高中物理竞赛教程(超详细)第十五讲温度和气体分子运动论.doc

第一讲 温度和气体分子运动论 1。1 温度111、平衡态、状态参量温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P、V、T就是气体的状态参量。气体的体积V是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m。1m=103L=10cm气体的压强P是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p。1atm=76cmHg=1.01310p1mmHg=133.3p112、 温标温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是：1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0，汽点为100，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K。这样0与冰点，100与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。113、理想气体温标定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。T(P)=P是比例系数，对水的三相点有T=P=273.16KP是273.16K时定容测温泡内气体的压强。于是T(P)=273.16K (1)同样，对于定压气体温度计有T(V)=273.16K (2)是273.16K时定压测温泡内气体的体积。用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K，定义式为T=T(V)=T(P)=273.16K=273.16K (3)114、热力学温标理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K1000)，T1K，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是：t=T-273.15 (4)这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为510K，但是绝对零度是不可能达到的。例1、定义温标t与测温参量X之间的关系式为t=ln(kX),k为常数试求：(1)设X为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点，试确定t与热力学温标之间的关系。(2)在温标t中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t中，是否存在零度？解：(1)设在水三相点时，X之值是，则有27316=In(kX)将K值代入温标t定义式，有 (2)热力学温标可采用理想气体温标定义式，X是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有 (3)因测温物质是定容稀薄气体，故满足X0的要求，因而(2)式可写成 (4)这是温标与温标T之间关系式。(2)在热力学温标中，冰点，汽点。在温标中其值分别为(3)在温标中是否存在零度？令=0，有低于1K任何气体都早已液化了，这种温标中=0的温度是没有物理意义的。1-2 气体实验定律121、玻意耳定律一定质量的气体，当温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常数，式中常数C由气体的种类、质量和温度决定。PV贮气筒b图 1-2-1抽气与打气问题的讨论。简单抽气机的构造由图1-2-1示意，它由一个活塞和两个阀门组成。当活塞向上提升时，a阀门打开，贮气筒与抽气机相通，气体膨胀减压，此时b阀门被关闭。当活塞向下压缩时，b阀门打开，a阀门关闭，抽气机内的气体被压出抽气机，完成一次抽气。贮气筒被抽气的过程，贮气筒内气体质量不断在减小，气体压强也不断减小。设第一次抽气后贮气筒内气压，第n次抽气后贮气筒内气压，则有：整理得 PV贮气筒b图1-2-2简单压气机与抽气机的结构相似，但作用相反。图1-2-2示意，当活塞上提时，a阀门打开，b阀门关闭，外界空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时阀门a是关闭的，这就完成了一次压气过程。每次压气机压入贮气筒的气体是，故122、盖吕萨克定律一定质量的气体，当压强保持不变时，温度每升高1，其体积的增加量等于0时体积的。若用表示0时气体的体积，V表示t的体积，则。若采用热力学温标，则273+t为摄氏温度t。所对应的热力学温度T，273为0所对应的热力学温度。于是，盖吕萨克定律可写成。若温度为T时，体积为；温度为时，体积为，则有或。故盖吕萨克定律也可表达为：一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温标成正比。123、查理定律一定质量的气体，当体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比式中常数C由气体的种类、质量和体积决定。汞柱移动问题的讨论：一根两端封闭、粗细均匀的石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两部分。下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体。该双原子分子气体的性质为：当时，其分子开始分解为单原子分子(仍为气体)。用表示时的双原子分子数，表示时分解了的双原子分子数，其分解规律为当T很小时，有如下关系：。已知初始温度为，此时下方的气柱长度为，上方气柱长度为，水银柱产生的压强为下方气压的倍。试讨论当温度由开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。假设水银柱不动。当温度为时，下方气体压强为，温度升至，气体压强。水银柱压强为，故当T=时，上方气体压强为，当温度升至，有个双原子气体分子分解为个单原子气体分子，故气体分子数由增至个。令此时压强为，管横截面积为S，则有：解得 ，因T很小，故项起主导作用，而项的影响较之第一项要小得多，故从分析如下：当时，0时，水银柱上升，当时，0水银柱下降。当=时，0水银柱下降。以上三个实验定律只能反映实验范围内的客观事实，它们都具有一定的近似性和局限性。对于一般的气体，只有当压强不太大，温度不太低时，用三个定律求出的结果与实验数据才符合得很好。如果压强很大或温度很低时，用这三个定律求出的结果与实验结果就会有很大的偏差。124、理想气体它是能够准确遵守气体实验定律的一个气体的理论模型。对查理得律，设P和分别表示和时气体压强，则有，对盖吕萨拉定律，设和分别表示和时气体的体积，则有，PoLo图1-2-3n0对理想气体，有 例1、一个质量m=200.0kg、长=2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(图1-2-3)桶内的横截面积(桶的容积为)，桶本身(桶壁与桶底)的体积，桶内封有高度的空气，池深，大气压强水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值，试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水(包括池水和桶内水)的机械能改变了多少(结果要保留三位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱和蒸气压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体的浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出。因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程。HL图1-2-4下面先看这一位置是否存在。如果存在的话，如图1-2-4所示，设在此位置时桶内空气的高度为，因浮力等于重力，应有 (1)代入已知数据可得 (2)设此时桶的下边缘距池底的高度H，由玻马定律可知 (3)由(2)、(3)式得到H=12.24m (4)因为H，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。现在要求将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水的机械能的增量E。E包括三部分：(1)桶势能的增量；(2)在H高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量；(3)在H高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量。则；。1-3 理想气体状态方程131、理想气体状态方程反映气体在平衡态下状态参量之间规律性联系的关系式称为气态方程。我们知道，理想气体状态方程可在气体实验定律的基础上得到，一定质量的理想气体的两平衡参量之间的关系式为 （5）在标准状态，1mol任何气体的体积m3mol-1。因此vmol气体在标准状态下的体积为，由(5)式可以得出：由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：式中R称为摩尔气体恒量，它表示1mol气体在标准状况的的值，其值为 推论：1、1mol的任何物质含有的粒子数，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为m、摩尔质量为M的气体，其分子数为N，则此气体的摩尔数为 (6)同时引用玻耳兹曼常数k的物理意义：1个分子在标况下的。将(6)式代入(5)式，可以得到 (7)或者 (8)2、气体密度：由(5)式可以得到 (9)例如空气的平均摩尔质量，在标准状态下空气密度为由(5)式可知，对于理想气体，可应用气态方程的另一形式，为 (10)3、气体的分合关系：无论是同种还是异种理想气体，将质量为m，状态为PVT的理想气体被分成若干部分()时，则有 (11)132、混合理想气体状态方程1、道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即 (12)其中每一部分的气态方程为 (13)混合理想体气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但M为平均摩尔质量。 (14)由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量M有 (15)由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体的分压强： (16)133、混合气体的状态方程如果有n种理想气体，分开时的状态分别为(、)，(、)，(、)，将它们混合起来后的状态为P、V、T，那么，有如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有例1、一根一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段20cm的水银柱。当温度为27C且开口端向上时，被封闭的气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中全部溢出。解：设气体温度为T时，管内的水银柱高度为x，x20cm，大气压强。 (1)得到 (2)其中P以cmHg为单位，长度以cm为单位。要求x有实数解的条件400+4(7696-)0可见，时，管内气体可以形成平衡状态。反之，T因而x时，管内气体压强总是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡态无法建立而导致非平衡状态，水银柱将全部溢出。例2、设在恒温0下，测得三甲胺的密度随压强变化的数据如下表所示，试根据这些数据要求三甲胺的摩尔质量。0.20.40.60.80.53361.07901.63632.2054解：为了准确测定气体的摩尔质量，必须把实际气体的压强外推到零(P0)时应用理想气体状态方程，即由(1-15)式有 (1)为了求出P0时()的极限值，可将上述数据作如下变换：0.20.40.60.82.66802.69752.72722.7568现以为纵坐标，P为横作标，作出-P图形(图1-3-1)，将图中曲线外推到P0得到2.752.702.652.600.80.60.40.20P(atm)图1-3-1将上述结果代入(1)式可得即三甲胺的分子量为59.14。1.4 气体分子运动论1. 4.1、 分子运动论的基本点1、宏观物体由大量分子组成。分子直径的数量级一般为，分子质量为。在标准状态下，气体分子的数密度为2、物体内的分子永不停息地作无规则运动。这是根据布朗运动和扩散现象得出的结论。实验表明扩散的快慢和布朗运动的激烈程度与温度的高低有明显的关系。由此常把大量子的无规则运动称为热运动，热运动是物质运动的一种基本形式，热现象是它的宏观表现。气体分子热运动的平均速率与温度的关系为 常温下， 。3、分子之间存在的相互作用力。分子之间同时存在引力和斥力，它们都随距离的增大而减小。其合力具体表现为相吸引还是相排斥，取决于分子间的距离。当时，合力为零，分子间的距离的位置称为平衡位置；当r时，分子力表现引力；当r时，分子力表现为斥力；当r时，分子力可忽略不计。分子力是保守力，存在着由分子和分子间相对位置所决定的势能称为分子力势能。分子力和热运动是决定物体宏观性质的基本因素。分子力作用倾向于使分子聚集一起，在空间形成某种有序排列；热运动却力图造成混乱存在向外扩散的趋势。142、理想气体的微观模型先来作个估算：在标准状态下，1mol气体体积，分子数，若分子直径，则分子间的平均间距，相邻分子间的平均间距与分子直径相比。由此可知，气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。143、理想气体的压强宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。在通常情况下，气体每秒碰撞的器壁的分子数可达。在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。其表达式为 式中n是分子数密度，是分子的平均平动动能，n和增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。144、温度的微观意义将式代入式后，可以得到气体分子的平均平动动能为 这被称为气体温度公式，温度升高，分子热运动的平均平动动能增大，分子热运动加剧。因此，气体的温度是气体分子平均平动能的标志，是分子热运动剧烈程度的量度。图1-4-1例1、质量为的圆筒水平地放置在真空中。质量、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分(图1-4-1)，圆筒的封闭部分充有n摩尔的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M，温度为，突然放开活塞，气体逸出。试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。(，氦的摩尔质量为，)解：过程的第一阶段是绝热膨胀，膨胀到两倍体积后(图1-4-2)温度将是T。根据绝热方程，有因此： 圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失，即根据动量守恒定律，解上述方程，得过程第一阶段结束时的圆筒速度：。m1m2图1-4-2由此得出结论，在过程第一阶段的最后瞬间，圆筒以速度向右运动，此时活塞正好从圆筒冲出。我们把坐标系设置在圆筒上。所给的是一个在真空中开口的圆筒，筒内贮有质量为、温度为T的气体。显然，气体将向左上方流动，并推动圆筒向右以速度运动。气体分子的动能由下式给出：式中是分子的平均速度注：指均方根速率，它由下述关系给定：平衡状态下各有1/6的分子在坐标轴方向来回运动。在计算气体逸出时，假定有1/6的分子向圆筒的底部运动。这自然只是一级近似。因此，的质量以速度向圆筒底部运动，并与筒底弹性碰撞，之后圆筒以速度、气体以速度运动。对于弹性碰撞，动量守恒定律和机械守恒定律成立。由动量守恒有由机械能守恒有 解以上方程组，得到气体逸出后的圆筒速度为气体分子的1/6以速度反弹回来，的绝对值要小于。气体必然有较低的温度，其一部分内能使圆筒的动能增加。速度相加后得圆筒速度为。代入所给的数据：;.得圆筒的最后速度为1.5 理想气体的内能151、物体的内能(1)自由度：即确定一个物体的位置所需要的独立坐标系数，如自由运动的质点，需要用三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。分子可以有不同的组成。如一个分子仅由一个原子组成，称为单原子(例：He等)，显然它在空间运动时具有三个平动自由度。如一个分子由两个原子组成，称为双原子(例：等)，双原子分子内的两个原子由一个键所连接，确定两个原子共同质心的位置，需三个自由度，确定连键的位置，需两个自由度，即双原子分子共有五个自由度。而对三原子分子(例：等)，除了具有三个平动自由度、两个转动自由度外，还有一个振动自由度，即共计有六个自由度。(2)物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。由于分子热运动的平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因此物体的内能是温度和体积的函数。理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。因此理想气体的内能是气体所有分子热运动动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。152、理想气体的内能通常，分子的无规则运动表现为分子的平动和转动等形式。对于单原子分子(如He等)的理想气体来说，分子只有平动动能，其内能应是分子数与分子平均平动动能的乘积，即。对于双原子分子(如、)的理想气体来说，在常温下，分子运动除平动外还可以有转动，分子的平均动能为，其内能，因此，理想气体的内能可以表达为 注意：，；对于原单原子分子气体，对于双原子分子气体。一定质量的理想气体的内能改变量： 此式适用于一定质量理想气体的各种过程。不论过程如何，一定质量理想气体的内能变不变就看它的温度变不变。式中，表示1mol的理想气体温度升高或降低1K所增加或减少的内能。是可以变成 153、物体的势能由于分子间存在相互作用而具有的能量叫做分子势能。当分子间距离(为分子力为零的位置)时，分子力是引力 图1-5-1，随着分子间距离r的增大，分子势能减小，故处，分子势能最小。而在时，由于分子间的作用力可略，故分子势能变为零，如以无穷远处为势能的零点，定性的分子势能曲线可用图1-5-1表示154、重力场中粒子按高度的分布在重力场中，气体分子受到两种相互对立的作用。无规则的热运动将使气体分子均匀分布于它们所能到达的空间，而重力则要使气体分子聚拢在地面上，当这两种作用达到平衡时，气体分子在空间非均匀分布，分子数随高度减小。根据玻尔兹曼分布律，可以确定气体分子在重力场中按高度分布的规律：是h=0处单位体积内的分子数，n是高度为h处单位体积内的分子数，n随高度h的增加按指数减小，分子的质量m越大，重力的作用越显著，n的减小就越迅速，气体的温度越高，分子的无规则运动越剧烈，n的减小越缓慢。式中表示h=0处的压强，M为气体的摩尔质量，上式称为气压公式因此测定大气压强随高度而减小的量值，即可确定上升的高度。该式不但适用于地面的大气，还适用于浮悬在液体中的胶体微粒按高度的分布。图1-5-2例1、横截面积为S和S(1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆想连的活塞，如图1-5-2所示。这时舱内气体压强为，舱内气体压强为，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q，温度上升，使各舱温度相同。试求舱内压强的变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。解：设、分别为第i个舱内气体的体积、压强的摩尔数。容器内气体总摩尔数，因为各舱温度皆为T，利用克拉珀龙方程得 取得中打斜线的活塞与硬杆为研究对象，由平衡条件得 而由题意 及 、得 系统吸收热量后，假设活塞不移动，显然、舱气体都作等容升温变化，因题中明确三舱升高的温度相同，因而由可知三舱气体的压强都增加相同的倍数，即方程仍然满足，这说明升温过程中活塞确实不移动，即方程也仍然成立。因 结合式易得舱内气体压强的变化。说明利用式和式可得 显然只有当1时才有意义。因为压强必须为正值。