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2.1 数列的概念与简单表示法教学目的：1.通过本节学习,让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,把数列融于函数之中;2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;3.理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象;4.理解通项公式与递推公式的异同;5.通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过日常生活重的大量实例,鼓励学生动手试验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度;6.通过本节章头图的学习,体会数学来源于生活,理解大自然的丰富多彩,感受“大自然是懂数学的”,从而提高学生学习数学的兴趣.教学重点：1.理解数列及其有关概念;2.了解数列的通项公式和递推公式的意义,并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项;3.了解数列和函数之间的关系.教学难点：1.根据数列的前几项,归纳出数列的通项公式;2.理解递推公式和通项公式的关系;3.数列的递推公式及其应用的处理技巧.教学过程：一、引入新课：创设情景引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律?真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是,你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?这种规律就是我们将要学习的数列.引例1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数2.某班学生的学号由小到大排成一列数3.1984年至2008年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数 像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点?共同特点: (1)每一项都是一个数; (2)这些数在排列上按一定顺序来.二、讲解新课：1.数列的概念 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第项,排在第位的数称为这个数列的第项. 注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.2.数列的记法 数列的一般形式可以写成:,可简记为.其中是数列的第项.3.数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如,它的通项公式可以是,也可以是. (2)通项公式的作用:求数列中的任意一项;检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.4.数列的本质 从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集(或它的子集)的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.5.数列的分类 (1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 一个数列从第项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 一个数列从第项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 各项相等的数列叫做常数列; 一个数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.6.递推公式 已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式. 注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.三、讲解范例：例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列个数: (1); (2). (3) (4)解: (1) (2)(3) (4)类型题: 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)答案: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)点评: 这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题: 用和来调整符号;各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再找规律;借助一些特殊的数列:有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.例2 根据下面数列的通项公式,写出前项. (1) (2) (3) 解: 略例3 在数列中,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列的通项公式,并求; (2)若,求数列的通项公式.解: 略例4 已知数列的通项公式为. (1)试问是否是数列中的项?(2)求数列的最大项; (3)若,求.解: 略例5 已知数列 (1)写出这个数列的一个通项公式; (2)根据判断数列的增减性和有界性.解: (1) (2)因为 所以数列是递增数列 又因为 所以数列是有界数列.例6 已知数列的首项,且,写出这个数列的前项.解: 略例7 (1)已知数列的首项,且,试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式. (2)在数列中,(),试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式.解: 略例8 设数列是以为首项的正数列,且,求数列的通项公式.解: 略类型题1: 已知数列满足,写出前项,并猜想.类型题2: 已知数列满足,写出前项,并猜想.类型题3: 已知数列满足,写出前项,并猜想.例9 已知数列的递推公式是,且.求: (1); (2)是这个数列中的第几项? 例10 若记数列的前项和为,试证明.证明: 略变式题1: 已知数列的前项和为,求.变式题2: 已知数列的前项和为,求.变式题3: 已知数列的前项和为,求.例11 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(P30 例2)解: 略例12 如图是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成,其中,记的长度所在的数列为()(1)写出数列的前项;(2)写出数列的一个递推关系式;(3)求的通项公式;(4)如果把图中的三角形继续做下去,那么的长度分别为多少?解: 略课题: 2.2等差数列教学目标知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点 等差数列的性质教学过程.课题导入创设情境上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本P41页的4个例子：0，5，10，15，20，25，48，53，58，6318，15.5，13，10.5，8，5.510072，10144，10216，10288，10366观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列.讲授新课1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列,若=d (与n无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。思考：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即： 即：即： 由此归纳等差数列的通项公式可得： 已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。 由上述关系还可得： 即：则：=即等差数列的第二通项公式 d=范例讲解例1 求等差数列8，5，2的第20项 -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由 n=20，得由 得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例3 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n2）是不是一个与n无关的常数。解：当n2时, （取数列中的任意相邻两项与（n2）为常数是等差数列，首项，公差为p。注：若p=0，则是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，若p0, 则是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。.课堂练习课本P45练习1、2、3、4.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：=d ，（n2，nN）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.课后作业课本P45习题2.2A组的第1题板书设计课题: 2.2等差数列授课类型：新授课（第课时）教学目标知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学过程.课题导入首先回忆一下上节课所学主要内容：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即=d ，（n2，nN），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2等差数列的通项公式： (或=pn+q (p、q是常数)3有几种方法可以计算公差d d= d= d=.讲授新课问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A ，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列 补充例题例 在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手解： an 是等差数列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32 =2, =32范例讲解课本P44的例2 解略课本P45练习5已知数列是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？（3）是否成立？你又能得到什么结论？结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ，探究：等差数列与一次函数的关系.课堂练习1.在等差数列中，已知，求首项与公差2. 在等差数列中, 若 求.课时小结节课学习了以下内容：1成等差数列2在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q N ).课后作业课本P46第4、5题板书设计第五课时 2.3.1 等差数列的前项和（一）教学要求：掌握等差数列前项和公式及其获取思路；会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.教学重点：等差数列前项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：一、复习准备：1. 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质.2. 提问：小明喜欢摆积木，幼儿园的老师给他布置了这样一个任务，要求他将一堆形状规则的正方形积木摆放“整齐”，最下面一层摆13个，往上一层摆11个，再往上一层摆9个，、依次往上，当摆到第6层时，问需要几个这样的正方形积木？如果已知小明将老师给的积木全部摆完时，最上层的积木恰有3个，你能说出老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗？二、讲授新课：1. 教学等差数列前项和公式： 等差数列前项和的定义：一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即. 等差数列前项和公式：或.（实际解题时根据题目给出的已知条件选择合适的方法来解决）2. 例题讲解：例1、等差数列的前项和为，若，求.（学生练学生板书教师点评及规范）练习：在等差数列中，已知，求.在等差数列中，已知，求.例2、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列的前项和与的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.例3、在等差数列中，已知，求.结论：等差数列中，成等差数列.（推广：等差数列中成等差数列.）3. 小结：等差数列前项和的定义、公式，性质及其应用.三、巩固练习：1. 练习：教材P52页第1题 2. 作业：教材P52P53页A组第2、3题第六课时 2.3.2 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、复习准备：练习：已知数列的前项和，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？二、讲授新课：1. 探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，）.由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前项和的最值问题： 例题讲解：例1、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前项和的最大值. 结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值；当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值.（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.练习：在等差数列中, 15, 公差d3, 求数列的前n项和的最小值.例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取. 它的本利和公式如下：本利和每期存入金额. 若某人每月初存入100元，月利率5.1%。，到第12个月底的本利和是多少？若每月初存入一笔金额，月利率5.1%。，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么第月初应存入多少金额？3. 小结：等差数列前项和公式、性质及其应用.三、巩固练习：1. 练习：设等差数列的前项和为，且，（1）求公差的取值范围；（2）中哪一个最大，并说明理由.2. 作业：教材P53页A组第4题B组第1题第一课时 5.2.4等比数列（一）教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点： 遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。教学过程：一. 复习准备1. 等差数列的通项公式。2. 等差数列的前n项和公式。3. 等差数列的性质。二.讲授新课 引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”2细胞分裂模型3计算机病毒的传播由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点进而让学生通过用递推公式描述等比数列。让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式 注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。2当首项等于0时，数列都是0。当公比为0时，数列也都是0。所以首项和公比都不可以是0。3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？4以及等比数列和指数函数的关系5是后一项比前一项。列：1，2，（略）小结：等比数列的通项公式三.巩固练习：1.教材P59练习1，2，3，题2.作业：P60习题1，4。第二课时 5.2.4等比数列（二）教学重点：等比数列的性质教学难点：等比数列的通项公式的应用二. 复习准备：提问：等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 等差数列的性质二 .讲授新课 ：1. 讨论：如果是等差列的三项满足那么如果是等比数列又会有什么性质呢？由学生给出如果是等比数列满足2练习： 如果等比数列 =4，=16，=？(学生口答) 如果等比数列 =4，=16，=？(学生口答)3等比中项：如果等比数列.那么，则叫做等比数列的等比中项（教师给出）4思考：是否成立呢？成立吗？ 成立吗？又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列，5思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？ 如果是为什么？是等比数列吗？引导学生证明。6思考：在等比数列里，如果成立吗？ 如果是为什么？由学生给出证明过程。三. 巩固练习：列3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项解（略）列4：略： 练习：1在等比数列，已知那么 2 P61 A组8四.小结：等比数列的性质五：作业 P61 A组6，7。课题: 2.5等比数列的前n项和教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。教学重点 等比数列的前n项和公式推导教学难点 灵活应用公式解决有关问题教学过程.课题导入创设情境提出问题课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”.讲授新课分析问题如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。1、 等比数列的前n项和公式： 当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.公式的推导方法一：一般地，设等比数列它的前n项和是由得 当时， 或 当q=1时，公式的推导方法二：有等比数列的定义，根据等比的性质，有即 （结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三： （结论同上）解决问题有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。由可得=。这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。例题讲解课本P65-66的例1、例2 例3解略.课堂练习课本P66的练习1、2、3.课时小结等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或.课后作业课本P69习题A组的第1、2题板书设计课题: 2.5等比数列的前n项和授课类型：新授课（第课时）教学目标知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式教学难点 灵活使用公式解决问题教学过程.课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：当时， 或 当q=1时，当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.讲授新课1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 求证：2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和；（1）a=0时，Sn=0（2）a0时，若a=1，则Sn=1+2+3+n=若a1，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=.课堂练习 .课时小结.课后作业板书设计
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