高数考试习题

1 空间解析几何与向量代数 1 设 为两个三维向量 则下列等式中正确的是 A B 2 2 C D 2 为两个三维向量 则下列等式中正确的是 AB C D 2 2 3 已知向量 求 及其方向余弦 kjia acoscos 4 与向量 平行的单位向量是 1 3 5 设向量 且 则 若 则 5 2 105 6 将 坐标平面上的圆 分别绕 轴和 轴旋转一周 所生成的旋转曲面的xoz 9xz xz 方程分别为 7 方程 2yxz 12 yx 225zxy 24yz 221xyzac 在空间分别表示什么面 其中的旋转曲面是怎样形 221abc0z 成的 8 求曲线 在 平面上的投影曲线方程 并画出投影曲线的图形 22 6 0 xyz xoy 2 9 过点 与平面 平行的平面方程为 1 2 210 xyz 点 到平面 的距离为 xyz 10 用对称式方程及参数方程表示直线 10 24 xyz 11 求过点 且与直线 垂直的平面方程 1 24 213xzy 12 求过点 且与两平面 和 平行的直线方程 0 24 21xz 32yz 多元函数微分学 1 函数 的定义域为 2 ln 1xzyy A B 0 Dx 2 0 1 Dxyxy C D 2 yy 2 考虑 的下面四条性质 zfx 1 在点 连续 2 在点 连续 y0 y xyff0 xy 3 在点 可微分 4 存在 fx x00 若用 表示可由性质 推出性质 则下列四个选项中正确的是 PQ PQ A B 2 3 1 3 21 C D 4 4 3 3 设 则 320 1 fxyzxyzp 0 fxyzp在 处 增 加 最 快 的 方 向 为 A 沿向量 B 沿向量nijk 2nijk C 沿向量 D 沿向量 2 4 设函数 在点 具有偏导数 则 是 zfxy 0 xy00 xyffx 函数在 取得极值的 0 A 充要条件 B 充分条件 C 必要条件 D 既不充分又不必要条件 5 设 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 zfxy 0 xy 又 令 0 xyf 0 xfyA 0 xyfB 则 yfC A B 20 BAfxy 且 时 是 极 大 值 20 Cfxy 且 时 是 极 大 值 C D 0 且 时 是 极 大 值 0A且 时 是 极 大 值 6 函数 的定义域是 2 arcoszuxy 7 已知函数 2 tan xf fty 则 8 二重极限 2 0 si lm xy 2 0 1limxy 0 li1xyxye 2 0 1lixy 9 设与 同方向的单位向量为 那么函数 在点 处沿 方向的方l 1 2 2yzxe 1 0 Pl 向导数 1 0 zl 10 函数 在点 偏导数 都存在是函数在点 可微的 条 zfxy xy zxy xy 件 4 11 设空间曲线 的向量方程为 则 在与 相应的 22 1 436 rfttt R 02t 点处的单位切向量为 12 函数 的驻点为 2 4 fxyxy 13 曲线 在点 24zy 2 45 x 处 的 切 线 对 于 轴 的 倾 角 14 设二元函数 则它的全微分 zxy dz 15 设 0 1 yzzx 则 16 二元函数 在 点处是否连续 偏导数是否存 2 0 0 xyf 17 设 而 求 arctn uzv xyv dz 18 设 求 2 zuvxyv 而 dz 19 设 求 23 sin xyzet zdt 5 20 设 是由方程 确定的隐函数 求 及 yxz lnxzy zx y 21 设由 确定隐函数 求 223540 xyzx yxz dyzx 22 设 其中 具有二阶连续偏导数 求 2 zfxy f 2 zxy 23 设 其中 具有连续的二阶偏导数 求 yxeufz f 2 zxy 4 设 而 为可导函数 证明 zxyFu yFux zxyzx 25 求球面 在点 1 2 3 处的切平面及法线方程 2214xyz 26 求螺旋线 在点 处的切线及法平面方程 cos in xayzb 0 a 6 27 求曲面 在点 处的切平面及法线方程 3zexy 2 10 28 求表面积为 而体积为最大的长方体体积 利用拉格朗日乘数法 2a 29 要建造一个容积为定数 的长方体无盖水池 已知底面的单位面积造价是侧面A 单位面积造价的两倍 问应如何设计水池的尺寸 方可使它的造价最小 30 设函数 的各个偏导数都存在 证明梯度的运算法则 uxyzv gradgrad graduvrugadv 二重积分 1 设有界闭区域 则二重积分 的取值范围是 01 2Dxyy 1 DIxyd A B C D 26I I4I 28I 2 比较二重积分的大小 其中 212ln ln DDIxydIxyd 7 下列说法正确的是 35 01 Dxyy B C D 无法确定 12A I 2I12I 3 设 其中 是三角形闭区域 三顶点分 Dxyd 3 Dxyd D 别为 则 比较大小 1 0 212 I 4 设有平面区域 1 0 xyaxyaxyaxy 则有 为 cosinDxyd A B C D 1 2i 12Dxyd 14 cosin Dxyydx 0 5 二次积分 改换次序后为 20 xdfy 6 将二次积分 交换积分次序 得 21100 yIfxdfxd 7 设平面区域 D 由直线 围成 则二重积分 在极坐标系中1 y 2Dxyd 化成的二次积分是 A B C D sec240dr 1240dr sec40dr sec40dr 8 把 化为极坐标形式的二次积分 得 220 ayIdxd 9 二重积分 其中积分区域 是由 轴 轴与直线 所围成 2 DdxyDxy1 yx 10 设平面区域 D 由直线 围成 则二重积分 0 2xyx 2Dd 11 设区域 则二重积分 1 xy 2Dydx 8 12 设 计算二重积分 1 Dxy 2Dxyd 13 计算二重积分 其中 由直线 围成 23Dxyd 0 1 yx 14 利用极坐标计算二重积分 其中 是由圆周 所围成的闭区 2xyDed D24xy 域 15 利用极坐标计算 其中 是由圆周 及直线 arctn Dydx D24xy 21xy 所围成的在第一象限内的闭区域 0 yx 16 利用二重积分计算由平面 所围成的柱体被平面 和抛物0 1xyx 0z 截得的立体的体积 26xyz 17 计算由平面 所围成的柱体被平面 及 截得的立体0 1xyx 0z 236xyz 的体积 9 18 计算二重积分 其中 D 是由两条抛物线 和 所围成的平面D xyd yx 2 闭区域 19 计算 其中 是由抛物线 及直线 所围成的闭区域 D xyd 2yx 2yx 20 画出积分区域 求 其中 D 是由直线 y 2 y x 及 y 2x 轴所围成的 Ddxy 2 闭区域