2016版高考数学大二轮总复习-增分策略-专题六-解析几何-第3讲-圆锥曲线的综合问题试题

1 第 3讲 圆锥曲线的综合问题 1 2014 福建 设 P Q分别为圆 x2 y 6 2 2 和椭圆 y2 1 上的点 则 P Q两点 x210 间的最大距离是 A 5 B 2 46 2 C 7 D 62 2 2 2015 陕西 如图 椭圆 E 1 a b 0 经过点 A 0 1 且离心率为 x2a2 y2b2 22 1 求椭圆 E的方程 2 经过点 1 1 且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 P Q 均 异于点 A 证明 直线 AP与 AQ的斜率之和为 2 1 圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体 以参数处理为核心 考查 范围 最值问题 定点 定值问题 探索性问题 2 试题解答往往要综合应用函数与方程 数形结合 分类讨论等多种思想方法 对计算能力也有较高要求 难度较大 热点一 范围 最值问题 圆锥曲线中的范围 最值问题 可以转化为函数的最值问题 以所求式子或参数为函数值 或者利用式子的几何意义求解 例 1 2015 重庆 如图 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别 x2a2 y2b2 2 为 F1 F2 过 F2的直线交椭圆于 P Q两点 且 PQ PF1 1 若 PF1 2 PF2 2 求椭圆的标准方程 2 2 2 若 PQ PF1 且 试确定椭圆离心率 e的取值范围 34 43 思维升华 解决范围问题的常用方法 1 数形结合法 利用待求量的几何意义 确定出极端位置后 数形结合求解 2 构建不等式法 利用已知或隐含的不等关系 构建以待求量为元的不等式求解 3 构建函数法 先引入变量构建以待求量为因变量的函数 再求其值域 跟踪演练 1 已知椭圆 C的左 右焦点分别为 F1 F2 椭圆的离心率为 且椭圆经过点 12 P 1 32 1 求椭圆 C的标准方程 2 线段 PQ是椭圆过点 F2的弦 且 求 PF1Q内切圆面积最大时实数 的值 PF2 F2Q 3 热点二 定点 定值问题 1 由直线方程确定定点 若得到了直线方程的点斜式 y y0 k x x0 则直线必过定点 x0 y0 若得到了直线方程的斜截式 y kx m 则直线必过定点 0 m 2 解析几何中的定值问题是指某些几何量 线段的长度 图形的面积 角的度数 直线的斜 率等 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关 不依参数的变化而变化 而始 终是一个确定的值 例 2 椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 其左焦点到点 P 2 1 的距离为 x2a2 y2b2 12 10 1 求椭圆 C的标准方程 2 若直线 l y kx m与椭圆 C相交于 A B两点 A B不是左 右顶点 且以 AB为直径 的圆过椭圆 C的右顶点 求证 直线 l过定点 并求出该定点的坐标 思维升华 1 动直线 l过定点问题解法 设动直线方程 斜率存在 为 y kx t 由题设条 4 件将 t用 k表示为 t mk 得 y k x m 故动直线过定点 m 0 2 动曲线 C过定点问 题解法 引入参变量建立曲线 C的方程 再根据其对参变量恒成立 令其系数等于零 得出 定点 跟踪演练 2 已知直线 l y x 圆 O x2 y2 5 椭圆 E 1 a b 0 的离心6 y2a2 x2b2 率 e 直线 l被圆 O截得的弦长与椭圆的短轴长相等 33 1 求椭圆 E的方程 2 过圆 O上任意一点 P作椭圆 E的两条切线 若切线都存在斜率 求证 两切线的斜率之 积为定值 热点三 探索性问题 1 解析几何中的探索性问题 从类型上看 主要是存在类型的相关题型 解决这类问题通 常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为 假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 例 3 如图 抛物线 C y2 2 px的焦点为 F 抛物线上一定点 5 Q 1 2 1 求抛物线 C的方程及准线 l的方程 2 过焦点 F的直线 不经过 Q点 与抛物线交于 A B两点 与准线 l交于点 M 记 QA QB QM的斜率分别为 k1 k2 k3 问是否存在常数 使得 k1 k2 k 3成立 若存 在 求出 的值 若不存在 说明理由 思维升华 解决探索性问题的注意事项 存在性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存 在 1 当条件和结论不唯一时 要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要思维开放 采取另外的途径 6 跟踪演练 3 2015 四川 如图 椭圆 E 1 a b 0 的离心 x2a2 y2b2 率是 点 P 0 1 在短轴 CD上 且 1 22 PC PD 1 求椭圆 E的方程 2 设 O为坐标原点 过点 P的动直线与椭圆交于 A B两点 是否存在常数 使得 OA 为定值 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 OB PA PB 已知椭圆 C1 1 a 0 与抛物线 C2 y2 2 ax相交于 A B两点 且两曲线的焦点 F x2a2 y23 重合 1 求 C1 C2的方程 2 若过焦点 F的直线 l与椭圆分别交于 M Q两点 与抛物线分别交于 P N两点 是否存 在斜率为 k k 0 的直线 l 使得 2 若存在 求出 k的值 若不存在 请说明理由 PN MQ 提醒 完成作业 专题六 第 3讲 7 二轮专题强化练 专题六 第 3讲 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 A组 专题通关 1 2015 北京西城区期末 若曲线 ax2 by2 1 为焦点在 x轴上的椭圆 则实数 a b满足 A a2 b2 B 1a1b C 0 a b D 0 b a 2 已知椭圆 1 0 bb 0 的离心率为 e 右焦点为 F c 0 方程 ax2 bx c 0 的两 x2a2 y2b2 12 个实根分别为 x1和 x2 则点 P x1 x2 A 必在圆 x2 y2 2 内 B 必在圆 x2 y2 2 上 C 必在圆 x2 y2 2 外 D 以上三种情形都有可能 5 若点 O和点 F分别为椭圆 1 的中心和左焦点 点 P为椭圆上的任意一点 x24 y23 则 的最大值为 OP FP A 2 B 3 C 6 D 8 6 已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1 右焦点为 F2 P为双曲线右支上一点 则 y23 PA1 8 的最小值为 PF2 7 已知 A 1 2 B 1 2 动点 P满足 若双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线与AP BP x2a2 y2b2 动点 P的轨迹没有公共点 则双曲线离心率的取值范围是 8 在直线 y 2 上任取一点 Q 过 Q作抛物线 x2 4 y的切线 切点分别为 A B 则直线 AB恒过定点 9 已知椭圆 C 1 a b 0 的短轴长为 2 离心率为 过点 M 2 0 的直线 l与椭 x2a2 y2b2 22 圆 C相交于 A B两点 O为坐标原点 1 求椭圆 C的方程 2 若 B点关于 x轴的对称点是 N 证明 直线 AN恒过一定点 B组 能力提高 10 已知直线 y a交抛物线 y x2于 A B两点 若该抛物线上存在点 C 使得 ACB为直 角 则 a的取值范围为 11 直线 3x 4 y 4 0 与抛物线 x2 4 y和圆 x2 y 1 2 1 从左到右的交点依次为 A B C D 则 的值为 AB CD 12 2015 课标全国 已知椭圆 C 9 x2 y2 m2 m 0 直线 l不过原点 O且不平行于坐 标轴 l与 C有两个交点 A B 线段 AB的中点为 M 1 证明 直线 OM的斜率与 l的斜率的乘积为定值 2 若 l过点 延长线段 OM与 C交于点 P 四边形 OAPB能否为平行四边形 若能 求 m3 m 此时 l的斜率 若不能 说明理由 9 学生用书答案精析 第 3讲 圆锥曲线的综合问题 高考真题体验 1 D 如图所示 设以 0 6 为圆心 以 r为半径的圆的方程 为 x2 y 6 2 r2 r 0 与椭圆方程 y2 1 联立得方程组 x210 消掉 x2得 9y2 12 y r2 46 0 令 12 2 4 9 r2 46 0 解得 r2 50 即 r 5 2 由题意易知 P Q两点间的最大距离为 r 6 2 2 故选 D 2 1 解 由题设知 b 1 ca 22 结合 a2 b2 c2 解得 a 2 所以椭圆的方程为 y2 1 x22 2 证明 由题设知 直线 PQ的方程为 y k x 1 1 k 2 代入 y2 1 x22 得 1 2 k2 x2 4 k k 1 x 2 k k 2 0 由已知 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 x1x2 0 则 x1 x2 x1x2 4k k 1 1 2k2 2k k 2 1 2k2 从而直线 AP AQ的斜率之和 kAP kAQ 2 k 2 k y1 1x1 y2 1x2 kx1 2 kx1 kx2 2 kx2 1x1 1x2 2 k 2 k x1 x2x1x2 2 k 2 k 2 k 2 k 1 2 4k k 1 2k k 2 热点分类突破 例 1 解 1 由椭圆的定义 2a PF1 PF2 2 2 4 故 a 2 2 2 设椭圆的半焦距为 c 由已知 PF1 PF2 因此 2c F1F2 PF1 2 PF2 2 10 2 2 2 2 2 2 2 3 即 c 从而 b 1 3 a2 c2 故所求椭圆的标准方程为 y2 1 x24 2 如图 由 PF1 PQ PQ PF1 得 QF1 PF1 PF1 2 PQ 2 1 2 由椭圆的定义 PF1 PF2 2 a QF1 QF2 2 a 进而 PF1 PQ QF1 4 a 于是 1 PF1 4 a 1 2 解得 PF1 4a1 1 2 故 PF2 2 a PF1 2a 1 2 1 1 1 2 由勾股定理得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 c 2 4 c2 从而 2 4a1 1 2 2 4 c2 2a 1 2 1 1 1 2 两边除以 4a2 得 e2 4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 若记 t 1 则上式变成1 2 e2 8 2 4 t 2 2t2 1t 14 12 由 并注意到 1 关于 的单调性 得 3 t 4 即 34 43 1 2 14 1t 13 进而 e2 即 e 12 59 22 53 跟踪演练 1 解 1 e P 1 满足 1 ca 12 32 1a2 32 2b2 又 a2 b2 c2 a2 4 b2 3 椭圆标准方程为 1 x24 y23 2 显然直线 PQ不与 x轴重合 11 当直线 PQ与 x轴垂直时 PQ 3 F1F2 2 3 1PQSA 当直线 PQ不与 x轴垂直时 设直线 PQ y k x 1 k 0 代入椭圆 C的标准方程 整理 得 3 4 k2 y2 6 ky 9 k2 0 0 y1 y2 y1 y2 6k3 4k2 9k23 4k2 F1F2 y1 y2 12 1PQSA 12 k2 k4 3 4k2 2 令 t 3 4 k2 t 3 k2 t 34 3 1PFQSA 3 1t 13 2 43 0 b 0 x2a2 y2b2 由 e 得 a 2 c a2 b2 c2 ca 12 b2 3 c2 则椭圆方程变为 1 x24c2 y23c2 又由题意知 解得 c2 1 2 c 2 12 10 故 a2 4 b2 3 12 即得椭圆的标准方程为 1 x24 y23 2 设 A x1 y1 B x2 y2 联立Error 得 3 4 k2 x2 8 mkx 4 m2 3 0 则Error 又 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 mk x1 x2 m2 3 m2 4k2 3 4k2 椭圆的右顶点为 A2 2 0 AA2 BA2 x1 2 x2 2 y1y2 0 y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 4 0 3 m2 4k2 3 4k2 4 m2 3 3 4k2 16mk3 4k2 7 m2 16 mk 4 k2 0 解得 m1 2 k m2 2k7 由 得 3 4 k2 m2 0 当 m1 2 k时 l的方程为 y k x 2 直线过定点 2 0 与已知矛盾 当 m2 时 l的方程为 y k 直线过定点 且满足 2k7 x 27 27 0 直线 l过定点 定点坐标为 27 0 跟踪演练 2 1 解 设椭圆的半焦距为 c 圆心 O到直线 l的距离 d 61 1 3 b 5 3 2 由题意得Error a2 3 b2 2 椭圆 E的方程为 1 y23 x22 2 证明 设点 P x0 y0 过点 P的椭圆 E的切线 l0的方程为 y y0 k x x0 联立直线 l0与椭圆 E的方程得Error 消去 y得 3 2 k2 x2 4 k y0 kx0 x 2 kx0 y0 2 6 0 4 k y0 kx0 2 4 3 2 k2 2 kx0 y0 2 6 0 整理得 2 x k2 2 kx0y0 y 3 0 20 20 设满足题意的椭圆 E的两条切线的斜率分别为 k1 k2 13 则 k1 k2 y20 32 x20 点 P在圆 O上 x y 5 20 20 k1 k2 1 5 x20 32 x20 两条切线的斜率之积为常数 1 例 3 解 1 把 Q 1 2 代入 y2 2 px 得 2p 4 所以抛物线方程为 y2 4 x 准线 l的方程为 x 1 2 由条件可设直线 AB的方程为 y k x 1 k 0 由抛物线准线 l x 1 可知 M 1 2 k 又 Q 1 2 所以 k3 k 1 2 2k1 1 即 k3 k 1 把直线 AB的方程 y k x 1 代入抛物线方程 y2 4 x 并整理 可得 k2x2 2 k2 2 x k2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由根与系数的关系 知 x1 x2 x1x2 1 2k2 4k2 又 Q 1 2 则 k1 k2 2 y11 x1 2 y21 x2 因为 A F B共线 所以 kAF kBF k 即 k y1x1 1 y2x2 1 所以 k1 k2 2 k 2 k 2 y11 x1 2 y21 x2 y1x1 1 y2x2 1 2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 1 2 2k2 4k2 2 1 2k2 4k2 1 2 即 k1 k2 2 k 2 又 k3 k 1 可得 k1 k2 2 k3 即存在常数 2 使得 k1 k2 k 3成立 跟踪演练 3 解 1 由已知 点 C D的坐标分别为 0 b 0 b 又点 P的坐标为 0 1 且 1 PC PD 14 于是Error 解得 a 2 b 2 所以椭圆 E的方程为 1 x24 y22 2 当直线 AB的斜率存在时 设直线 AB的方程为 y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 联立Error 得 2 k2 1 x2 4 kx 2 0 其判别式 4 k 2 8 2 k2 1 0 所以 x1 x2 x1x2 4k2k2 1 22k2 1 从而 OA OB PA PB x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 2 4 k2 2 1 2k2 1 2 12k2 1 所以当 1 时 2 3 12k2 1 此时 3 为定值 OA OB PA PB 当直线 AB斜率不存在时 直线 AB即为直线 CD 此时 2 1 3 OA OB PA PB OC OD PC PD 故存在常数 1 使得 为定值 3 OA OB PA PB 高考押题精练 解 1 因为 C1 C2的焦点重合 所以 a2 3 a2 所以 a2 4 又 a 0 所以 a 2 于是椭圆 C1的方程为 1 x24 y23 抛物线 C2的方程为 y2 4 x 2 假设存在直线 l使得 2 PN MQ 则可设直线 l的方程为 y k x 1 P x1 y1 Q x2 y2 M x3 y3 N x4 y4 15 由Error 可得 k2x2 2 k2 4 x k2 0 则 x1 x4 x1x4 1 2k2 4k2 所以 PN 1 k2 x1 x4 2 4x1x4 4 1 k2 k2 由Error 可得 3 4 k2 x2 8 k2x 4 k2 12 0 则 x2 x3 x2x3 8k23 4k2 4k2 123 4k2 所以 MQ 1 k2 x2 x3 2 4x2x3 12 1 k2 3 4k2 若 2 PN MQ 则 2 4 1 k2 k2 12 1 k2 3 4k2 解得 k 62 故存在斜率为 k 的直线 l 62 使得 2 PN MQ 二轮专题强化练答案精析 第 3讲 圆锥曲线的综合问题 1 C 由 ax2 by2 1 得 1 x21 a y21 b 因为焦点在 x轴上 所以 0 1a1b 所以 0 a b 2 D 由椭圆的方程 可知长半轴长 a 2 由椭圆的定义 可知 AF2 BF2 AB 4 a 8 所以 AB 8 AF2 BF2 3 由椭圆的性质 可知过椭 圆焦点的弦中 通径最短 即 3 可求得 b2 3 即 b 2b2a 3 3 C 依题意知 F 2 0 所以直线 l的方程为 y x 2 联立方程Error 消去 y得 x2 12 x 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 12 x1x2 4 则 AF BF x1 2 x2 2 x1 x2 16 x1 x2 2 4x1x2 144 16 8 2 4 A x1 x2 x1x2 ba ca x x x1 x2 2 2 x1x2 21 2 b2a2 2ca b2 2aca2 e c a ca 12 12 b2 a2 c2 a2 2 a2 12a 34 x x 0 b 0 的渐近线方程为 y x 即 bx ay 0 x2a2 y2b2 ba 17 由题意 可得 1 即 1 2aa2 b2 2ac 所以 e 1 故 1 e 2 8 0 2 解析 设 Q t 2 A x1 y1 B x2 y2 抛物线方程变为 y x2 则 y x 则在点 14 12 A处的切线方程为 y y1 x1 x x1 化简得 y x1x y1 同理 在点 B处的切线方程 12 12 为 y x2x y2 又点 Q t 2 的坐标满足这两个方程 代入得 12 2 x1t y1 2 x2t y2 则说明 12 12 A x1 y1 B x2 y2 都满足方程 2 xt y 即直线 AB的方程为 y 2 tx 因此直线 12 12 AB恒过定点 0 2 9 1 解 由题意知 b 1 e ca 22 得 a2 2 c2 2 a2 2 b2 故 a2 2 故所求椭圆 C的方程为 y2 1 x22 2 证明 设直线 l的方程为 y k x 2 则由Error 得 1 2 k2 x2 8 k2x 8 k2 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 8k21 2k2 x1x2 8k2 21 2k2 由对称性可知 N x2 y2 定点在 x轴上 直线 AN y y1 x x1 y1 y2x1 x2 令 y 0 得 x x1 y1 x1 x2 y1 y2 x1y2 x2y1y1 y2 2kx1x2 2k x1 x2 k x1 x2 4 2x1x2 2 x1 x2 x1 x2 4 1 16k2 41 2k2 16k21 2k2 8k21 2k2 4 18 故直线 AN恒过定点 1 0 10 1 解析 以 AB为直径的圆的方程为 x2 y a 2 a 由Error 得 y2 1 2 a y a2 a 0 即 y a y a 1 0 由已知Error 解得 a 1 11 116 解析 由Error 得 x2 3 x 4 0 xA 1 xD 4 yA yD 4 14 直线 3x 4 y 4 0 恰过抛物线的焦点 F 0 1 AF yA 1 DF yD 1 5 54 AB CD AF 1 DF 1 116 12 1 证明 设直线 l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 将 y kx b代入 9x2 y2 m2 得 k2 9 x2 2 kbx b2 m2 0 故 xM yM kxM b x1 x22 kbk2 9 9bk2 9 于是直线 OM的斜率 kOM yMxM 9k 即 kOM k 9 所以直线 OM的斜率与 l的斜率的乘积为定值 2 解 四边形 OAPB能为平行四边形 因为直线 l过点 所以 l不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k 0 k 3 m3 m 由 1 得 OM的方程为 y x 9k 设点 P的横坐标为 xP 19 由Error 得 x 即 xP 2P k2m29k2 81 km3k2 9 将点 代入 l的方程得 b m3 m m 3 k 3 因此 xM k k 3 m3 k2 9 四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB与线段 OP互相平分 即 xP 2 xM 于是 2 km3k2 9 k k 3 m3 k2 9 解得 k1 4 k2 4 7 7 因为 ki 0 ki 3 i 1 2 所以当 l的斜率为 4 或 4 时 四边形 OAPB为平行四边形 7 7