fx 当 时 所以maxf 例 2 已知当 x R 时 不等式 a cos2x 5 4sinx 恒成立 求实数 a 的取值范围 5a 分析 在不等式中含有两个变量 a 及 x 其中 x 的范围已知 x R 另一变量 a 的范围即为所求 故可考虑将 a 及 x 分离 解 原不等式即 4sinx cos2x3 即 a 245aa 上式等价于 或 解得 a2p x 恒成立的 x 的取值范围 分析 在不等式中出现了两个字母 x 及 P 关键在于该把哪个字母看成是一个变量 另一个作为常数 显然可将 p 视作 自变量 则上述问题即可转化为在 2 2 内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题 解 不等式即 x 1 p x2 2x 1 0 设 f p x 1 p x2 2x 1 则 f p 在 2 2 上恒大于 0 故有 即 解得 2 0f 0134x 13x或或 x3 例 4 若不等式 对满足 的所有 都成立 求 的取值范围 21xm 2 mx 解 设 对满足 的 恒成立 2fx 0f 解得 2100fx 17322x 三 利用二次函数根的分布 例 5 设 f x x2 2ax 2 当 x 1 时 都有 f x a 恒成立 求 a 的取值范围 分析 题目中要证明 f x a 恒成立 若把 a 移到等号的左边 则把原题转化成左边二次函数在区间 1 时恒大于 0 的问题 解 设 F x f x a x2 2ax 2 a 当 4 a 1 a 2 0 时 即 2 a 1 时 对一切 x 1 F x 0 恒成立 当 4 a 1 a 2 0 时由图可得以下充要条件 即 120 af 3 a 得 3 a 2 综合可得 a 的取值范围为 3 1 四 利用集合与几何之间的关系 在给出的不等式中 若能解出已知取值范围的变量 就可利用集合与集合之间的包含关系来求解 即 则 且 不等式的解即为实数 的取值范围 mnfg fam gn a 例 6 当 时 恒成立 求实数 的取值范围 1 3x lo1ax a 解 lga 1 当 时 则问题转化为 1 x 1 3 a 31 a 2 当 时 则问题转化为01a 1xa 1 3 a 31 10a 综上所得 或3 五 几何中的求参 要确定变量 k 的范围 可先建立以 k 为函数的目标函数 从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解 tfk 的 范 围 轴 上 截 得在求若若 两 点相 交 于与的 直 线的 焦 点 过 点是给 定 抛 物 线 一 个 参 数 的 范 围 双 参 数 且 已 知 其 中例 myl 94 AFB B AClFCxy 72 1 o x y 34 km 916 24k 1y yy y x x 1 x AFB km kyl2 22121 1212 为 为为为 为为为为 小练一下 1 已知函数 时 恒成立 求实数 的取值范围 4 0 4 2 xaxf 0 xf a 2 已知不等式 对 恒成立 求实数 的取值范围 1 3 m 3 已知不等式 对 恒成立 求实数 的取值范围 2xm x 4 已知不等式 对 恒成立 求实数 的取值范围 20a xRa 5 已知不等式 对 恒成立 求实数 的取值范围 x 1 2 6 已知不等式 对 恒成立 求实数 的取值范围 2x 7 对任意 不等式 恒成立 求 的取值范围 1 a 04 2 aax