牛吃草教案

牛吃草教案 教学目的 让学生了解什么是 牛吃草 问题以及其特点 掌握 牛吃草 问题涉及的关键的量以及求解方法 熟练运用 牛吃草 的方法 解决 牛吃草 的一些变形问题 主要知识点 基本特点 原草量和新草生长速度是不变的 基本思路 假设每头牛吃草的速度为 1 份 根据两次不同的吃法 求出其中的总草量的差 再找出造成这种差异的原因 即可确定草的生长速度和总草量 关键问题 确定两个不变的量 1 原有总草量 2 草的生长速度 基本公式 生长量 较长时间 长时间牛头数 较短时间 短时间牛头数 长时间 短时间 总草量 较长时间 长时间牛头数 较长时间 生长量 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 例题引导 目的 引导学生自己归纳总结出来牛吃草的特点 引例 1 有一堆干草 10 头牛吃 15 天 问如果是 25 头牛 可以吃 几天 6 天 计算很简单 主要引导同学们知道把牛每天吃草量设为单位 1 在计算下两种情况下 总草量是否一样 完全一样为 150 引例 2 一片青草地 牧草每天都在匀速生长 18 头牛吃 16 天 但是 27 头牛吃 8 天 让学生算算原有草量是多少 老师给出算法 也是设一头牛一天吃单位 1 的草量 情况 1 18 16 288 情况 2 27 8 216 提问 为什么不一样 引导学生分析出来 草每天还要均匀生产 时间长 草就长的 多 影响了牛吃的总草量 并分析出来牛吃的总草量由什么组 成 可以与引例 1 想比较说明这点 即 牛吃的总草量 原有总草量 草的生长总量 草的总生长量 草的生长速度 天数 让学生求 原有总草量和草的生长速度 方法 设 1 头牛一天吃的草为 1 份 那么 18 头牛 16 天吃的就 是 18 16 288 份 是原有的草和 16 天新长出来的草 27 头牛 8 天吃的就是 27 8 216 份 是原有的草和 8 天新长出来的草 由于原有的草量不变 所以相差的 288 216 72 份草 是 16 8 8 天所长出来的 即每天长 72 8 9 份 草的生长速度 也就是说 每天要有 9 头牛专吃新长出来的草 总草量才不变 所以牧场上原有的草有 18 9 16 144 份 原有总草量 以上解答 可以画线段图 可以刚好帮助学生理解分析 追加一问 现在 如果是 21 头牛可以吃几天 学生自己解答 一定强调 生长出来的草可以供牛吃 不是全部的牛吃原因草 量 所有草吃光为止 讲解 先去掉 9 头牛吃新长出来的草 剩下的吃原有的草 可 以吃 144 21 9 12 天 总结 这类总量不断变化的问题就是英国大数学家牛顿提出的 牛吃 草 问题 也有人称之为 牛顿问题 所以不是马吃草 特点 原草量 新草生长速度是不变的 解题思路说明 1 解牛吃草问题 一般是先求出每天新长出来的草量 它是 通过对比两种不同吃法而得出的 2 求出每天新长出来的草量之后 可以让一些牛专吃新长出 来的草 剩下的牛吃原有的草 可根据后一种吃法求出原有的 草量 3 在所求的问题中 让一些牛专吃新长出来的草 剩下的牛 吃原有的草 易求出吃的天数 可以给出公式 生长量 较长时间 长时间牛头数 较短时间 短时间牛头数 长时间 短时间 总草量 较长时间 长时间牛头数 较长时间 生长量 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 可以在出一问说 明或者条件反过来说明 巩固 牧场上一片青草 每天牧草都匀速生长 这片牧草可供 10 头牛吃 20 天 或者可供 15 头牛吃 10 天 问 可供 25 头牛吃几天 例 2 一艘木船发生了漏水事故 水匀速的涌入 3 人淘 40 分钟 可以把水淘完 5 人淘 20 分钟可以把水淘完 现在由 6 人把水淘 完 需要多长时间 分析与解答 分析 从表面上看 本题中没有牛吃草 但是因为总的水量不断 改变 我们把 水 看作 草 涌入的水就相当于新长出来的草 船内原来已漏进的水就相当于原有的草 人淘水就相当于牛吃草 所以本题的实质也是牛吃草的问题 解法与例 1 相似 设 1 人 1 分钟淘的水量为 1 份 那么 3 人 40 分钟淘的水是 3 40 120 份 5 人 20 分钟淘的水量是 5 20 100 份 这两次所淘 的水量中都包括原来已经漏进的水量和从开始淘到淘完这段时间内 又涌入的水量 所以相差的 120 100 20 份水是 40 20 20 分钟涌 入的 所以每分钟涌入的水量为 20 20 1 份 显然 1 人专淘涌入 的水 原有的水量不变 因此 原有的水量为 3 1 40 80 份 现在 要求 6 人几分钟把水淘完 先让 1 人专淘涌入的水 剩下 的人淘原有的水 可以淘 80 6 1 16 分钟 例 3 某电影院在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的观众 人数一样多 从开始检票到等候检票的队伍消失 同时开 4 个检票 口需 30 分钟 同时开 5 个检票口需 20 分钟 现在要使队伍 10 分钟 消失 那么需要同时开几个检票口 分析与解答 分析 等待检票的观众人数在变化 观众 相当于 草 检票 口 相当于 牛 所以本题实质上也是一道牛吃草的问题 总的草 量相当于观众总人数 即开始检票前已经在排队的原有观众和检票 开始后新来的观众 设 1 个检票口 1 分钟检票的观众人数为 1 份 那么 4 个检票口 30 分钟通过的人数为 4 30 120 份 5 个检票口 20 分钟通过的人数为 5 20 100 份 说明在 30 20 10 分钟内新来的观众人数为 120 100 20 份 所以每分钟新来观众为 4 30 5 20 30 20 2 份 显然 让 2 个检票口检新来的观众 等待的队伍人数不变 其余 的检票口检原有的观众 原有观众为 4 2 30 60 份 现在 要在 10 分钟内检完票 使观众不再排队等候 应让 2 个检 票口专检新来的观众 以使原有人数不变 原有人数从其他检票口 10 分钟通过 所以共需要的检票口为 60 10 2 8 个 例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要 从扶梯上楼 已知男孩每分钟走 20 级梯级 女孩每分钟走 15 级梯 级 结果男孩用了 5 分钟到达楼上 女孩用了 6 分钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 分析 与例 3 比较 总的草量 变成了 扶梯的梯级总数 草 变成了 梯级 牛 变成了 速度 也可以看成牛吃 草问题 上楼的速度可以分为两部分 一部分是男 女孩自己的速度 另一部分是自动扶梯的速度 男孩 5 分钟走了 20 5 100 级 女孩 6 分钟走了 15 6 90 级 女孩比男孩少走了 100 90 10 级 多用了 6 5 1 分 说明电梯 1 分钟走 10 级 由男孩 5 分钟到达楼上 他上楼的速度是自己的速度与扶梯的 速度之和 所以扶梯共有 20 10 5 150 级 解 自动扶梯每分钟走 20 5 15 6 6 5 10 级 自动扶梯共有 20 10 5 150 级 答 扶梯共有 150 级 例 5 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定 的速度在减少 已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天 或可供 15 头牛吃 6 天 照此计算 可供多少头牛吃 10 天 分析与解 与例 1 不同的是 不仅没有新长出的草 而且原有 的草还在减少 但是 我们同样可以利用例 1 的方法 求出每天减 少的草量和原有的草量 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份 20 头牛 5 天吃 100 份 15 头牛 6 天吃 90 份 100 90 10 份 说明寒冷使牧场 1 天减少青草 10 份 也就是说 寒冷相当于 10 头牛在吃草 由 草地上的草可供 20 头 牛吃 5 天 再加上 寒冷 代表的 10 头牛同时在吃草 所以牧场 原有草 20 10 5 150 份 由 150 10 15 知 牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天 寒冷占 去 10 头牛 所以 可供 5 头牛吃 10 天 练习与巩固 1 一牧场上的青草每天都匀速生长 这片青草可供 27 头牛吃 6 周或供 30 头牛 吃 5 周 问可供 42 头牛吃几周 2 有一水池 池底有泉水不断涌出 用 10 部抽水机 20 时可以把水抽干 用 15 部同样的抽水机 10 时可以把水抽干 那么 用 25 部这样的抽水机多少小时 可以把水抽干 3 某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一样多 如果同 时开放 3 个检票口 那么 40 分钟检票口前的队伍恰好消失 如果同时开放 4 个 检票口 那么 25 分钟队伍恰好消失 如果同时开放 8 个检票口 那么队伍多少 分钟恰好消失 4 两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走 在 20 秒钟里 男孩可走 27 级梯 级 女孩可走 24 级梯级 结果男孩走了 2 分钟到达另一端 女孩走了 3 分钟到 达另一端 问 该扶梯共多少级 5 由于天气逐渐变冷 牧草上的草每天以均匀的速度在减少 经计算 牧场上 的草可供 20 头牛吃 5 天 或可供 16 头牛吃 6 天 那么 可供 11 头牛吃几天