八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

1 初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记 有三个角对应相等 和 有两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形 不一定全等 例 1 如图 四点共线 求 AFEBACE BDFAEB CD 证 CD 思路 从结论 入手 全等条件只有ACFBDE 由 两边同时减去 得到 又得到一个全等条件 还缺少ACBD EF E 一个全等条件 可以是 也可以是 CD 由条件 可得 再加上 B90 ABF 可以证明 从而得到 A 证明 EF 90 在 与 中RtCtBDAF HL tEt B 即 AF AFBE 在 与 中CDEB SAS AF 思考 本题的分析方法实际上是 两头凑 的思想方法 一方面从问题或结论入手 看还需要什么条件 另一方面从条件入手 看可以得出什么结论 再对比 所需条件 和 得出结论 之间是否吻合或具有明显的联系 从而得出解题思路 小结 本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件 而且告诉我们如何去分 析一个题目 得出解题思路 例 2 如图 在 中 是 ABC 的平分线 垂足为 求证 ABC EADBE 21 2 思路 直接证明 比较困难 我们可以间接证明 即找到 证明21C 且 也可以看成将 转移 到 2 2 那么 在哪里呢 角的对称性提示我们将 延长交 于 则构造了 FBD ADBCF 可以通过证明三角形全等来证明 2 DFB 可以由三角形外角定理得 DFB 1 C 证明 延长 交 于ADBF 在 与 中 ASA 90 AFB 2FB 又 1DFBC 21C 思考 由于角是轴对称图形 所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形 例 3 如图 在 中 为 延长线上一点 点 在A B 90A FABE 上 连接 和 求证 BCEF ECFEC 思路 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等 关键是要找到这两个三角形 以线 段 为边的 绕点 顺时针旋转 到 的位置 而线段 正好是AEB 90 CBF CF 的边 故只要证明它们全等即可 CF 证明 为 延长线上一点 90C FA 在 与 中ABE F SAS C AE 思考 利用旋转的观点 不但有利于寻找全等三角形 而且有利于找对应边和对应角 小结 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法 但有时不容易找到需证明的 三角形 这时我们就可以根据需要利用平移 翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用 辅助线构造全等三角形 3 例 4 如图 求证 ABCDBACD 思路 关于四边形我们知之甚少 通过连接四边形的对角线 可以把原问题转化为全等 三角形的问题 证明 连接 AC BDB 12 34 在 与 中 43AC ASA BD 思考 连接四边形的对角线 是构造全等三角形的常用方法 例 5 如图 分别是 外角 和 的平分线 它们交于点 求证 APCAB MC NAP 为 的平分线 BPMN 思路 要证明 为 的平分线 可以利用点 到 的距离相等来证明 BPMN P BMN 故应过点 向 作垂线 另一方面 为了利用已知条件 分别是 和 ACA 的平分线 也需要作出点 到两外角两边的距离 NCA 证明 过 作 于 于 于D PEAC F 平分 于 于 CDE PE 平分 于 于ABNF PD 且 于 于PBM DF 为 的平分线 BN 思考 题目已知中有角平分线的条件 或者有要证明角平分线的结论时 常过角平分线上 的一点向角的两边作垂线 利用角平分线的性质或判定来解答问题 4 例 6 如图 是 的边 上的点 且 是DABC CDAB AD E 的中线 求证 ABD 2E 思路 要证明 不妨构造出一条等于 的线段 然后证其等于 因2ACE 2AEAC 此 延长 至 使 F 证明 延长 至点 使 连接FADF 在 与 中BE D A SAS F BED ADCB 又 AC F 在 与 中D ACF SAS 又 2AE C 思考 三角形中倍长中线 可以构造全等三角形 继而得出一些线段和角相等 甚至可以 证明两条直线平行 例 7 如图 在 中 为 上任意一点 求证 ABC A 12 PAD ABCP 5 原图 法一图 法二图 思路 欲证 不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明 由于ABCP 结论中是差 故用两边之差小于第三边来证明 从而想到构造线段 而构造ABC 可以采用 截长 和 补短 两种方法 证明 法一 在 上截取 连接N N 在 与 中AP C 12 SAS N PC 在 中 B PBN 即 AB AC PB PC A 法二 延长 至 使 连接CM M 在 与 中BP 12A SAS PBM 在 中 C PC A 思考 当已知或求证中涉及线段的和或差时 一般采用 截长补短 法 具体作法是 在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段 再设法证明较长线段的剩余线段等于另 外的较短线段 称为 截长 或者将一条较短线段延长 使其等于另外的较短线段 然后 证明这两条线段之和等于较长线段 称为 补短 小结 本题组总结了本章中常用辅助线的作法 以后随着学习的深入还要继续总结 我 们不光要总结辅助线的作法 还要知道辅助线为什么要这样作 这样作有什么用处 同步练习 一 选择题 1 能使两个直角三角形全等的条件是 6 A 两直角边对应相等 B 一锐角对应相等 C 两锐角对应相等 D 斜边相等 2 根据下列条件 能画出唯一 的是 ABC A B 3AB 48 4 3BC0A C D 60C 5 90 6 3 如图 已知 增加下列条件 12DEBCD 其中能使 的条件有 DEE A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 4 如图 交于 点 下列不正确的是 12 CD ABE A B DAEBCD C 不全等于 D 是等腰三角形 AB 5 如图 已知 则 等于 ABCD A23B D A B C D 无法确定67 46 二 填空题 6 如图 在 中 的平分线 交 于点 且ABC 90 ABCDAC 则点 到 的距离等于 2 3CDA 10cmDcm 7 如图 已知 是 上的两点 且 若ABC B EFBEF 则 10AEB 30 7 8 将一张正方形纸片按如图的方式折叠 为折痕 则 的大小为 BCDCB 9 如图 在等腰 中 平分 交 于 RtABC 90 ACBDBAC D 于 若 则 的周长等于 DE 10DE 10 如图 点 在同一条直线上 且 若 DEFBABCDEFAC 则 10B 2 三 解答题 11 如图 为等边三角形 点 分别在 上 且 与ABC MN BCAMCN A 交于 点 求 的度数 BNQN 8 12 如图 为 上一点 交90ACB BCDAECD BF 延长线于 点 求证 DFE 9 同步练习的答案 一 选择题 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 二 填空题 6 4 7 8 9 10 10 670 9 三 解答题 11 解 为等边三角形 ABC 6 在 与 中MNB SAS AC N 60QBAQNBC 12 证明 ED F90F AC B E 在 与 中 F ACB AAS E F