2018高考数学全国Ⅰ卷(文)(解析版)

2018 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 02A 102B 则 AB A 02 B 1 C D 2102 2 设 1iz 则 z A 0 B 12C 1D 2 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 已知椭圆 C 214xya 的一个焦点为 2 0 则 C的离心率 A 13B 2C 2D 23 5 已知圆柱的上 下底面的中心分别为 1O 过直线 12的平面截该圆柱所得的截 面是面积为 8 的正方形 则该圆柱的表面积为 A 12 B 12 C 82 D 10 6 设函数 32fxax 若 fx为奇函数 则曲线 yfx 在点 处的 切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 7 在 C 中 AD为 边上的中线 E为 AD的中点 则 EB A 314B B 134C C D A 8 已知函数 22cosinfxx 则 A f的最小正周期为 最大值为 3 B fx的最小正周期为 最大值为 4 C f的最小正周期为 2 最大值为 3 D fx的最小正周期为 最大值为 4 9 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如图所示 圆柱表面上的点 M在正视图上 的对应点为 A 圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱侧面上 从 到N 的路径中 最短路径的长度为 A 217B 25C 3D 2 10 在长方体 1CDA 中 2 1A与平面 1BC所成的角为30 则该长方体的体积为 A 8B 62C 82D 83 11 已知角 的顶点为坐标原点 始边与 x轴的非负半轴重合 终边上有两点 1 Aa 2 Bb 且 2cos3 则 ab A 15B 5C 25D 1 12 设函数 201 xf 则满足 2fxfx 的 的取值范围是 A B 0 C 10 D 0 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知函数 2logfxa 若 31f 则 a 14 若 xy 满足约束条件 201xy 则 32zxy 的最大值为 15 直线 1yx 与圆 230y 交于 AB 两点 则 A 16 ABC 的内角 C 的对边分别为 abc 已知 sini4sinCcBaC 228bca 则 的面积为 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知数列 na满足 1 12nnaa 设 nb 1 求 123b 2 判断数列 n是否为等比数列 并说明理由 3 求 na的通项公式 18 12 分 在平行四边形 ABCM中 3A 90CM 以 AC为折痕将 AM 折起 使 点 到达点 D的位置 且 D 1 证明 平面 ACD 平面 B 2 Q为线段 上一点 P为线段 C上一点 且 23BPDQA 求三棱锥 QABP 的 体积 19 12 分 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 单位 m 3 和使用了节水龙头 50 天 的日用水量数据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日 用 水 量 0 1 02 3 0 4 0 5 0 6 0 7 频 数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 0 1 02 03 04 05 06 频数 1 5 13 10 16 5 1 在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 0 35m3 的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按 365 天计算 同一组中的数 据以这组数据所在区间中点的值作代表 20 12 分 设抛物线 2Cyx 点 20A 20B 过点 A的直线 l与 C交于 M N两点 1 当 l与 轴垂直时 求直线 M的方程 2 证明 ABN 21 12 分 已知函数 ln1xfae 1 设 2x是 f的极值点 求 a 并求 fx的单调区间 2 证明 当 1ae 0fx 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系 xOy中 曲线 1C的方程为 2ykx 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极 轴建立极坐标系 曲线 2的极坐标方程为 cos30 1 求 2C的直角坐标方程 2 若 1与 2有且仅有三个公共点 求 1C的方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1fxax 1 当 1a 时 求不等式 1fx 的解集 2 若 0 x 时不等式 f成立 求 a的取值范围 参 考 答 案 一 选择题 1 答案 A 解析 0 2 B 故选 A 2 答案 C 解析 12izi 1z 选 C 3 答案 A 解析 由图可得 A 选项 设建设前经济收入为 x 种植收入为 0 6x 建设后经济收入 则为 2 x 种植收入则为 0 372 4x 种植收入较之前增加 4 答案 C 解析 知 2c 228abc 2a 离心率 2e 5 答案 B 解析 截面面积为 8 所以高 2h 底面半径 2r 所以表面积为2 1S 6 答案 D 解析 fx为奇函数 fxf 即 1a 3 fx 0 1f 切线方程为 y 选 D 7 答案 A 解析 由题可知 1131 224EBADBACBAC 8 答案 B 解析 222 cos 1cs 3cos1fxxx 最小正周期为 最大值为 4 9 答案 B 解析 三视图还原几何体为一圆柱 如图 将侧面展开 最短路径为 MN连线的距离 所以 245MN 所以选 B 10 答案 C 解析 连接 1A和 BC 1与平面 1BC所成角为 30 130ACB 11tan30 23B 12 282V 选 C 11 答案 B 解析 由 2coss13 可得 22 25cos1cos6intan 化 简可得 5tan 当 5tan时 可得 1a b 即 5 2b 此时 b 当 t 时 仍有此结果 12 答案 D 解析 取 12x 则化为 1 2ff 满足 排除 A B 取 则化为 0 f 满足 排除 C 故选 D 二 填空题 13 答案 7 解析 可得 2log 9 1a 92a 7 14 答案 6 解析 画出可行域如图所示 可知目标函数过点 2 0 时取得最大值 max3206z 15 答案 2 解析 由 30 xy 得圆心为 0 1 半径为 2 圆心到直线距离为2d 22 AB 16 答案 3 解析 根据正弦定理有 sinsin4sinsiBCBAC 2sin4iiBCA 1i2 28bca 223cosbcab 83c 3sinScA 三 解答题 17 解 1 依题意 214a 32 1aa 1ab 2ab 3b 2 1 nnaa 12nna 即 12nb 所以 nb为等比数列 3 12nnbq 1n 18 1 证明 ABCM为平行四边形且 90ACM BAC 又 D 平面 D B 平面 平面 平面 2 解 过点 Q作 HAC 交 于点 H A 平面 CD AB 又 CD 平面 B 13QD 32 32BAM 2P 又 ABC 为等腰直角三角形 1233ABPS 1133QABDABVSH 19 解 1 2 由题可知用水量在 0 3 4 的频数为 10 所以可估计在 0 3 5 的频数为 故用水量小于 3 5m的频数为 5324 其概率为 24 8P 3 未使用节水龙头时 0天中平均每日用水量为 31 0 5 13 25 340 59 260 57 06m 一年的平均用水量则为 30 563184 69m 使用节水龙头后 天中平均每日用水量为 31 0 5 10 2513 0 45160 5 m 一年的平均用水量则为 3 67 m 一年能节省 3184 92 5 94 20 解 1 当 l与 x轴垂直时 l的方程为 2x 代入 2yx 2 MN 或 2 MN BM的方程为 0 或 0 2 设 的方程为 2xmy 设 12 xyN 联立方程 2xmy 得 240y 1212 4 12 yxy 1212BMNyykxm 12124 0 myy BMNk ABN 21 解 1 fx定义域为 0 1 xfae 2x 是 f极值点 2 f 220eae xe在 0 上增 0a x在 上增 又 1x在 上减 f 在 上增 又 2 0f 当 0 2 时 0fx f减 当 x 时 fx f增 综上 21ae 单调增区间为 2 单调减区间为 0 2 2 0 x 当 e时有 1xxae 1 lnlnxxfa 令 1lxge 0 1 xge 同 1 可证 gx 在 0 上增 又 1 0ge 当 0 时 0 x 减 当 1 时 x g增 1minln0gxe 当 ae 时 fxg 22 解 1 由 2cos30 可得 230 xy 化为 2 1 4xy 2 1C与 2有且仅有三个公共点 说明直线 k 与圆 2C相切 圆 2圆心为 0 半径为 则 21k 解得 43 故 1的方程为 43yx 23 解 1 当 a 时 2 1xfxx 1fx 的解集为 1 2x 2 当 0a 时 f 当 0 1 x 时 fx 不成立 当 时 1x fa 不符合题意 当 0a 时 0 1 1fxxx 成立 当 1a 时 112 aafxx 12 即 a 综上所述 a的取值范围为 0 2