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第三章：圆一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）如图所示，以A，B为端点的弧记做，读作：“圆弧AB”或者“弧AB”；线段AB是的一条弦，弦CD是的一条直径；【典型例题】例1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（ ） A4个 B3个 C 2个 D 1个例2点到上的最近距离为，最远距离为，则的半径为二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现题目常与图案、方程、坐标等进行综合外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或42、若两圆半径分别为R和r（Rr），圆心距为d，且R2d2r22Rd，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交3. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是_。【变式训练】1、O1 和O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O25，那么两圆的位置关系是（ ）A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含2、如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3、已知：O1和O2的半径是方程x25x60 的两个根，且两圆的圆心距等于5则O1和O2的位置关系是（ ）A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切二、填空题4. O1和O2相切，O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则O2的半径为_; O1和O2相切，O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则O2的半径为_5.O1、O2和O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若O2分别与O1，O3相交，O1与O3不相交，则O1与O3圆心距 d的取值范围是_。五、垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论1：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧例1、如图23-10，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为( ) A2 B3 C4 D5ABMO例2、如图，O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上异于A、B的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ） A. 3OM5B. 4OM5 C. 3OM5D. 4OM5例3、如图，在O中，有折线，其中，则弦的长为（ ）。 【变式训练】1、“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸2、在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_cm3、如图23-14，O的直径为10，弦AB8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_4、O的半径为10cm，弦ABCD，AB12cm，CD16cm，则AB和CD的距离为( )A2cmB14cmC2cm或14cmD10cm或20cm六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧DE七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（的圆周角所对的弦是直径）；即：在中，是直径 或 是直径例1、如图，A、B、C是O上的三点，BAC=30则BOC的大小是（ ） A60 B45 C30 D152、如图，在O中，已知ACBCDB60 ，AC3，则ABC的周长是_.【变式训练】1.如图，在O中，弦AB=1.8m，圆周角ACB=30 ，则 O的直径等于_cm2.如图，O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和1相等的角有_ 3.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）4.O的半径是5，AB、CD为O的两条弦，且ABCD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 例1.如图，四边形 ABCD内接于O，若BOD=100，则DAB的度数为（ ） A50 B80 C100 D1302.如图，四边形ABCD为O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果BOD=120，那么BCE等于（ ） A30 B60 C90 D120九、切线的性质与判定定理考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例1.如图，PA、PB是O的切线，切点分别为A 、B，点C在O上如果P50 ，那么ACB等于（ ） A40 B50 C65 D1302、如图，MP切O于点M，直线PO交O于点A、B，弦ACMP，求证：MOBC3、已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交BC的延长线于点F(10分)求证：（1）ADBD；（2）DF是O的切线课后习题：1.已知一个圆的半径为3cm,另一个圆与它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是 （ ）A 5cm B 1cm C 5cm或1cm D 不能确定2.下列说法不正确的是（ ）A 直径所对的圆周角是直角 B 圆的两条平行弦所夹的弧相等 C 相等的圆周角所对的弧相等 D 相等的弧所对的圆周角相等3. 已知O1、O2的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）A、2 B、4 C、6 D、84. 高速公路的隧道和桥梁最多如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（）A5 B7 C D图7图8图4ODABC图5图6ACDOB5.如图5，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）ABCD6.已知O的半径为R，弦AB的长也是R，则AOB的度数是_7.如图6，为O的直径，点在O上，则 8.如图7，O中，OABC,AOB60,则ADC .9.如图8，O中，的度数为320，则圆周角MAN_ABCDEF图12O10如图12，AB为O的直径，D是O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FDFE(1)请探究FD与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为2，BD，求BC的长 EDBAOC11、如图，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。（1）求证：ACO=BCD。 （2）若EB=8，CD=24，求O的直径。 12.如图，O的直径AB=10，DEAB于点H，AH=2 （1）求DE的长； （2）延长ED到P，过P作O的切线，切点为C，若PC=22，求PD的长附加基础题：1下列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧； (2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分； (3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形； (5)三角形的外心到各顶点距离相等. 其中真命题有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个2如图1，O外接于ABC，AD为O的直径，ABC=30，则CAD=（ ）A30 B40 C50 D60 3O是ABC的外心，且ABC+ACB=100，则BOC=（ ） A100B120C130 D1604如图2，ABC的三边分别切O于D，E，F，若A=50，则DEF=（ ） A65 B50 C130 D805RtABC中，C=90，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ） A15 B12 C13 D146已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，那么这两个圆的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内切7O的半径为3cm，点M是O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与O相切的圆的半径一定是（ ） A1cm或7cm B1cm C7cm D不确定8一个扇形半径30cm，圆心角120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ） A5cm B10cm C20cm D30cm二、填空题1O中，弦MN把O分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T为MN中点，则TMO=_，则弦MN所对的圆周角为_2O到直线L的距离为d，O的半径为R，当d，R是方程x2-4x+m=0的根，且L与O相切时，m的值为_3如图3，ABC三边与O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=_4已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r的所有可能的正整数值为_十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分例1、如图2，ABC的三边分别切O于D，E，F，若A=50，则DEF=（ ） A65 B50 C130 D802、如图3，ABC三边与O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=_【变式训练】3、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ）A2 B C D34、如图，从点P向O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为O的直径，若P=60，PB=2cm，求AC的长十一、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十二、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.例1、两等圆半径为5，圆心距为8，则公共弦长为_例2、正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）（第35题）ABCOA.60 B.120 C.60或120 D.30或150例3、如图, O是等边三角形的外接圆，O的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）A B C D【变式训练】1、半径分别为8和6且圆心距为10的公共弦长为_2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为_.3、如图5，O的半径为，ABC是O的内接等边三角形，将ABC折叠，使点A落在O上，折痕EF平行BC，则EF长为_十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（p132）考查形式：考查运用弧长公式（）以及扇形面积公式（和）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：3、圆锥：（2）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：例1、已知扇形的圆心角为120，弧长等于半径为5的圆的周长，则扇形的面积为（ ）A、752 B、752 C、1502 D、1502例2、底面面积为8，高为3的圆柱的表面积和体积分别为：_例3、圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )A.180 B.200 C.225 D.216例4、AB为O的直径，点C在O上，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，已知D30. 求A的度数；若弦CFAB，垂足为E，且CF，求图中阴影部分的面积.（15分）【变式训练】1、 方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）2、已知O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切O于点C，弧BC的长为 cm ，求线段AB的长。 综合复习题：1下列命题中，正确命题的个数为（ ）.平分弦的直径垂直于弦；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直；圆周角相等，则它们所对的弧相等A1个 B2个 C 3个 D 4个2 如图，ABC内接于O，AC是O的直径，ACB500，点D是弧BAC上一点，则D的度数_.POBA3、如图1，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，O的半径为2，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB等于（ ） A30 B45 C60 D90 、一条弦把半径为8的圆分成长度为12的两条弧，则这条弦长为（ ）A、 B、 C、8 D、16、如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若C=20，则EOB的度数是（ ）A.40 B.50 C.60 D.80ADBCO、在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是和，则 BAC的度数为_7、如图，CD是O的直径，弦ABCD，连接OA，OB，BD，若AOB100，则ABD 度8、如图，AB是O的直径，CDAB于点E，交O于点D，OFAC于点F.D30，BC1，求圆中阴影部分的面积为：_9、如图，AB为半O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长 10、如图，切O于，两点，切O于点，分别交、与点、，若，的长是关于关于的一元二次方程的两个根，求的周长11、如图，在M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。（1）求圆心M的坐标；（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积 课后习题：一、选择题：1、下列说法正确的是( )A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm，且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆的半径为（ ）A. B. C. 或 D. 或3、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。10 B12 15 204、已知圆锥的侧面展开图的面积是15cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ）A B3cm C4cm D6cm5、一个正多边形的内角和是720，则这个多边形是正 边形（ ）A.四 B.五 C.六 D.七6、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （）A.123 B.1 C.1 D.3212、 填空题： 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图7、在ABC中，AB是O的直径，B60，C70，则BOD的度数是_8、如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点，且，连结交小圆于点，则扇形的面积为 9、如图A，B，C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形的面积之和为（ ）A B C D10、如图，已知扇形OAB的半径为12，OAOB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为：（ ）A6 B10 C12 D2011、矩形ABCD中，对角线AC4，ACB30，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_。12、扇形的圆心角度数60，面积6，则扇形的周长为_。3、 解答题： 13、如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E证明：AE=BEFECBAOD 14、如图，AB是O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD。15、如图,点C平分弧AB,CMAO于点M,CNOB于点N,则CM与CN有什么关系?为什么？16、已知AB是O的直径，AP是O的切线，A是切点，BP与O交于点C（1）如图若AB=2，P=30，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图，若D为AP的中点，求证：直线CD是O的切线 17、 线段AB与O相切于点C，连接OA、OB，OB交O于点D，已知OA=OB=6cm，AB=6cm，求：（1）O的半径；（2）圆中阴影部分面积18、如图，在RtABC中，C=90，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆P合好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E（1）求证：AOCAOD；（2）若BE=1，BD=3，求O的半径及图中阴影部分的面积S19、如图，AB、BC、CD分别与O切于E、F、G，且ABCD连接OB、OC，延长CO交O于点M，过点M作MNOB交CD于N求证：MN是O的切线；当0B=6cm，OC=8cm时，求O的半径及MN的长第 20 页 共 20 页知人善教 培养品质 引发成长动力
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