2018年中考数学第一轮复习-第十五讲--二次函数的综合题及应用

第十五讲 二次函数的综合题及应用 重点考点例析 考点一 确定二次函数关系式 例 1 2017 牡丹江 如图 已知二次函数 y x2 bx c过点 A 1 0 C 0 3 1 求此二次函数的解析式 2 在抛物线上存在一点 P使 ABP 的面积为 10 请直接写出点 P的坐 标 思路分析 1 利用待定系数法把 A 1 0 C 0 3 代入 二次 函数 y x2 bx c中 即可算出 b c 的值 进而得到函数解析式是 y x2 2x 3 2 首先求出 A B 两点坐标 再算出 AB的长 再设 P m n 根据 ABP 的面积为 10可以计算出 n的值 然后再利用二次函数解析式计算 出 m的值即可得到 P点坐标 解 1 二次函数 y x2 bx c过点 A 1 0 C 0 3 解得 03bc 3bc 二次函数的解析式为 y x2 2x 3 2 当 y 0时 x 2 2x 3 0 解得 x 1 3 x 2 1 A 1 0 B 3 0 AB 4 设 P m n ABP 的面积为 10 AB n 10 2 解得 n 5 当 n 5时 m 2 2m 3 5 解得 m 4 或 2 P 4 5 2 5 当 n 5时 m 2 2m 3 5 方程无解 故 P 4 5 2 5 点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式 以及求点的坐标 关键是掌握凡是 函数图象经过的点必能满足解析式 对应训练 1 2017 湖州 已知抛物线 y x2 bx c经过点 A 3 0 B 1 0 1 求抛物线的解析式 2 求抛物线的顶点坐标 考点二 二次函数与 x轴的交点问题 例 2 2017 苏州 已知二次函数 y x2 3x m m 为常数 的图象与 x轴的一个交 点为 1 0 则关于 x的一元二次方程 x2 3x m 0的两实数根是 A x 1 1 x 2 1 B x 1 1 x 2 2 C x 1 1 x 2 0 D x 1 1 x 2 3 对应训练 2 2013 株洲 二次函数 y 2x2 mx 8的图象如图所示 则 m的值是 A 8 B 8 C 8 D 6 考点三 二次函数的实际应用 例 3 2017 营口 为了落实国务院的指示精神 某地方政府出台了一系列 三农 优惠 政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一种农产品 已知这种产品的成本价为每 千克 20元 市场调查发现 该产品每天的销售量 y 千克 与销售价 x 元 千克 有如下 关系 y 2x 80 设这种产品每天的销售利润为 w元 1 求 w与 x之间的函数关系式 2 该产品销售价定为每千克多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少元 3 如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28元 该农户想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为每千克多少元 思路分析 1 根据销售额 销售量 销售价单 x 列出函数关系式 2 用配方法将 2 的函数关系式变形 利用二次函数的性质求最大值 3 把 y 150代入 2 的函数关系式中 解一元二次方程求 x 根据 x的取值范围求 x 的值 解 1 由题意得出 w x 20 y x 20 2x 80 2x2 120 x 1600 故 w与 x的函数关系式为 w 2x 2 120 x 1600 2 w 2x 2 120 x 1600 2 x 30 2 200 2 0 当 x 30时 w 有最大值 w 最大值为 200 答 该产品销售价定为每千克 30元时 每天销售利润最大 最大销售利润 200元 3 当 w 150时 可得方程 2 x 30 2 200 150 解得 x 25 x 2 35 35 28 x 2 35不符合题意 应舍去 答 该农户想要每天获得 150元的销售利润 销售价应定为每千克 25元 点评 本题考查了二次函数的运用 关键是根据题意列出函数关系式 运用二次函数的性 质解决问题 对应训练 3 2017 武汉 科幻小说 实验室的故事 中 有这样一个情节 科学家把一种珍奇的植 物分别放在不同温度的环境中 经过一天后 测试出这种植物高度的增长情况 如下表 温度 x 4 2 0 2 4 4 5 植物每天高度增长量 y mm 41 49 49 41 25 19 75 由这些数据 科学家推测出植物每天高度增长量 y是温度 x的函数 且这种函数是反比例 函数 一次函数和二次函数中的一种 1 请你选择一种适当的函数 求出它的函数关系式 并简要说明不选择另外两种函数的 理由 2 温度为多少时 这种植物每天高度增长量最大 3 如果实验室温度保持不变 在 10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm 那 么实验室的温度 x应该在哪个范围内选择 请直接写出结果 3 解 1 选择二次函数 设 y ax2 bx c a 0 x 2 时 y 49 x 0时 y 49 x 2时 y 41 解得 4291abc 1249abc 所以 y 关于 x的函数关系式为 y x2 2x 49 不选另外两个函数的理由 点 0 49 不可能在反比例函数图象上 y 不是 x的反比例函数 点 4 41 2 49 2 41 不在同一直线上 y 不是 x的一次函数 2 由 1 得 y x 2 2x 49 x 1 2 50 a 1 0 当 x 1时 y 有最大值为 50 即当温度为 1 时 这种作物每天高度增长量最大 3 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm 平均每天该植物高度增长量超过 25mm 当 y 25时 x 2 2x 49 25 整理得 x 2 2x 24 0 解得 x1 6 x 2 4 在 10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm 实验室的温度应保持在 6 x 4 考点四 二次函数综合性题目 例 4 2017 自贡 如图 已知抛物线 y ax2 bx 2 a 0 与 x轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C点 直线 BD交抛物线于点 D 并且 D 2 3 tan DBA 12 1 求抛物线的解析式 2 已知点 M为抛物线上一动点 且在第三象限 顺次连接点 B M C A 求四边形 BMCA面积的最大值 3 在 2 中四边形 BMCA面积最大的条件下 过点 M作直线 平行于 y轴 在这条直线上是否存在一个以 Q点为圆心 OQ 为半 径且与直线 AC相切的圆 若存在 求出圆心 Q的坐标 若不存 在 请说明理由 思路分析 1 如答图 1所示 利用已知条件求出点 B的坐标 然后用待定系数法求出抛 物线的解析式 2 如答图 1所示 首先求出四边形 BMCA面积的表达式 然后利用二次函数的性质求出 其最大值 3 本题利用切线的性质 相似三角形与勾股定理求解 如答图 2 所示 首先求出直线 AC与直线 x 2的交点 F的坐标 从而确定了 Rt AGF 的各个边长 然后证明 Rt AGF Rt QEF 利用相似线段比 例关系列出方程 求出点 Q的坐标 解 1 如答图 1所示 过点 D作 DE x 轴于点 E 则 DE 3 OE 2 tan DBA EB2 BE 6 OB BE OE 4 B 4 0 点 B 4 0 D 2 3 在抛物线 y ax2 bx 2 a 0 上 解得 164ab 132ab 抛物线的解析式为 y x2 x 2 1 2 抛物线的解析式为 y x2 x 2 3 令 x 0 得 y 2 C 0 2 令 y 0 得 x 4或 1 A 1 0 设点 M坐标为 m n m 0 n 0 如答图 1所示 过点 M作 MF x 轴于点 F 则 MF n OF m BF 4 m S 四边形 BMCA S BMF S 梯形 MFOC S AOC BF MF MF OC OF OA OC22 4 m n n 2 m 1 2112 2n m 1 点 M m n 在抛物线 y x2 x 2上 3 n m2 m 2 代入上式得 13 S 四边形 BMCA m2 4m 5 m 2 2 9 当 m 2时 四边形 BMCA面积有最大值 最大值为 9 3 假设存在这样的 Q 如答图 2所示 设直线 x 2与 x轴交于点 G 与直线 AC交于点 F 设直线 AC的解析式为 y kx b 将 A 1 0 C 0 2 代入得 0kb 解得 k 2 b 2 直线 AC解析式为 y 2x 2 令 x 2 得 y 6 F 2 6 GF 6 在 Rt AGF 中 由勾股定理得 AF 2AGF 2365 设 Q 2 n 则在 Rt AGF 中 由勾股定理得 OQ 2OQF 4n 设 Q 与直线 AC相切于点 E 则 QE OQ 24n 在 Rt AGF 与 Rt QEF 中 AGF QEF 90 AFG QFE Rt AGF Rt QEF 即 AFGQE 356n 24 化简得 n 2 3n 4 0 解得 n 4或 n 1 存在一个以 Q点为圆心 OQ 为半径且与直线 AC相切的圆 点 Q的坐标为 2 4 或 2 1 点评 本题是中考压轴题 综合考查了二次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 待定系数法 相似三角形 勾股定理 圆的切线性质 解直角三角形 图形面积计算等重 要知识点 涉及考点众多 有一定的难度 第 2 问面积最大值的问题 利用二次函数的 最值解决 第 3 问为存在型问题 首先假设存在 然后利用已知条件 求出符合条件的 点 Q坐标 对应训练 4 2017 张家界 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象过点 C 0 1 顶点为 Q 2 3 点 D在 x轴正半轴上 且 OD OC 1 求直线 CD的解析式 2 求抛物线的解析式 3 将直线 CD绕点 C逆时针方向旋转 45 所得直线与抛物线相交于另一点 E 求证 CEQ CDO 4 在 3 的条件下 若点 P是线段 QE上的动点 点 F是线段 OD上的动点 问 在 P 点和 F点移动过程中 PCF 的周长是否存在最小值 若存在 求出这个最小值 若不存 在 请说明理由 4 解 1 C 0 1 OD OC D 点坐标为 1 0 设直线 CD的解析式为 y kx b k 0 将 C 0 1 D 1 0 代入得 10bk 解得 b 1 k 1 直线 CD的解析式为 y x 1 2 设抛物线的解析式为 y a x 2 2 3 将 C 0 1 代入得 1 a 2 2 3 解得 a 1 y x 2 2 3 x2 2x 1 1 3 证明 由题意可知 ECD 45 OC OD 且 OC OD OCD 为等腰直角三角形 ODC 45 ECD ODC CE x 轴 则点 C E 关于对称轴 直线 x 2 对称 点 E的坐标为 4 1 如答图 所示 设对称轴 直线 x 2 与 CE交于点 F 则 F 2 1 ME CM QM 2 QME 与 QMC 均为等腰直角三角形 QEC QCE 45 又 OCD 为等腰直角三角形 ODC OCD 45 QEC QCE ODC OCD 45 CEQ CDO 4 存在 如答图 所示 作点 C关于直线 QE的对称点 C 作点 C关于 x轴的对称点 C 连接 C C 交 OD于点 F 交 QE于点 P 则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形 由轴对 称的性质可知 PCF 的周长等于线段 C C 的长度 证明如下 不妨在线段 OD上取异于点 F的任一点 F 在线段 QE上取异于点 P的任一 点 P 连接 F C F P P C 由轴对称的性质可知 P CF 的周长 F C F P P C 而 F C F P P C 是点 C C 之间的折线段 由两点之间线段最短可知 F C F P P C C C 即 P CF 的周长大于 PCE 的周长 如答图 所示 连接 C E C C 关于直线 QE对称 QCE 为等腰直角三角形 QC E 为等腰直角三角形 CEC 为等腰直角三角形 点 C 的坐标为 4 5 C C 关于 x轴对称 点 C 的坐标为 1 0 过点 C 作 C N y 轴于点 N 则 NC 4 NC 4 1 1 6 在 Rt C NC 中 由勾股定理得 C C 2224613NC 综上所述 在 P点和 F点移动过程中 PCF 的周长存在最小值 最小值为 2 聚焦山东中考 1 2017 淄博 如图 Rt OAB 的顶点 A 2 4 在抛物线 y ax2上 将 Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90 得到 OCD 边 CD与该抛物线交于点 P 则点 P的坐标为 A B 2 2 C 2 D 2 2 2 2017 滨州 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是 长方体形 其中 抽屉底面周长为 180cm 高为 20cm 请通过计算说明 当底面的宽 x为何值时 抽屉的体积 y最大 最大为多少 材质及其厚 度等暂忽略不计 2 解 已知抽屉底面宽为 x cm 则底面长为 180 2 x 90 x cm 由题意得 y x 90 x 20 20 x 2 90 x 20 x 45 2 40500 当 x 45时 y 有最大值 最大值为 40500 答 当抽屉底面宽为 45cm时 抽屉的体积最大 最大体积为 40500cm3 3 2017 日照 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100辆 公司在经营中发现每辆车 的月租金 x 元 与每月租出的车辆数 y 有如下关系 x 3O00 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 1 观察表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的 车辆数 y 辆 与每辆车的月租金 x 元 之间的关系式 2 已知租出的车每辆每月需要维护费 150元 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 用含 x x 3000 的代数式填表 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 3 若你是该公司的经理 你会将每辆车的月租金定为多少元 才能使公司获得最大月收 益 请求出公司的最大月收益是多少元 3 解 1 由表格数据可知 y与 x是一次函数关系 设其解析式为 y kx b 由题 解之得 301296kb 1506kb y 与 x间的函数关系是 y x 160 50 2 如下表 租出的车辆数 x 1601未租出的车辆数 x 60150 租出的车每辆的月收益 x 150 所有未租出的车辆每月的维护费 x 3000 3 设租赁公司获得的月收益为 W元 依题意可得 W x 160 x 150 x 3000 150 x2 163x 24000 x 3000 x2 162x 21000 x 4050 2 30705150 当 x 4050时 Wmax 307050 即 当每辆车的月租金为 4050元时 公司获得最大月收益 307050元 故答案为 x 160 x 60 150 4 2017 枣庄 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 y x2 bx c的图象与 x轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 与 y轴交于 C 0 3 点 点 P是直线 BC下方的抛物线上一动点 1 求这个二次函数的表达式 2 连接 PO PC 并把 POC 沿 CO翻折 得到四边形 POP C 那么是否存在 点 P 使四边形 POP C 为菱形 若存在 请求出此时点 P的坐标 若不存在 请说明理由 3 当点 P运动到什么位置时 四边形 ABPC的面积最大 求出此时 P点的坐 标和四边形 ABPC的最大面积 4 解 1 将 B C 两点的坐标代入得 解得 930 bc 23bc 所以二次函数的表达式为 y x 2 2x 3 2 存在点 P 使四边形 POP C 为菱形 如图 设 P点坐标为 x x 2 2x 3 PP 交 CO于 E 若四边形 POP C 是菱形 则有 PC PO 连接 PP 则 PE CO 于 E OE EC y x 2 2x 3 323 解得 x1 x 2 不合题意 舍去 0 10 P 点的坐标为 3 3 过点 P作 y轴的平行线与 BC交于点 Q 与 OB交于点 F 设 P x x 2 2x 3 易得 直线 BC的解析式为 y x 3 则 Q点的坐标为 x x 3 S 四边形 ABPC S ABC S BPQ S CPQ AB OC QP BF QP OF1212 4 3 x2 3x 3 x 2 3758 当 x 时 四边形 ABPC的面积最大 此时 P点的坐标为 四边形 ABPC的面积的最大值为 3214758 5 2017 潍坊 为了改善市民的生活环境 我市在某河滨空地处修 建一个如图所示的休闲文化广场 在 Rt ABC 内修建矩形水池 DEFG 使定点 D E 在斜边 AB上 F G 分别在直角边 BC AC 上 又分别以 AB BC AC 为直径作半圆 它们交出两弯新月 图中阴影部分 两弯新月部分栽植花草 其余空地铺设瓷砖 其 中 AB 24 米 BAC 60 设 EF x米 DE y 米 3 1 求 y与 x之间的函数解析式 2 当 x为何值时 矩形 DEFG的面积最大 最大面积是多少 3 求两弯新月 图中阴影部分 的面积 并求当 x为何值时 矩形 DEFG的面积及等于 两弯新月面积的 13 5 解 1 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 24 米 BAC 60 3 AC AB 12 米 BC AC 36米 ABC 30 2 AD x BE x tan60DG 3tan0EF 3 AD DE BE AB x y x 24 33 y 24 x x 24 x 334 即 y与 x之间的函数解析式为 y 24 x 0 x 18 3 2 y 24 x 矩形 DEFG的面积 xy x 24 x 3434 x2 24 x x 9 2 108 43 当 x 9米时 矩形 DEFG的面积最大 最大面积是 108 平方米 3 3 记 AC BC AB 为直径的半圆面积分别为 S1 S 2 S 3 两弯新 月面积为 S 则 S1 AC 2 S2 BC 2 S3 AB 2 818 AC 2 BC2 AB2 S 1 S2 S3 S 1 S2 S S3 S ABC S S ABC 两弯新月的面积 S AC BC 12 36 216 平方米 123 如果矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 1 那么 x 9 2 108 216 4331 化简整理 得 x 9 2 27 解得 x 9 3 符合题意 所以当 x为 9 3 米时 矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 3 13 6 2017 烟台 如图 在平面直角坐标系中 四边形 OABC是边长为 2的正方形 二次函 数 y ax2 bx c的图象经过点 A B 与 x轴分别交于点 E F 且点 E的坐标为 0 以 0C为直径作半圆 圆心为 D 1 求二次函数的解析式 2 求证 直线 BE是 D 的切线 3 若直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P M 是线段 CB上的一个动点 点 M与点 B C 不 重合 过点 M作 MN BE 交 x轴与点 N 连结 PM PN 设 CM的长为 t PMN 的面积为 S 求 S与 t的函数关系式 并写出自变量 t的取值范围 S 是否存在着最大值 若存在 求出最大值 若不存在 请说明理由 6 解 1 由题意 得 A 0 2 B 2 2 E 的坐标为 0 23 则 解得 24 093cab 9 842abc 该二次函数的解析式为 y x2 x 2 984 2 如图 1 过点 D作 DG BE 于点 G 由题意 得 ED 1 EC 2 BC 2 35238 BE 649 10 BEC DEG EGD ECB 90 EGD ECB DGEBC DG 1 D 的半径是 1 且 DG BE BE 是 D 的切线 3 如图 2 由题意 得 E 0 B 2 2 设直线 BE为 y kx h k 0 则 解得 203 kh 3412kh 直线 BE为 y x 34 直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P 对称轴直线为 x 1 点 P的纵坐标 y 即 P 1 554 MN BE MNC BEC C C 90 MNC BEC CNMEB 则 CN t 823t43 DN t 1 54 S PND DN PD t 1 t 1243568 S MNC CN CM t t t2 S 梯形 PDCM PD CM CD t 1 t 1412 S S PND S 梯形 PDCM S MNC t2 t 0 t 2 3 抛物线 S t2 t 0 t 2 的开口方向向下 34 S 存在最大值 当 t 1时 S 最大 7 2017 泰安 如图 抛物线 y x2 bx c与 y轴交于点 C 0 4 与1 x轴交于点 A B 且 B点的坐标为 2 0 1 求该抛物线的解析式 2 若点 P是 AB上的一动点 过点 P作 PE AC 交 BC于 E 连接 CP 求 PCE 面积的最大值 3 若点 D为 OA的中点 点 M是线段 AC上一点 且 OMD 为等腰三角形 求 M点的坐标 7 解 1 把点 C 0 4 B 2 0 分别代入 y x2 bx c中 1 得 解得 2 4cbc 1 4bc 该抛物线的解析式为 y x2 x 4 2 令 y 0 即 x2 x 4 0 解得 x1 4 x 2 2 1 A 4 0 S ABC AB OC 12 设 P点坐标为 x 0 则 PB 2 x PE AC BPE BAC BEP BCA PBE ABC 即 2PBEACS V 2PBES 16x V 化简得 S PBE 2 x 2 3 S PCE S PCB S PBE PB OC S PBE 2 x 4 2 x 213 x2 x 18 x 1 2 33 当 x 1时 S PCE 的最大值为 3 3 OMD 为等腰三角形 可能有三种情形 I 当 DM DO时 如答图 所示 DO DM DA 2 OAC AMD 45 ADM 90 M 点的坐标为 2 2 II 当 MD MO时 如答图 所示 过点 M作 MN OD 于点 N 则点 N为 OD的中点 DN ON 1 AN AD DN 3 又 AMN 为等腰直角三角形 MN AN 3 M 点的坐标为 1 3 III 当 OD OM时 OAC 为等腰直角三角形 点 O到 AC的距离为 4 2 即 AC上的点与点 O之间的最小距离为 2 2 2 OD OM 的情况不存在 综上所述 点 M的坐标为 2 2 或 1 3 8 2017 威海 如图 在平面直角坐标系中 直线 y x 与直线 y x交于点 A 点123 B在直线 y x 上 BOA 90 抛物线 y ax2 bx c过点 A O B 顶点为点 E 123 1 求点 A B 的坐标 2 求抛物线的函数表达式及顶点 E的坐标 3 设直线 y x与抛物线的对称轴交于点 C 直线 BC交抛物线于点 D 过点 E作 FE x 轴 交直线 AB于点 F 连接 OD CF CF 交 x轴于点 M 试判断 OD与 CF是否平行 并说明理 由 8 解 1 由直线 y x 与直线 y x交于点 A 得123 解得 32 yx xy 点 A的坐标是 3 3 BOA 90 OB OA 直线 OB的解析式为 y x 又 点 B在直线 y x 上 123 解得 132 yx 1xy 点 B的坐标是 1 1 综上所述 点 A B 的坐标分别为 3 3 1 1 2 由 1 知 点 A B 的坐标分别为 3 3 1 1 抛物线 y ax2 bx c过点 A O B 解得 930 1abc 120abc 该抛物线的解析式为 y x2 x 或 y x 2 118 顶点 E的坐标是 8 3 OD 与 CF平行 理由如下 由 2 知 抛物线的对称轴是 x 12 直线 y x与抛物线的对称轴交于点 C C 1 设直线 BC的表达式为 y kx b k 0 把 B 1 1 C 代入 得21 解得 12kb 1 32kb 直线 BC的解析式为 y x 13 直线 BC与抛物线交于点 B D x x2 x 13 解得 x 1 x 2 1 4 把 x1 代入 y x 得 y1 43239 点 D的坐标是 如图 作 DN x 轴于点 N 则 tan DON 16O FE x 轴 点 E的坐标为 218 点 F的纵坐标是 8 把 y 代入 y x 得 x 134 点 F的坐标是 1 EF 2458 CE 1 tan CFE 6CEF CFE DON 又 FE x 轴 CMN CFE CMN DON OD CF 即 OD与 CF平行 9 2017 潍坊 如图 抛物线 y ax2 bx c关于直线 x 1对称 与坐标 轴交与 A B C 三点 且 AB 4 点 D 2 在抛物线上 直线 l是3 一次函数 y kx 2 k 0 的图象 点 O是坐标原点 1 求抛物线的解析式 2 若直线 l平分四边形 OBDC的面积 求 k的值 3 把抛物线向左平移 1个单位 再向下平移 2个单位 所得抛物线与 直线 l交于 M N 两点 问在 y轴正半轴上是否存在一定点 P 使得不论 k取何值 直线 PM与 PN总是关于 y轴对称 若存在 求出 P点坐标 若不存在 请说明理由 9 解 1 因为抛物线关于直线 x 1对称 AB 4 所以 A 1 0 B 3 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 点 D 2 在抛物线上 3 a 3 1 解得 a 12 抛物线解析式为 y x 1 x 3 x2 x 1213 2 抛物线解析式为 y x2 x 令 x 0 得 y C 0 332 D 2 CD OB 直线 CD解析式为 y 32 直线 l解析式为 y kx 2 令 y 0 得 x 令 y 得 x k37k 如答图 1所示 设直线 l分别与 OB CD 交于点 E F 则 E 0 F 2k7k32 OE BE 3 CF DF 2 7k 直线 l平分四边形 OBDC的面积 S 梯形 OEFC S 梯形 FDBE OE CF OC FD BE OC 1212 OE CF FD BE 即 3 2 k72k7 解方程得 k 经检验 k 是原方程的解且符合题55 意 k 1 3 假设存在符合题意的点 P 其坐标为 0 t 抛物线解析式为 y x2 x x 1 2 2 13 把抛物线向左平移 1个单位 再向下平移 2个单位 所得抛物线解析式为 y x2 1 依题意画出图形 如答图 2所示 过点 M作 MD y 轴于点 D NE y 轴于点 E 设 M x m y m N x n y en 则 MD xm PD t y m NE x n PE t y en 直线 PM与 PN关于 y轴对称 MPD NPE 又 MDP NEP 90 Rt PMD Rt PNE 即 DPNE mnnxty 点 M N 在直线 y kx 2上 y m kxm 2 y en kxn 2 代入 式化简得 t 2 x m xn 2kx mxn 把 y kx 2代入 y x2 整理得 x 2 2kx 4 0 1 x m xn 2k x mxn 4 代入 式解得 t 2 符合条件 所以在 y轴正半轴上存在一个定点 P 0 2 使得不论 k取何值 直线 PM与 PN总是关于 y轴对称 备考真题过关 一 选择题 1 2017 大庆 已知函数 y x2 2x 3 当 x m时 y 0 则 m的值可能是 A 4 B 0 C 2 D 3 2 2017 南昌 若二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x轴有两个交点 坐标分别为 x 1 0 x 2 0 且 x1 x 2 图象上有一点 M x 0 y 0 在 x轴下方 则下列判断正 确的是 A a 0 B b 2 4ac 0 C x 1 x 0 x 2 D a x 0 x1 x 0 x2 0 3 2017 湖州 如图 在 10 10的网格中 每个小方格都是边长为 1 的小正方形 每个小正方形的顶点称为格点 若抛物线经过图中的三个 格点 则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的 内接格点三角形 以 O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 若抛物线与网格对 角线 OB的两个交点之间的距离为 3 且这两个交点与抛物线的顶点2 是抛物线的内接格点三角形的三个顶点 则满足上述条件且对称轴平行 于 y轴的抛物线条数是 A 16 B 15 C 14 D 13 二 填空题 4 2017 宿迁 若函数 y mx2 2x 1的图象与 x轴只有一个公共点 则 常数 m的值是 5 2017 贵港 如图 在平面直角坐标系 xOy中 若动点 P在抛物线 y ax2上 P 恒过点 F 0 n 且与直线 y n始终保持相切 则 n 用含 a的代数式表示 6 2013 锦州 二次函数 y x2的图象如图 点 A0位于坐标原点 3 点 A1 A 2 A 3 An在 y轴的正半轴上 点 B1 B 2 B 3 Bn在二次函数位于第 一象限的图象上 点 C1 C 2 C 3 Cn在二次函数位于第二象限的图象上 四 边形 A0B1A1C1 四边形 A1B2A2C2 四边形 A2B3A3C3 四边形 An 1BnAnCn都是菱形 A 0B1A1 A 1B2A1 A 2B3A3 A n 1BnAn 60 菱形 An 1BnAnCn的周长为 三 解答题 7 2017 鞍山 某商场购进一批单价为 4元的日用品 若按每件 5元的价格销售 每月 能卖出 3万件 若按每件 6元的价格销售 每月能卖出 2万件 假定每月销售件数 y 件 与价格 x 元 件 之间满足一次函数关系 1 试求 y与 x之间的函数关系式 2 当销售价格定为多少时 才能使每月的利润最大 每月的最大利润是多少 7 解 1 由题意 可设 y kx b 把 5 30000 6 20000 代入得 30526tb 解得 108kb 所以 y与 x之间的关系式为 y 10000 x 80000 2 设利润为 W 则 W x 4 10000 x 80000 10000 x 4 x 8 10000 x 2 12x 32 10000 x 6 2 4 10000 x 6 2 40000 所以当 x 6时 W 取得最大值 最大值为 40000元 答 当销售价格定为 6元时 每月的利润最大 每月的最大利润为 40000元 8 2017 乌鲁木齐 某公司销售一种进价为 20元 个的计算机 其销售量 y 万个 与 销售价格 x 元 个 的变化如下表 价格 x 元 个 30 40 50 60 销售量 y 万个 5 4 3 2 同时 销售过程中的其他开支 不含造价 总计 40万元 1 观察并分析表中的 y与 x之间的对应关系 用所学过的一次函数 反比例函数或二次 函数的有关知识写出 y 万个 与 x 元 个 的函数解析式 2 求出该公司销售这种计算器的净得利润 z 万个 与销售价格 x 元 个 的函数解析 式 销售价格定为多少元时净得利润最大 最大值是多少 3 该公司要求净得利润不能低于 40万元 请写出销售价格 x 元 个 的取值范围 若 还需考虑销售量尽可能大 销售价格应定为多少元 8 解 1 根据表格中数据可得出 y 与 x是一次函数关系 设解析式为 y ax b 则 解得 3054ab 108ab 故函数解析式为 y x 8 1 2 根据题意得出 z x 20 y 40 x 20 x 8 40 x2 10 x 010 200 x 2 100 x 200 x 50 2 2500 200 101 x 50 2 50 故销售价格定为 50元 个时净得利润最大 最大值是 50万元 3 当公司要求净得利润为 40万元时 即 x 50 2 50 40 解得 x 1 40 x 2 60 10 如上图 通过观察函数 y x 50 2 50的图象 可知按照公司要求使净得利润不低于10 40万元 则销售价格的取值范围为 40 x 60 而 y与 x的函数关系式为 y x 8 y 随 x的增大而减少 9 2017 达州 今年 6 月 12日为端午节 在端午节前夕 三位同学到某超市调研一种 进价为 2元的粽子的销售情况 请根据小丽提供的信息 解答小华和小明提出的问题 1 小华的问题解答 2 小明的问题解答 9 解 1 设定价为 x元 利润为 y元 则销售量为 500 10 30 1x 由题意得 y x 2 500 10 30 1 100 x2 1000 x 1600 100 x 5 2 900 当 y 800时 100 x 5 2 900 800 解得 x 4 或 x 6 售价不能超过进价的 240 x 2 240 即 x 4 8 故 x 4 即小华问题的解答为 当定价为 4元时 能实现每天 800元的销售利润 2 由 1 得 y 100 x 5 2 900 100 0 函数图象开口向下 且对称轴为 x 5 x 4 8 故当 x 4 8时函数能取最大值 即 ymax 100 4 8 5 2 900 896 故小明的问题简答为 800 元的销售利润不是最多 当定价为 4 8元是 每天的销售利润 最大 故答案为 当定价为 4元时 能实现每天 800元的销售利润 800 元的销售利润不是最多 当定价为 4 8元是 每天的销售利润最大 10 2017 黄冈 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎 每年可在国内 国 外市场上全部售完 该公司的年产量为 6千件 若在国内市场销售 平均每件产品的利润 y1 元 与国内销售量 x 千件 的关系为 y1 590 2 36x 若在国外销售 平均每件产品的利润 y2 元 与国外的销售数量 t 千件 的关系为 y2 5102t 1 用 x的代数式表示 t为 t 当 0 x 4 时 y 2与 x的函数关系为 y2 当 时 y 2 100 2 求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w 千元 与国内销售数量 x 千件 的函 数关系式 并指出 x的取值范围 3 该公司每年国内 国外的销售量各为多少时 可使公司每年的总利润最大 最大值为 多少 10 解 1 由题意 得 x t 6 t 6 x y 2 0 2 56t 当 0 x 4 时 2 6 x 6 即 2 t 6 此时 y2与 x的函数关系为 y 2 5 6 x 110 5x 80 当 4 x 6 时 0 6 x 2 即 0 t 2 此时 y2 100 故答案为 6 x 5x 80 4 6 2 分三种情况 当 0 x 2 时 w 15x 90 x 5x 80 6 x 10 x 2 40 x 480 当 2 x 4 时 w 5x 130 x 5x 80 6 x 10 x 2 80 x 480 当 4 x 6 时 w 5x 130 x 100 6 x 5x 2 30 x 600 综上可知 w 2210480 24536xx 3 当 0 x 2 时 w 10 x 2 40 x 480 10 x 2 2 440 此时 x 2时 w 最大 600 当 2 x 4 时 w 10 x 2 80 x 480 10 x 4 2 640 此时 x 4时 w 最大 640 当 4 x 6 时 w 5x 2 30 x 600 5 x 3 2 645 4 x 6 时 w 640 x 4 时 w 最大 640 故该公司每年国内 国外的销售量各为 4千件 2 千件 可使公司每年的总利润最大 最 大值为 64万元 11 2017 湛江 如图 在平面直角坐标系中 顶点为 3 4 的抛物线交 y轴于 A点 交 x轴于 B C 两点 点 B在点 C的左 侧 已知 A点坐标为 0 5 1 求此抛物线的解析式 2 过点 B作线段 AB的垂线交抛物线于点 D 如果以点 C为圆 心的圆与直线 BD相切 请判断抛物线的对称轴 l与 C 有什么位 置关系 并给出证明 3 在抛物线上是否存在一点 P 使 ACP 是以 AC为直角边的 直角三角形 若存在 求出点 P的坐标 若不存在 请说明理 由 11 解 1 设抛物线解析式为 y a x 3 2 4 将 A 0 5 代入求得 a 1 抛物线解析式为 y x 3 2 4 x2 6x 5 2 抛物线的对称轴 l与 C 相离 证明 令 y 0 即 x 2 6x 5 0 得 x 1或 x 5 B 1 0 C 5 0 如答图 所示 设切点为 E 连接 CE 由题意易证 Rt ABO Rt BCE 即 ABO 2514C 求得 C 的半径 CE 26 而点 C到对称轴 x 3的距离为 2 2 46 抛物线的对称轴 l与 C 相离 3 存在 理由如下 有两种情况 I 如答图 所示 点 P在 x轴上方 A 0 5 C 5 0 AOC 为等腰直角三角形 OCA 45 PC AC PCO 45 过点 P作 PF x 轴于点 F 则 PCF 为等腰直角三角形 设点 P坐标为 m n 则有 OF m PF CF n OC OF CF m n 5 又点 P在抛物线上 n m 2 6m 5 联立 式 解得 m 2 或 m 5 当 m 5时 点 F与点 C重合 故舍去 m 2 n 3 点 P坐标为 2 3 II 如答图 所示 点 P在 x轴下方 A 0 5 C 5 0 AOC 为等腰直角三角形 OAC 45 过点 P作 PF x 轴于点 F PA AC PAF 45 即 PAF 为等腰直角三角形 设点 P坐标为 m n 则有 PF AF m OF n OA AF 5 m m n 5 又点 P在抛物线上 n m 2 6m 5 联立 式 解得 m 0 或 m 7 当 m 0时 点 F与原点重合 故舍去 m 7 n 12 点 P坐标为 7 12 综上所述 存在点 P 使 ACP 是以 AC为直角边的直角三角 形 点 P的坐标为 2 3 或 7 12 12 2013 曲靖 如图 在平面直角坐标系 xOy中 直线 y x 4 与坐标轴分别交于 A B 两点 过 A B 两点的抛物线为 y x2 bx c 点 D为线段 AB上一 动点 过点 D作 CD x 轴于点 C 交抛物线于点 E 1 求抛物线的解析式 2 当 DE 4时 求四边形 CAEB的面积 3 连接 BE 是否存在点 D 使得 DBE 和 DAC 相似 若存在 求此点 D坐标 若不存在 说明理由 12 解 1 在直线解析式 y x 4中 令 x 0 得 y 4 令 y 0 得 x 4 A 4 0 B 0 4 点 A 4 0 B 0 4 在抛物线 y x2 bx c上 16bc 解得 b 3 c 4 抛物线的解析式为 y x 2 3x 4 2 设点 C坐标为 m 0 m 0 则 OC m AC 4 m OA OB 4 BAC 45 ACD 为等腰直角三角形 CD AC 4 m CE CD DE 4 m 4 8 m 点 E坐标为 m 8 m 点 E在抛物线 y x2 3x 4上 8 m m 2 3m 4 解得 m 2 C 2 0 AC OC 2 CE 6 S 四边形 CAEB S ACE S 梯形 OCEB S BCO 2 6 6 4 2 2 4 12 1212 3 设点 C坐标为 m 0 m 0 则 OC m CD AC 4 m BD OC m 则2 D m 4 m ACD 为等腰直角三角形 DBE 和 DAC 相似 DBE 必为等腰直角三角形 i 若 BED 90 则 BE DE BE OC m DE BE m CE 4 m m 4 E m 4 点 E在抛物线 y x2 3x 4上 4 m 2 3m 4 解得 m 0 不合题意 舍去 或 m 3 D 3 1 ii 若 EBD 90 则 BE BD m 在等腰直角三角形 EBD中 DE BD 2m 2 CE 4 m 2m 4 m E m 4 m 点 E在抛物线 y x2 3x 4上 4 m m 2 3m 4 解得 m 0 不合题意 舍去 或 m 2 D 2 2 综上所述 存在点 D 使得 DBE 和 DAC 相似 点 D的坐标为 3 1 或 2 2 13 2013 钦州 如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标 原点 抛物线 y x2 2x与 x轴相交于 O B 顶点为1 A 连接 OA 1 求点 A的坐标和 AOB 的度数 2 若将抛物线 y x2 2x向右平移 4个单位 再向下平移 2个单位 得到抛物线 m 1 其顶点为点 C 连接 OC和 AC 把 AOC 沿 OA翻折得到四边形 ACOC 试判断其形状 并 说明理由 3 在 2 的情况下 判断点 C 是否在抛物线 y x2 2x上 请说明理由 1 4 若点 P为 x轴上的一个动点 试探究在抛物线 m上是否存在点 Q 使以点 O P C Q 为顶点的四边形是平行四边形 且 OC为该四 边形的一条边 若存在 请直接写出点 Q的坐标 若不存在 请说明理由 13 解 1 由 y x2 2x得 y x 2 2 11 2 抛物线的顶点 A的坐标为 2 2 令 x2 2x 0 解得 x1 0 x 2 4 点 B的坐标为 4 0 如图 1 过点 A作 AD x 轴 垂足为 D ADO 90 点 A的坐标为 2 2 点 D的坐标为 2 0 OD AD 2 AOB 45 2 四边形 ACOC 为菱形 由题意可知抛物线 m的二次项系数为 且过顶点 C的坐标是 2 4 12 抛物线的解析式为 y x 2 2 4 即 y x2 2x 2 过点 C作 CE x 轴 垂足为 E 过点 A作 AF CE 垂足为 F 与 y轴交与点 H OE 2 CE 4 AF 4 CF CE EF 2 OC 2245OE 同理 AC 2 OC AC 5 由反折不变性的性质可知 OC AC OC AC 故四边形 ACOC 为菱形 3 如图 1 点 C 不在抛物线 y x2 2x上 1 理由如下 过点 C 作 C G x 轴 垂足为 G OC 和 OC 关于 OA对称 AOB AOH 45 COH C OG CE OH OCE C OG 又 CEO C GO 90 OC OC CEO C GO OG 4 C G 2 点 C 的坐标为 4 2 把 x 4代入抛物线 y x2 2x得 y 0 1 点 C 不在抛物线 y x2 2x上 4 存在符合条件的点 Q 点 P为 x轴上的一个动点 点 Q在抛物线 m上 设 Q a a 2 2 4 1 OC 为该四边形的一条边 OP 为对角线 解得 x1 6 x 2 4 2 40 P 6 4 或 2 4 舍去 点 Q的坐标为 6 4