初中数学全等三角形知识点总结及复习

1 全等三角形知识点总结及复习 一 知识网络 对 应 角 相 等性 质 对 应 边 相 等边 边 边 S全 等 形 全 等 三 角 形 应 用 边 角 边 A判 定 角 边 角 角 角 边斜 边 直 角 边 HL作 图 角 平 分 线 性 质 与 判 定 定 理 二 基础知识梳理 一 基本概念 1 全等 的理解 全等的图形必须满足 1 形状相同的图形 2 大小相等的图形 即能够完全重合的两个图形叫全等形 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形 注 全等三角形是相似三角形 中的特殊情况 当两个三角形完全重合时 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合 的角叫做对应角 由此 可以得出 全等三角形的对应边相等 对应角相等 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 3 有公共边的 公共边一定是对应边 4 有公共角的 角一定是对应角 5 有对顶角的 对顶角一定是对应角 2 全等三角形的性质 1 全等三角形对应边相等 2 全等三角形对应角相等 3 全等三角形的判定方法 1 三边对应相等的两个三角形全等 2 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 2 4 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 5 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4 角平分线的性质及判定 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定 到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 二 灵活运用定理 1 判定两个三角形全等的定理中 必须具备三个条件 且至少要有一组边对应相等 因此在寻 找全等的条件时 总是先寻找边相等的可能性 2 要善于发现和利用隐含的等量元素 如公共角 公共边 对顶角等 3 要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等 1 已知条件中有两角对应相等 可找 夹边相等 ASA 任一组等角的对边相等 AAS 2 已知条件中有两边对应相等 可找 夹角相等 SAS 第三组边也相等 SSS 3 已知条件中有一边一角对应相等 可找 任一组角相等 AAS 或 ASA 夹等角的另一组边相等 SAS 三 经典例题 例 1 已知 如图所示 AB AC 求证 例 2 如图所示 已知 AF AE AC AD CF 与 DE 交于点 B 求证 例 3 如图所示 AC BD AB DC 求证 3 例 4 如图所示 垂足分别为 D E BE 与 CD 相交于点 O 且 求证 BD CE 例 5 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E 且 B D 180 求证 AE AD BE 分析 从上面例题 可以看出 有时为了证明某两条线段和等于另一条线段 可以考虑 截长补 短 的添加辅助线 本题是否仍可考虑这样 截长补短 的方法呢 由于 AC 是角平分线 所以在 AE 上截 AF AD 连结 FC 可证出 ADC AFC 问题就可以得到解决 证明 一 在 AE 上截取 AF AD 连结 FC 在 AFC 和 ADC 中 AFDC 已 作已 知公 共 边12 AFC ADC 边角边 AFC D 全等三角形对应角相等 B D 180 已知 B EFC 等角的补角相等 在 CEB 和 CEF 中 BEFC已 证 已 知公 共 边 90 CEB CEF 角角边 4 BE EF AE AF EF AE AD BE 等量代换 证明 二 在线段 EA 上截 EF BE 连结 FC 如右图 小结 在几何证明过程中 如果现成的三角形不可以证明 则需要我们选出所需要的三角形 这就需 要我们恰到好处的添加辅助线 四 全等三角形复习练习题 一 选择题 1 如图 给出下列四组条件 ABDECFAD BEBCEF AD 其中 能使 的条件共有 A 1 组 B 2 组 C 3 组 D 4 组 2 如图 分别为 的 边的中点 将此三角形沿 折叠 使点 落在 边 C AB 上的点 处 若 则 等于 P48 P 3 如图 四 点 是 B上任意一点 还应补充一个条件 才能推出ACD 从下列条件中补充一个条件 不一定能推出 P 的是 A B B C BDD A A B C D 42 52 58 1 题图 2 题图 4 如图 在 ABC 与 DEF 中 已有条件 AB DE 还需添加两个条件才能使 ABC DEF 不能添加的 一组条件是 A B E BC EF B BC EF AC DF C A D B E D A D BC EF 5 如图 ABC 中 C 90 AC BC AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于 E 若 AC 10cm 则 DBE 的周长等于 A 10cm B 8cm C 6cm D 9cm 6 如图所示 表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 1 处 2 处 3 处 4 处 4 题图 5 题图 C A D PB 图 四 E D C BA 6 题图 5 7 某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那 么最省事的方法是 A 带 去 B 带 去 C 带 去 D 带 去 8 如图 在 Rt 中 90 B ED是 AC的垂直平分线 交 AC于点 D 交 B 于点 E 已知 1 则 的度数为 A 30 B 4 C 50 D 60 9 如图 30 则 的度数为 A A 20 B 30 C 35 D 40 10 如图 AC AD BC BD 则有 A AB 垂直平分 CD B CD 垂直平分 AB 1 题图 C AB 与 CD 互相垂直平分 D CD 平分 ACB 8 题图 10 题图 11 尺规作图作 AOB 的平分线方法如下 以 O为圆心 任意长为半径画弧交 OA B于 C D 再分别以点 C D为圆心 以大于 12CD长为半径画弧 两弧交于点 P 作射线 由作法得P 的根据是 A SAS B ASA C AAS D SSS 12 如图 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 5cm BD 3cm 则点 D 到 AB 的距离为 A 5cm B 3cm C 2cm D 不能确定 13 如图 OP 平分 垂足分别为 A B 下列结论中不一定成立的是OP OB A B 平分 C D 垂直平分 OP 14 如图 已知 那么添加下列一个条件后 仍无法判定 的是 D C A B C D CA 90 11 题图 12 题图 二 填空题 1 如图 已知 ADB ACE 要使 ABC DE 可补充的条件是 写出一个即可 2 如图 在 ABC 中 C 90 AC BC AD 平分 BAC 交 BC 于 D DE AB 于 E 且 AB 5cm 则 DEB 的周长 为 3 如图 C 请你添加一个条件 使 O 只添一个即可 A D CEB 8 题 图 A BC D 7 题图 ABCD A B C D 14 题图 C A B O 13 题图 B A P O D P C A B 6 4 如图 在 ABC 中 C 90 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D 若 BD 10 厘米 BC 8 厘米 DC 6 厘 米 则点 D 到直线 AB 的距离是 厘米 1 题图 2 题图 3 题图 4 题图 5 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律 则第 5 个大三角形中白色三角形 有 个 6 已知 如图 OAD OBC 且 O 70 C 25 则 AEB 度 7 如图 C 为线段 AE 上一动点 不与点 A E 重合 在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE AD 与 BE 交于点 O AD 与 BC 交于点 P BE 与 CD 交于点 Q 连结 PQ 以下五个结论 AD BE PQ AE AP BQ DE DP AOB 60 恒成立的结论有 把你认为正确的序号都填上 8 如图所示 AB AD 1 2 添加一个适当的条件 使 ABC ADE 则需要添加的条件是 6 题图 7 题图 8 题图 三 解答题 1 如图 已知 AB AC AD AE 求证 BD CE 第 1个 第 2个 第 3个A CEB D O AB CD E D O C BA B A B C D E QP O B E D CA A B D E C 7 2 如图 在 中 分别以 为边作两个等腰直角三角形ABC 40BAC ABC 和 使 DE9DE 1 求 的度数 2 求证 3 如图 在 ABE 中 AB AE AD AC BAD EAC BC DE 交于点 O 求证 1 ABC AED 2 OB OE 4 如图 D 是等边 ABC 的边 AB 上的一动点 以 CD 为一边向上作等边 EDC 连接 AE 找出图中的一 组全等三角形 并说明理由 5 如 图 在 ABC 和 DCB 中 AB DC AC DB AC 与 DB 交 于 点 M 1 求证 ABC DCB 2 过点 C 作 CN BD 过点 B 作 BN AC CN 与 BN 交于点 N 试判断 线段 BN 与 CN 的数量关系 并证明你的结论 OCEBDA B C A D M N E D CB A 8 6 如图 四边形 ABCD的对角线 与 BD相交于 O点 12 34 求证 1 2 7 如图 在 和 中 现给出如下三个论断 ABC D ADBC D 请选择其中两个论断为条件 另一个论断为结论 构造一个命题 12 1 写出所有的真命题 写成 形式 用序号表示 2 请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是 证明 8 已知 如图 B E F C 四点在同一条直线上 AB DC BE CF B C 求证 OA OD 21 D C B A O12 34 9 9 如图 ABC 中 BAC 90 度 AB AC BD 是 ABC 的平分线 BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E 直线 CE 交 BA 的延长线于 F 求证 BD 2CE 10 如图 请你写出图中三 ABCDAEBDAEF 于 点 平 分 交 于 点 对全等三角形 并选取其中一对加以证明 11 已知 如图 DC AB 且 DC AE E 为 AB 的中点 1 求证 AED EBC 2 观看图前 在不添辅助线的情况下 除 EBC 外 请再写出两个与 AED 的面积相等的三角 形 直接写出结果 不要求证明 12 如图 E F 分别为线段 AC 上的两个动点 且 DE AC 于 E BF AC 于 F 若 AB CD AF CE BD 交 AC 于点 M 1 求证 MB MD ME MF 2 当 E F 两点移动到如图 的位置时 其余条件不变 上述结论能否成立 若成立请给予证明 若不成立请说明理由 OE D CB A B D C F A 郜 E F E D CB A 10 13 已知 如图 A D C B 在同一直线上 AC BD AE BF CE DF 求证 1 DF CE 2 DE CF A D F E 14 如图 已知在 ABC 中 BE CF 分别是 AC AB 两条边上的高 在 BE 上截取 BD AC 在 CF 的延 长线上截取 CG AB 连结 AD AG 则 AG 与 AD 有何关系 试证明你的结论 15 如图 已知 BE AC 于 E CF AB 于 F BE CF 相交于点 D 若 AB AC 求证 AD 平分 BAC BCE 11 16 如图 B C 90 M 是 BC 中点 DM 平分 ADC 求证 AM 平分 DAB 17 如图 在 ABC 和 DBC 中 ACB DBC 90 E 是 BC 的中点 EF AB 垂足为 F 且 AB DE 8 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DE AB DF AC 垂足分别为 E F 连接 EF EF 与 AD 交于 G AD 与 EG 垂直吗 证明你的结论 19 如图 在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 试说明 AE CD AC 如图 在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 试说明 AE CD AC 20 如图 已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 点 F 在 BC 上 且 DAE FAE 求证 AF AD CF 12 A B F C E D 已知 在 ABC 中 BAC 90 AB AC AE 是过点 A 的一条直线 且 BD AE 于 D CE AE 于 E 1 当直线 AE 处于如图 的位置时 有 BD DE CE 请说明理由 2 当直线 AE 处于如图 的位 置时 则 BD DE CE 的关系如何 请说明理由 3 归纳 1 2 请用简洁的语言表达 BD DE CE 之间的关系 B A D E C B C EAD