2014高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用

上海交通大学附中 2014 版 创新设计 高考数学一轮复习考前抢 分必备单元训练 导数及其应用 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若函数 321 0 xyx 图象上任意点处切线的斜率为 k 则 的最小值是 A B C 1D 12 答案 A 2 曲线 1 xy在点 1 1 处的切线方程为 A 02B 02 yx C 54 D 054 yx 答案 B 3 曲线 lnfx 在点 P 1 0 处的切线 l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 A 22 yB 2211 xy C x D 2211 y 答案 C 4 曲线 y x3 x 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y 4x 则点 P0 的坐标是 A 0 1 B 1 0 C 1 4 或 1 0 D 1 4 答案 B 5 设 2 1 2 xxf 则 20 dxf的值为 A 43B 54C 65D 67 答案 C 6 设函数 f x x 2 3x 4 则 y f x 1 的单调递减区间为 A 4 1 B 5 0 C 3 2 D 5 2 答案 B 7 在平均变化率的定义中 自变量 x 在 x0 处的增量 x A 大于零 B 小于零 C 等于零 D 不等于零 答案 D 8 函数 xf的定义域为 R 2 1 f 对任意 R x 2 xf 则 42 xf的解 集为 A 1 1 B C 1 D 答案 B 9 已知等差数列 na的前 n 项和为 nS 又知 l lnx 且 10lneSxd 2017S 则 30为 A 33 B 46 C 48 D 50 答案 C 10 曲线 3 2fx 在 0p处的切线平行于直线 41yx 则 0p点的坐标为 A 1 0 B 2 8 C 1 0 或 1 4 D 2 8 和或 1 4 答案 C 11 设函数 2 fxg 曲线 ygx 在点 1 处的切线方程为 21yx 则曲线 y在点 1 f处切线的斜率为 A 4B 4 C D 2 答案 A 12 曲线 21yx 在点 P 1 12 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A 9 B 3 C 9 D 15 答案 C 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 函数 y x2 x 0 的图像在点 a k ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k 为正整 数 a 1 16 则 na 答案 5 2 14 函数 3xy 的单调增区间为 答案 0 15 曲线 y 3x2与 x 轴及直线 x 1 所围成的图形的面积为 答案 1 16 ffx lim00 答案 0f 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边 A处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位 于离河岸 40 km 的 B处 乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km 两厂要在此岸边合建 一个供水站 C 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5 元 问供 水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省 答案 解法一 根据题意知 只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置 才能使总运费最省 设 C 点距 D 点 x km 则 BD 40 AC 50 x BC 2240 xCDB 又设总的水管费用为 y 元 依题意有 y 3a 50 x 5 a 5 y 3 a 2405 x 令 y 0 解得 x 30 在 0 50 上 y 只有一个极值点 根据实际问题的意义 函数在 30 km 处取得最小 值 此时 AC 50 x 20 km 供水站建在 A D 之间距甲厂 20 km处 可使水管费用最省 解法二 设 BCD 则 BC sin40 CD 20 cot cot405 AC 设总的水管费用为 f 依题意 有f 3a 50 40 cot 5 sia 150a 40 sinco35 f 40 2 2 53cos in 53co sin40i 令 f 0 得 cos 根据问题的实际意义 当 cos 53时 函数取得最小值 此时 sin 54 cot 3 AC 50 40cot 20 km 即供水站建在 A D 之间距甲厂 20 km 处 可使水管费用 最省 18 已知函数 f x ax 2 blnx 在 x 1 处有极值 12 I 求 a b 的 值 II 判断函数 y f x 的 单调性并求出单调区间 答案 1 因为函数 f x ax 2 blnx 所以 f x 2ax 又函数 f x 在 x 1 bx 处有极值 12 所以Error 即Error 解得Error 2 由 1 可知 f x x2 lnx 其定义域是 0 且 f x x 12 1x x 1 x 1 x 当 x变 化时 f x f x 的变化情况如下表 所以函数 y f x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间是 1 19 设 a R 向量 1 a m 函数 yfx 的图象经过坐标原点 xf 是函数 xf 的导函数 已知 Af 2 B fAB m 求 的解析式 若关于 的方程 2 4fx 在区间 1 上有两个不相等的实数根 求a 的取值范围 若 2 设数列 na满足 113 32 nnafn 且N 求证 1 n N 答案 I 2 fxAB fx m 令 1 则 1 1 2 faf 解得 21 f 2 f yx的图象过原点 3211 af x II 原方程可以整理为 23 令 xxg 231 则 1 xg 由 0 有 或 1 且当 或 2 x时 0 x 当 2 x时 0 xg 在 1 时 g在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 在 上 247 min x 又 5 6g 要使原方程在 1 上有两个不相等的实数根 则须使 71246a 即 a的取值范围为 7246 且 III 时 23 xf 2134 nnaa 整理得 12 nna 2 变形得 21n 令 nc 则 14c c 两边同取对数有 122log lnn 即 122logl nnc 令 nd2log 则 d 且 d n 1 2 1 1 1 2 1 22 n 1 1 n d 1 1 n n 1 n c d 12 n 12na 当 时 3 12 1 1 即不等式也成立 12 n N 20 已知函数 ln Raxxf 若 1a求曲线 fy在 21 处的切线的斜率 求 xf的单调区间 设 2 xg若存在 0 1 x对于任意 10 2 x使 21g 求 a 的范围 答案 xaxf R ln 若 1 a12 fk 当 为 增 函 数 在 0 0 x 当 令 af 10 axf 综上 的 单 调 增 区 间 为 xa 1 0 0 f 减 区 间 为 的 单 调 增 区 间 为 由 知 当 a时 一定符合题意 当 1 aaxf 减 区 间 为 的 单 调 增 区 间 为 1ln 1maf 由题意知 只需满足 010 ln 10 maxax aegf 综上 e 21 已知函数 1axfxe 设 0a 讨论 yf的单调性 若对任意 1x 恒有 1x 求 a的取值范围 答案 f x 的定义域为 1 1 对 f x 求导数得 f x e ax ax2 2 a 1 x 2 当 a 2 时 f x e 2x f x 在 0 0 1 和 1 均 2x2 1 x 2 大于 0 所以 f x 在 1 1 为增函数 当 0 a 0 f x 在 1 1 为增函数 当 a 2 时 0 1 令 f x 0 解得 x1 x2 a 2a a 2a a 2a 当 x 变化时 f x 和 f x 的变化情况如下表 f x 在 1 1 为增函数 f x 在 a 2a a 2a a 2a a 2a 为减函数 当 0f 0 1 当 a 2 时 取 x0 0 1 则由 知 f x0 1 且 e ax 1 得 1 x1 x f x e ax 1 综上当且仅当 a 2 时 对任意 x 0 1 恒有 1 x1 x 1 x1 x f x 1 22 函数 R 2 ln 2 bbf I 当 3b 时 求函数 xf的极值 II 设 xfxg2 若 b 求证 对任意 1 1 且 21x 都有 2 211xxg 答案 1 当 2 3 b 时 ln3 f 函数定义域为 且 令 02 1 32 x 解得 2 1 x 或 当 变化时 f的变化情况如下表 所以当 2 1 x 时 2ln345 1 fxf极 大 值 当 时 l 2 ff极 小 值 2 因为 xbxf1ln 2 所以 1 2 bf 因为 2 b 所以 0 xf 当且仅当 0 x时等号成立 所以 xf在区间 1 上是增函数 从而对任意 2 当 21x时 21xff 即 21 xgxg 所以 g