《高级微观经济理论》第15-16章习题

高级微观经济理论第15-16章习题解：本题目是在已知两个消费者效用函数和禀赋的条件下求提供曲线的问题。根据题设已知两个消费者的效用函数为：，各自相应的初始禀赋为，题目要求均衡的价格比率，为此先求出两个消费者的提供曲线。提供曲线是在价格变化时单个消费者效用最大化点的轨迹，为此我们建立如下最大化问题拉格朗日方程，先考虑第一个消费者：MAX St 求解此最大化问题得： 所以第一个消费者的提供曲线就表示为同理，第二个消费者的提供曲线可以表示为：为了求得均衡时的价格，还需利用均衡时两种商品是出清的特点，以商品2为例，商品2的总需求为：商品2的总供给为：+由总供给等于总需求可得均衡时的价格比率为：将此均衡价格比率带入到提供曲线中即可得在此均衡价格下的均衡配置，最后看以上几项怎样随着的变化而变化：我们可以令=1，于是，这个式子可以写为下面就是求之间的关系，之间的关系Max s.t 令则,所以，由题意有,其中，A是相同的部分求出再带入得到同样地，我们可以求出之间的关系Max s.t 令则我们有其中，B是相同的部分,再由，得到我们知道于是，令,我们得到,得到所以，当两种商品的价格都为正时，两个消费者的提供曲线是；。在的情况下没有内点解，不会发生交易。在的情况下，根据Walras定律，有：，当时，。在均衡配置下，需要201/2，否则会取，即会选择全部消费自己已持有的商品b，不会与进行交换；当时，。在均衡配置下，需要，否则会取，即会选择全部消费自己已持有的商品p，不会与进行交换；当两种商品的其中一种的价格为零，提供曲线是：所有的均衡点在埃奇沃斯盒的边界上，均衡价格比是，均衡配置是。（，均衡点都在横轴涂黑实线上。）在的情况下，根据Walras定律，有内点解（解方程组xb=xp, xb=-(xp-5)2+20而得）在当两种商品的其中一种价格为零的情况下，边角均衡的价格比是，内点均衡配置是当从30降到5后，的效用水平增加，的效用水平降低，不论均衡点在内部还是在边角上，这是因为当时，商品p相对于商品b来说太充足，其均衡价格为0，商品b是交换经济中至关重要的禀赋。当时，商品p足够稀缺以至于其产生了正的价格，对两种商品的消费也就有了正数量。商品b的价格可以降到0，在这种情况下他会消费经济中所有的禀赋。由于生产函数为，且劳动总禀赋,代入效用函数可得：求一阶导数可得：，所以假定产出价格，由利润最大化条件可得：求一阶导数可得：，从而代入得，所以均衡利润同时可知，均衡消费为证明：可以加强斯托珀萨缪尔森定理的结论，即证明密集要素价格上升的比例要大于产品价格上升的比例。证明：由命题15.D.1可知设w=（w1,w2）为要素价格向量 cj（w）代表生产单位产品j的最小成本 aj（w）=（a1j（w），a2j（w）代表这一最小成本达到时的投入组合。 给定不变规模报酬的假设，（w1*，w2*）成为内点均衡中的要素价格的必要条件是 c1（w1，w2）=p1 （1） c2（w1，w2）=p2 （2） 又由谢波德引理可知 所以将（1）、（2）式全微分可得写成矩阵形式为 又设产品1的生产比产品2相对更多地密集了要素1，所以有 可知 假设p1上升而p2保持不变，那么可知dp2=0，dp10所以 最后可证证毕。（1）根据分散决策15.D.1和15.D.2根据利润最大化条件有根据上述式子可得：另由于，从而，（2）社会计划者决策建立拉格朗日函数可得又计算可得比较社会分散决策，与社会计划者决策，发现在一般均衡时，二者得到的结果相同。如果xii xi*, 那么一定有p*xip*xi*。如果xii xi*，在偏好是局部非饱和的情况下，在Xi中存在连续的xinn，使得p*xinp*xi*，那么n0,+，所以xi*是价格向量P之下，最小化的指出。如果偏好是局部非饱和的，而且厚的无差异曲线在所画区域内。那么任何产品曲线的在该区域内的交叉点以及厚的无差异曲线都是帕累托最优点，但是并不能说它有转移价格均衡或者有转移的价格准均衡。11