相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

1 第 2 讲 相似三角形中的辅助线及动点 在解相似三角形问题时 常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件 在添加辅助线时 所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形 或得到成比例的线段或 得出等角 等边 从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系 主要的辅助线有以下几 种 一 作平行线 例 1 如图 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E 且使 AD AE DE 延长线与 BC 延长线相交于 F ABC 求证 FDE 例 2 如图 ABC 中 AB AC 在 AB AC 上分别截取 BD CE DE BC 的延长线相交于点 F 证明 AB DF AC EF 二 作垂线 例 3 已知 如图两个等积 若 AC BD 交于 E EF AB EG CD 分别交 BC 于ABC D F G 求证 CF BG 2 例 4 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF 垂足分别为 E F 求证 2AFDAEB 三 作延长线 例 5 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 若 BCD 的平分线 CH AB 于点 H BH 3AH 且四边形 AHCD 的面积为 21 求 HBC 的面积 例 6 如图 Rt ABC 中 CD 为斜边 AB 上的高 E 为 CD 的中点 AE 的延长线交 BC 于 F FG AB 于 G 求证 FG CF BF2 3 四 作中线 例 7 如图 中 AB AC AE BC 于 E D 在 AC 边上 若 BD DC EC 1 求 AC ABC 动点题型 1 如图正方形 ABCD 的边长为 2 AE EB 线段 MN 的两端点分别在 CB CD 上滑动 且 MN 1 当 CM 为何值时 AED 与以 M N C 为顶点的三角形相似 2 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 AE EB MN 1 线段 MN 的两端在 CB CD 上滑动 当 CM 为 何值时 AED 与以 M N C 为顶点的三角形相似 4 H E D CB A P 3 如图 矩形 ABCD 中 E 为 BC 上一点 DF AE 于 F 1 ABE 与 ADF 相似吗 请说明理由 2 若 AB 6 AD 12 BE 8 求 DF 的长 4 如图所示 在 ABC 中 BA BC 20cm AC 30cm 点 P 从 A 点出发 沿着 AB 以每秒 4cm 的速 度向 B 点运动 同时点 Q 从 C 点出发 沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动 设运动时间为 x 1 当 x 为何值时 PQ BC 2 当 求 的值 3 APQ 能否与 CQB31 ABCQSBCQS 相似 若能 求出 AP 的长 若不能 请说明理由 5 如图 矩形 ABCD 中 CH BD 垂足为 H P 点是 AD 上的一个动点 P 与 A D 不重合 CP 与 BD 交于 E 点 已知 CH DH CD 5 13 设 AP 四边形 ABEP 的面积为 13 60 xy 1 求 BD 的长 2 用含 的代数式表示 xy