2017上海中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）（第24题图）如图，已知抛物线经过、两点.（1）求抛物线的解析式；（2 求的值；（3）过点B作BC轴，垂足为点C，点M是抛物线上一点，直线MN平行于轴交直线AB于点N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.24.解：（1）将A（0，-1）、B（4，-3）分别代入得， （1分）解，得 (1分)所以抛物线的解析式为 （1分）（2）过点B作BC轴，垂足为C，过点A作AHOB，垂足为点H （1分）在中，OA=1， （1分）， （1分）在中， （1分）(3)直线AB的解析式为， （1分）设点M的坐标为，点N坐标为那么MN=； （1分）M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=3解方程=3得； （1分）解方程得或； （1分）所以符合题意的点N有4个 （1分）25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）在RtABC中，ACB = 90，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由；（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；ACDB(E)l（第25题图1）（3）记直线CE与直线AB相交于点F，若，CD = 4，求BD的长（第25题图2）ACDElB25.解：（1）过点C作CFAB，垂足为点F. （1分）AED=90，ABC=CBD，ABC=CBD =45，ACB=90，ABC=45，AE=4，CF=2，BC=，（1分）又CBD=ABC=45，CDl，CD=2， （1分）CD=CF=2，圆C与直线AB相切.（1分）（2）证明：延长AC交直线l于点G （1分）ACB = 90，ABC =GBC，BAC =BGCAB = GB（1分）AC = GC（1分）AEl，CDl，AECD （1分）AE = 2CD （1分）（3）（I）如图1，当点E在DB延长线上时：（第25题图1）ACDElGBHF过点C作CGl交AB于点H，交AE于点G，则CBD =HCBABC =CBD，ABC =HCBCH = BH（1分）ACB = 90，ABC +BAC =HCB +HCA = 90BAC =HCACH = AH = BHB（第25题图2）ACDlGEHFCGl，设CH = 5x，则BE = 6x，AB = 10x在RtABE中，由（2）知AE = 2CD = 8，得CH = 5，BE = 6，AB = 10CGl，HG=3（1分）CG = CH + HG = 8易证四边形CDEG是矩形，DE = CG = 8（1分）（II）如图2，当点E在DB上时：同理可得CH = 5，BE = 6，HG = 3（1分）BD=DE + BE = 8（1分）综上所述，BD的长为2或824已知点A（2，2）和点B（4，n）在抛物线y=ax2（a0）上（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2（a0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形ABBA为正方形，求此时抛物线的表达式【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移【分析】（1）把点A（2，2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题（3）先求出点A坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题【解答】解：（1）把点A（2，2）代入y=ax2，得到a=，抛物线为y=x2，x=4时，y=8，点B坐标（4，8），a=，点B坐标（4，8）（2）设直线AB为y=kx+b，则有，解得，直线AB为y=x4，过点B垂直AB的直线为y=x12，与y轴交于点P（0，12），过点A垂直AB的直线为y=x，与y轴交于点P（0，0），点P在y轴上，且ABP是以AB为直角边的三角形时点P坐标为（0，0），或（0，12）（3）如图四边形ABBA是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A作x轴的垂线得到点E、F直线AB解析式为y=x12，ABF，AAE都是等腰直角三角形，AB=AA=6，AE=AE=6，点A坐标为（8，8），点A到点A是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，抛物线y=x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，6），此时抛物线为y=（x6）2625已知，AB=5，tanABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，CAD=BAE（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EABM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离【考点】三角形综合题【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AHBD于H，先证明BFDE，EF=DF，再利用ABHDBF，得=，求出DF即可解决问题（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE=BDAH，计算即可（3）由题意ACAE，ECAC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AHBD于H在RTABH中，AHB=90，sinABH=，AH=3，BH=4，AB=AD，AHBD，BH=DH=4，在ABE 和ABD中，ABDABE，BE=BD，ABE=ABD，BFDE，EF=DF，ABH=DBF，AHB=BFD，ABHDBF，=，DF=，DE=2DF=（2）如图2中，作AHBD于HAC=AD，AB=AE，CAD=BAE，AEB=ABE=ACD=ADC，AEBD，AEB+EBD=180，EBD+ADC=180，EBAD，AEBD，四边形ADBE是平行四边形，BD=AE=AB=5，AH=3，S平行四边形ADBE=BDAH=15（3）由题意ACAE，ECAC，只有EA=EC如图3中，ACD=AEB（已证），A、C、B、E四点共圆，AE=EC=AB，=，=，AEC=ABC，AEBD，由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，AE=BD=AB=5，AH=3，BH=4，DH=BDBH=1，AC=AD，AHCD，CH=HD=1，BC=BDCD=324如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结AC，求BAC的正切值；（3）点P为直线AB上一点，若ACP为直角三角形，求点P的坐标【分析】（1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明ABC为直角三角形，ACB=90，于是利用正切的定义计算tanBAC的值；（3）分类讨论：当APC=90时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当ACP=90时，利用（2）中结论得tanPAC=，则PC=AC，设P（t，t+1），然后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+11）2=20，再解方程求出t即可得到时P点坐标【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1直线AB的解析式为y=x+1，当x=0时，y=x+1=1，B（0，1），把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线解析式为y=x22x+1；（2）如图，y=x22x+1=（x1）2，C（1，0），BC2=12+12=2，AB2=32+（41）2=18，AC2=（31）2+42=20，而2+18=20，BC2+AB2=AC2，ABC为直角三角形，ACB=90，tanBAC=；（3）当APC=90时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当ACP=90时，tanPAC=，PC=AC，设P（t，t+1），t2+（t+11）2=20，解得t1=，t2=（舍去），此时P点坐标为（， +1），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（， +1）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形25如图，ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与A、B重合），且EDF=DAB，DF延长线交射线AB于G（1）若DEAB时，求DE的长度；（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当BGF为等腰三角形时，求AE的长度【分析】（1）DEAB时，根据sinA=即可解决问题（2）如图2中，作DMAB于M，根据DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解决问题（3）分三种情形BF=BG，FB=FG，GB=GF，根据BFAD，得出比例式，列方程即可解决【解答】解：（1）如图1中，DEAB，sinA=，AD=10，DE=8（2）如图2中，作DMAB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=ABAM=86=2，DG2=DM2+MG2，DGE=DGA，GDE=A，DGEAGD，=，DG2=AGEG，DM2+MG2=AGEG，82+（2+y）2=（8+y）（8+yx），y=（0x8）（3）当BF=FG时，BFAD，=，AD=AG=10，y=2，即=2，解得x=2，AE=2当FB=FG时，BFAD，=，AD=DG=10，DMAG，AM=MB=6，AG=12，y=4，即=4，解得x=当GB=GF时，BFAD，GBF=BFG，A=GBF，ADG=BFG，A=ADG，A=EDG，EDG=ADG，此时点E与点A重合，不合题意综上所述AE=2或时，BFG是等腰三角形【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型