《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用

高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的 1 理解并会用罗尔定理 拉格朗日中值定理 了解柯西中值定理和泰勒中值定理 2 理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法 掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用 3 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性 会求函数图形的拐点以及水平 铅直和斜渐 近线 会描绘函数的图形 4 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 5 知道曲率和曲率半径的概念 会计算曲率和曲率半径 6 知道方程近似解的二分法及切线性 教学重点 1 罗尔定理 拉格朗日中值定理 2 函数的极值 判断函数的单调性和求函数极值的方法 3 函数图形的凹凸性 4 洛必达法则 教学难点 1 罗尔定理 拉格朗日中值定理的应用 2 极值的判断方法 3 图形的凹凸性及函数的图形描绘 4 洛必达法则的灵活运用 3 1 中值定理 一 罗尔定理 费马引理 设函数 f x 在点 x0 的某邻域 U x0 内有定义 并且在 x0 处可导 如果对任意 x U x0 有 f x f x0 或 f x f x0 那么 f x0 0 罗尔定理 如果函数 y f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且有 f a f b 那 么在 a b 内至少在一点 使得 f 0 简要证明 1 如果 f x 是常函数 则 f x 0 定理的结论显然成立 2 如果 f x 不是常函数 则 f x 在 a b 内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大 值点 a b 于是 0 lim xffx li ff 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 所以 f x 0 罗尔定理的几何意义 二 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 那么在 a b 内 至少有一点 a b 使得等式 f b f a f b a 成立 拉格朗日中值定理的几何意义 f abf 定理的证明 引进辅函数 令 x f x f a x a bf 容易验证函数 f x 适合罗尔定理的条件 a b 0 x 在闭区间 a b 上连续在开区间 a b 内 可导 且 x f x af 根据罗尔定理 可知在开区间 a b 内至少有一点 使 0 即 f 0 bf 由此得 f a 即 f b f a f b a 定理证毕 f b f a f b a 叫做拉格朗日中值公式 这个公式对于 b0 或 x0 或 x x x x 0 应用拉格朗日中值公式 得 f x x f x f x x x 0 1 如果记 f x 为 y 则上式又可写为 y f x x x 0 1 试与微分 d y f x x 比较 d y f x x 是函数增量 y 的近似表达式 而 f x x x 是函数增量 y 的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用 我们证明如下定理 定理 如果函数 f x 在区间 I 上的导数恒为零 那么 f x 在区间 I 上是一个常数 证 在区间 I 上任取两点 x1 x2 x1 x2 应用拉格朗日中值定理 就得 f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 由假定 f 0 所以 f x2 f x1 0 即 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 f x2 f x1 因为 x1 x2 是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 f x 在 I 上的函数值总是相等的 这就是说 f x 在区间 I 上是一个常数 例 2 证明当 x 0 时 x 1ln 证 设 f x ln 1 x 显然 f x 在区间 0 x 上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f x f 0 f x 0 0 x 由于 f 0 0 因此上式即为1 ln x 又由 0 x 有 1l 三 柯西中值定理 设曲线弧 C 由参数方程 a x b fYFX 表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必 有一点 x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦 AB 曲线 C 上点 x 处的切线的斜 率为 FfdXY 弦 AB 的斜率为 abf 于是 Fff 柯西中值定理 如果函数 f x 及 F x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且 F x 在 a b 内的每一点处均不为零 那么在 a b 内至少有一点 使等式 faf 成立 显然 如果取 F x x 那么 F b F a b a F x 1 因而柯西中值公式就可以写成 f b f a f b a a b 这样就变成了拉格朗日中值公式了 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 3 3 泰勒公式 对于一些较复杂的函数 为了便于研究 往往希望用一些简单的函数来近似表达 由于用多 项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加 减 乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我 们经常用多项式来近似表达函数 在微分的应用中已经知道 当 x 很小时 有如下的近似等式 e x 1 x ln 1 x x 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子 但是这种近似表达式还存在着不足之处 首先是 精确度不高 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小 其次是用它来作近似计算时 不能具体 估算出误差大小 因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似 表达函数 同时给出误差公式 设函数 f x 在含有 x0 的开区间内具有直到 n 1 阶导数 现在我们希望做的是 找出一个关于 x x0 的 n 次多项式 p n x a 0 a 1 x x0 a 2 x x0 2 a n x x0 n 来近似表达 f x 要求 p n x 与 f x 之差是比 x x0 n 高阶的无穷小 并给出误差 f x p n x 的具 体表达式 我们自然希望 p n x 与 f x 在 x0 的各阶导数 直到 n 1 阶导数 相等 这样就有 p n x a 0 a 1 x x0 a 2 x x0 2 a n x x0 n p n x a 1 2 a 2 x x0 na n x x0 n 1 p n x 2 a 2 3 2a 3 x x0 n n 1 a n x x0 n 2 p n x 3 a 3 4 3 2a 4 x x0 n n 1 n 2 a n x x0 n 3 p n n x n a n 于是 pn x0 a 0 p n x0 a 1 p n x0 2 a 2 p n x 3 a 3 p n n x n a n 按要求有 f x0 p n x0 a0 f x0 p n x0 a 1 f x0 p n x0 2 a 2 f x0 p n x0 3 a 3 f n x0 p n n x0 n a n 从而有 a 0 f x0 a 1 f x0 210 xf 310 xfa 10 xfna k 0 1 2 n k 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 于是就有 pn x f x0 f x0 x x0 x x0 2 x x0 n 21f 1 fn 泰勒中值定理 如果函数 f x 在含有 x0 的某个开区间 a b 内具有直到 n 1 的阶导数 则当 x 在 a b 内时 f x 可以表示为 x x 0 的一个 n 次多项式与一个余项 R n x 之和 1 21 0200 xfff n 其中 介于 x0 与 x 之间 1 1 nnxfxR 这里 多项式 nnn xfxfxfxp 1 21 0 2000 称为函数 f x 按 x x 0 的幂展开的 n 次近似多项式 公式 200 xfxf 0 xRxfnn 称为 f x 按 x x 0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n x 的表达式 其中 介于 x 与 x0 之间 101 nfR 称为拉格朗日型余项 当 n 0 时 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f x f x0 f x x0 在 x0 与 x 之间 因此 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的 n 当 x 在区间 a b 内变动时 f n 1 x 总不超过一个常数 M 则有估计 式 1010 1 nnn xMfxR 及 lim0 x 可见 妆 x x0 时 误差 R n x 是比 x x0 n 高阶的无穷小 即 R n x o x x0 n 在不需要余项的精确表达式时 n 阶泰勒公式也可写成 2000 21 xfff 100 nnnxoxf 当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 0 2 0 0 xRnfxffxf n 或 offf 其中 1 nnxxR 由此得近似公式 nxfxffxf 0 2 0 0 误差估计式变为 1 nnMR 例 1 写出函数 f x e x 的 n 阶麦克劳林公式 解 因为 f x f x f x f n x e x 所以 f 0 f 0 f 0 f n 0 1 于是 0 12 1 nxxe 并有 n 这时所产性的误差为 R n x x n 1 x n 1 e e 当 x 1 时 可得 e 的近似式 2 其误差为 R n 0 则 f x 在 a b 上的图形是凹的 2 若在 a b 内 f x 0 则 f x 在 a b 上的图形是凸的 简要证明 只证 1 设 x1 x2 a b 且 x1 x2 记 210 x 由拉格朗日中值公式 得 210101ffxf 01 222 xfxff 2x 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 122021 fffxf 1 f 即 所以 f x 在 a b 上的图形是凹的 2 2 11xfxf 拐点 连续曲线 y f x 上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线 y f x 的凹凸区间和拐点的步骤 1 确定函数 y f x 的定义域 2 求出在二阶导数 f x 3 求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 4 判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 注 根据具体情况 1 3 步有时省略 例 1 判断曲线 y ln x 的凹凸性 解 xy 21 因为在函数 y ln x 的定义域 0 内 y 0 所以曲线 y ln x 是凸的 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 例 2 判断曲线 y x3 的凹凸性 解 y 3x 2 y 6x 由 y 0 得 x 0 因为当 x 0 时 y 0 时 y 0 所以曲线在 0 内为凹的 例 3 求曲线 y 2x 3 3x 2 2x 14 的拐点 解 y 6x 2 6x 12 1 1 令 y 0 得 2x 因为当 时 y 0 当 时 y 0 所以点 是曲线的拐点 1 21 x21 0 例 4 求曲线 y 3x 4 4x 3 1 的拐点及凹 凸的区间 解 1 函数 y 3x 4 4x 3 1 的定义域为 2 21 3 62 x 3 解方程 y 0 得 1x 4 列表判断 在区间 0 和 2 3 上曲线是凹的 在区间 0 2 3 上曲线是凸的 点 0 1 和 2 3 11 27 是曲线的拐点 例 5 问曲线 y x 4 是否有拐点 解 y 4x 3 y 12x 2 当 x 0 时 y 0 在区间 内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 6 求曲线 的拐点 3 解 1 函数的定义域为 2 321xy 32 9xy 3 无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为 x 0 4 判断 当 x0 当 x 0 时 y 0 因此 点 0 0 曲线的拐点 0 0 0 2 3 2 3 2 3 f x 0 0 f x 1 11 27 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 3 5 函数的极值与最大值最小值 一 函数的极值及其求法 极值的定义 定义 设函数 f x 在区间 a b 内有定义 x0 a b 如果在 x0 的某一去心邻域内有 f x f x0 则称 f x0 是函数 f x 的一个极大值 如果在 x0 的某一去心邻域内有 f x f x0 则 称 f x0 是函数 f x 的一个极小值 设函数 f x 在点 x0 的某邻域 U x0 内有定义 如果在去心邻域 U x0 内有 f x f x0 或 f x f x0 则称 f x0 是函数 f x 的一个极大值 或极小值 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果 f x0 是函数 f x 的一个极大值 那只是就 x0 附近的一个局部范围来说 f x0 是 f x 的一个最大值 如果就 f x 的整个定义域来说 f x0 不一定是最大值 关于极小值也类似 极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平 切线的地方 函数不一定取得极值 定理 1 必要条件 设函数 f x 在点 x0 处可导 且在 x0 处取得极值 那么这函数在 x0 处 的导数为零 即 f x0 0 证 为确定起见 假定 f x0 是极大值 极小值的情形可类似地证明 根据极大值的定义 在 x0 的某个去心邻域内 对于任何点 x f x f x0 均成立 于是 当 x x0 时 0 f 因此 f x0 lim00 xf 当 x x0 时 0 xf 因此 0 li 00 xfxf 从而得到 f x0 0 简要证明 假定 f x0 是极大值 根据极大值的定义 在 x0 的某个去心邻域内有 f x f x0 于是 lim 000 fffx 同时 li0 ffxf 从而得到 f x0 0 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 驻点 使导数为零的点 即方程 f x 0 的实根 叫函数 f x 的驻点 定理 就是说 可 导函数 f x 的极值点必定是函数的驻点 但的过来 函数 f x 的驻点却不一定是极值点 考察函数 f x x3 在 x 0 处的情况 定理 第一种充分条件 设函数 f x 在点 x0 的一个邻域内连续 在 x0 的左右邻域内可导 1 如果在 x0 的某一左邻域内 f x 0 在 x0 的某一右邻域内 f x 0 那么函数 f x 在 x0 处取得极大值 2 如果在 x0 的某一左邻域内 f x 0 在 x0 的某一右邻域内 f x 0 那么函数 f x 在 x0 处取得极小值 3 如果在 x0 的某一邻域内 f x 不改变符号 那么函数 f x 在 x0 处没有极值 定理 第一种充分条件 设函数 f x 在含 x0 的区间 a b 内连续 在 a x 0 及 x0 b 内可导 1 如果在 a x 0 内 f x 0 在 x0 b 内 f x 0 那么函数 f x 在 x0 处取得极大值 2 如果在 a x 0 内 f x 0 在 x0 b 内 f x 0 那么函数 f x 在 x0 处取得极小值 3 如果在 a x 0 及 x0 b 内 f x 的符号相同 那么函数 f x 在 x0 处没有极值 定理 2 第一充分条件 设函数 f x 在 x0 连续 且在 x0 的某去心邻域 x 0 x0 x0 x0 内可 导 1 如果在 x 0 x0 内 f x 0 在 x 0 x0 内 f x 0 那么函数 f x 在 x0 处取得极大值 2 如果在 x 0 x0 内 f x 0 在 x 0 x0 内 f x 0 那么函数 f x 在 x0 处取得极小值 3 如果在 x 0 x0 及 x0 x0 内 f x 的符号相同 那么函数 f x 在 x0 处没有极值 定理 2 也可简单地这样说 当 x 在 x0 的邻近渐增地经过 x0 时 如果 f x 的符号由负变正 那么 f x 在 x0 处取得极大值 如果 f x 的符号由正变负 那么 f x 在 x0 处取得极小值 如果 f x 的符号并不改变 那么 f x 在 x0 处没有极值 注 定理的叙述与教材有所不同 确定极值点和极值的步骤 1 求出导数 f x 2 求出 f x 的全部驻点和不可导点 3 列表判断 考察 f x 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该点是 否是极值点 如果是极值点 还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值 4 确定出函数的所有极值点和极值 例 1 求函数 的极值 32 1 4 xxf 解 1 f x 在 内连续 除 x 1 外处处可导 且 35 2 令 f x 0 得驻点 x 1 x 1 为 f x 的不可导点 3 列表判断 x 1 1 1 1 1 1 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 f x 不可导 0 f x 0 34 4 极大值为 f 1 0 极小值为 34 1 f 定理 3 第二种充分条件 设函数 f x 在点 x0 处具有二阶导数且 f x0 0 f x0 0 那么 1 当 f x0 0 时 函数 f x 在 x0 处取得极大值 1 当 f x0 0 时 函数 f x 在 x0 处取得极小值 证明 在情形 1 由于 f x0 0 按二阶导数的定义有 0 lim0 xfx 根据函数极限的局部保号性 当 x 在 x0 的足够小的去心邻域内时 f 但 f x0 0 所以上式即 0 xf 从而知道 对于这去心邻域内的 x 来说 f x 与 x x0 符号相反 因此 当 x x0 0 即 x x0 时 f x 0 当 x x0 0 即 x x0 时 f x 0 根据定理 2 f x 在点 x0 处取得极大值 类似地可以证明情形 2 简要证明 在情形 1 由于 f x0 0 f x0 0 按二阶导数的定义有 lim li 0000 xfxf 根据函数极限的局部保号性 在 x0 的某一去心邻域内有 0 xf 从而在该邻域内 当 x x0 时 f x 0 当 x x0 时 f x 0 根据定理 2 f x 在点 x0 处取得极大值 定理 3 表明 如果函数 f x 在驻点 x0 处的二导数 f x0 0 那么该点 x0 一定是极值点 并且可以按二阶导数 f x0 的符来判定 f x0 是极大值还是极小值 但如果 f x0 0 定理 3 就不能应用 讨论 函数 f x x4 g x x3 在点 x 0 是否有极值 提示 f x 4x 3 f 0 0 f x 12x2 f 0 0 但当 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 所 以 f 0 为极小值 g x 3x2 g 0 0 g x 6x g 0 0 但 g 0 不是极值 例 2 求函数 f x x2 1 3 1 的极值 解 1 f x 6x x2 1 2 2 令 f x 0 求得驻点 x1 1 x2 0 x3 1 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 3 f x 6 x2 1 5x2 1 4 因 f 0 6 0 所以 f x 在 x 0 处取得极小值 极小值为 f 0 0 5 因 f 1 f 1 0 用定理 3 无法判别 因为在 1 的左右邻域内 f x 0 所以 f x 在 1 处没有极值 同理 f x 在 1 处也没有极值 二 最大值最小值问题 在工农业生产 工程技术及科学实验中 常常会遇到这样一类问题 在一定条件下 怎 样使 产品最多 用料最省 成本最低 效率最高 等问题 这类问题在数学上有时可 归结为求某一函数 通常称为目标函数 的最大值或最小值问题 极值与最值的关系 设函数 f x 在闭区间 a b 上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和 最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在区间的端点取得 则必在开区间 a b 内 取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极大值 因此 函数在闭区间 a b 上的最大 值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间 a b 上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 最大值和最小值的求法 设 f x 在 a b 内的驻点和不可导点 它们是可能的极值点 为 x1 x2 xn 则比较 f a f x 1 f x n f b 的大小 其中最大的便是函数 f x 在 a b 上的最大值 最小的便是函数 f x 在 a b 上的最 小值 例 3 求函数 f x x2 3x 2 在 3 4 上的最大值与最小值 解 1 4 2 f 32 xxf 在 3 4 内 f x 的驻点为 不可导点为 x 1 和 x 2 由于 f 3 20 f 1 0 f 2 0 f 4 6 比较可得 f x 在 x 3 处取得它在 3 4 上的最41 2 f 大值 20 在 x 1 和 x 2 处取它在 3 4 上的最小值 0 例 4 工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费 与公路上每公里货运的运费之比 3 5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D 点应选在何处 DC20kmA B10km 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 解 设 AD x km 则 DB 100 x 20CD240 设从 B 点到 C 点需要的总运费为 y 那么 y 5k CD 3k DB k 是某个正数 即 3k 100 x 0 x 100 240 x 现在 问题就归结为 x 在 0 100 内取何值时目标函数 y 的值最小 先求 y 对 x 的导数 240 xCD 3405 2 k 解方程 y 0 得 x 15 km 由于 y x 0 400k y x 15 380k 其中以 y x 15 380k 为最小 因此当21051 kyx AD x 15km 时 总运费为最省 例 2 工厂 C 与铁路线的垂直距离 AC 为 20km A 点到火车站 B 的距离为 100km 欲修一 条从工厂到铁路的公路 CD 已知铁路与公路每公里运费之比为 3 5 为了使火车站 B 与工厂 C 间的运费最省 问 D 点应选在何处 解 设 AD x km B 与 C 间的运费为 y 则 y 5k CD 3k DB 0 x 100 10 3452kx 其中 k 是某一正数 由 0 得 x 15 4 2 x 由于 y x 0 400k y x 15 380k 其中以 y x 15 380k 为最小 因此当21051 kyx AD x 15km 时 总运费为最省 注意 f x 在一个区间 有限或无限 开或闭 内可导且只有一个驻点 x0 并且这个驻点 x0 是函数 f x 的极值点 那么 当 f x0 是极大值时 f x0 就是 f x 在该区间上的最大值 当 f x0 是极小值时 f x0 就是 f x 在该区间上的最小值 f x 0 O a x 0 b x y f x y f x 0 O a x 0 b x y f x y 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 应当指出 实际问题中 往往根据问题的性质就可以断定函数 f x 确有最大值或最小值 而且一定在定义区间内部取得 这时如果 f x 在定义区间内部只有一个驻点 x0 那么不必 讨论 f x0 是否是极值 就可以断定 f x0 是最大值或最小值 例 6 把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高 h 和宽 b 应如何选择 才能使梁的抗弯截面模量 W 最大 261bh 解 b 与 h 有下面的关系 h 2 d 2 b 2 因而 0 b d 61 这样 W 就是自变量 b 的函数 b 的变化范围是 0 d 现在 问题化为 b 等于多少时目标函数 W 取最大值 为此 求 W 对 b 的导数 3 612d 解方程 W 0 得驻点 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在 而且在 0 d 内部取得 现在 函数 在 0 d 内只有一个驻点 所以当 时 W 的值最大 这时 612bd b31 2231h 即 d3 1 2 bh 解 把 W 表示成 b 的函数 0 b0 相反时 s0 于是 ds dx 这就是弧微分 21y 公式 因为当 x 0 时 s x 又 s 与同号 所以 MN 2020 1lim limli xyyxds x 2 因此 ys21 这就是弧微分公式 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 二 曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述 设曲线 C 是光滑的 在曲线 C 上选定一点 M 0 作为度量弧 s 的基点 设曲线上点 M 对 应于弧 s 在点 M 处切线的倾角为 曲线上另外一点 N 对应于弧 s s 在点 N 处切线的 倾角为 我们用比值 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 的平均弯曲程度 s 记 称 为弧段 MN 的平均曲率 sK 记 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 s 0lim 在 存在的条件下 sdds 曲率的计算公式 设曲线的直角坐标方程是 y f x 且 f x 具有二阶导数 这时 f x 连续 从而曲线是光滑 的 因为 tan y 所以 sec 2 d y dx dxyx221tan1sec 又知 ds dx 从而得曲率的计算公式21y 23 dsK 例 1 计算直线 y a x b 上任一点的曲率 例 2 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 讨论 1 计算直线 y a x b 上任一点的曲率 提示 设直线方程为 y ax b 则 y a y 0 于是 K 0 2 若曲线的参数方程为 x t y t 给 那么曲率如何计算 提示 2 32 tK 3 计算半径为 R 的圆上任一点的曲率 提示 圆的参数方程为 x R cos t y R sin t 例 1 计算等双曲线 x y 1 在点 1 1 处的曲率 解 由 得y1 2x 3 高等数学教案 3 中值定理与导数的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 因此 y x 1 1 y x 1 2 曲线 xy 1 在点 1 1 处的曲率为 23 K 23 1 例 4 抛物线 y a x 2 b x c 上哪一点处的曲率最大 解 由 y a x 2 b x c 得 y 2a x b y 2a 代入曲率公式 得 23 1 K 显然 当 2ax b 0 时曲率最大 曲率最大时 x 对应的点为抛物线的顶点 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 a 最大曲率为 K 2a 三 曲率圆与曲率半径 设曲线在点 M x y 处的曲率为 K K 0 在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取一 点 D 使 DM K 1 以 D 为圆心 为半径作圆 这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 曲率圆的圆心 D 叫做曲线在点 M 处的曲率中心 曲率圆的半径 叫做曲线在点 M 处的曲率 半径 设曲线在点 M 处的曲率为 K K 0 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于 M 且半径为 K 1 的圆 则这个圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径 叫做曲 率半径 曲线在点 M 处的曲率 K K 0 与曲线在点 M 处的曲率半径 有如下关系 K 1 例 3 设工件表面的截线为抛物线 y 0 4x 2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大 的砂轮才比较合适 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y 0 8x y 0 8 y x 0 0 y x 0 0 8 把它们代入曲率公式 得 0 8 23 1 K 抛物线顶点处的曲率半径为 帠 K 1 1 25 所以选用砂轮的半径不得超过 1 25 单位长 即直径不得超过 2 50 单位长