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幂函数的性质与图像 幂函数及其性质1、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2、函数的图像（1） （2） （3） （4） （5）用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。3幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（3）0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数 . 轴和直线之间，图象由上至下，指数 .：4. 规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数y，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01和1三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0时图象是双曲线型；1时图象是竖直抛物线型；01时图象是横卧抛物线型在0，+上，、是增函数，在（0，+）上， 是减函数。例1已知函数，当 为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）或（2）（3）（4）（5）变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：解得：小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2比较大小：（1） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函数， （2）在上是增函数，（3）在上是减函数，；是增函数，；综上， （4），例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值解：幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或例4、设函数f（x）x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f1（x）f（x），f1（x）f（x），f1（x）f（x）的实数x的范围解析：（1）由yx3两边同时开三次方得x，f1（x）x（2）函数f（x）x3和f1（x）x的图象都经过点（0，0）和（1，1）f1（x）f（x）时，x1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f1（x）f（x）时，x1或0x1；f1（x）f（x）时，x1或1x0点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦例5、求函数y2x4（x32）值域解析：设tx，x32，t2，则yt22t4（t1）23当t1时，ymin3函数y2x4（x32）的值域为3，）点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）答案：2. 下列函数在上为减函数的是（ ）答案：3. 下列幂函数中定义域为的是（ ）答案：4函数y（x22x）的定义域是（）Ax|x0或x2B（，0）（2，） C（，0）2，D（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域答案：B5函数y（1x2）的值域是（）A0，B（0，1） C（0，1） D0，1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t1x2，则y1x1，0t1，0y1答案：D6函数y的单调递减区间为（）A（，1）B（，0） C0，D（，）解析：函数y是偶函数，且在0，）上单调递增，由对称性可知选B答案：B7若aa，则a的取值范围是（）Aa1Ba0 C1a0 D1a0解析：运用指数函数的性质，选C答案：C8函数y的定义域是 。解析：由（152xx2）30152xx203x5答案：A9函数y在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_解析：m的取值应该使函数为偶函数故m1答案：m110、讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图思路：函数y是幂函数（1）要使y有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R（2）xR，x20y0（3）f（x）f（x），函数y是偶函数；（4）n0，幂函数y在0，上单调递增由于幂函数y是偶函数，幂函数y在（，0）上单调递减（5）其图象如下图所示11、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.51.7，（2）考查幂函数y的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小12已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y，（1）由152xx20得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y的单调增区间为5，1，单调减区间为（1，3答案：（1）定义域为5，3，值域为0，2；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3）（1，31如果幂函数的图象经过点，则的值等于 2函数y（x22x）的定义域是 3函数y的单调递减区间为 4函数y在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_ _例1比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1； （2）（），（），1.1；（3）3.8，3.9，（1.8）；（4）31.4，51.5.例2已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值例3幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式.1幂函数的图象过点，则的值为 . 2比较下列各组数的大小： ； ； .3幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 4设x(0, 1)，幂函数y的图象在yx的上方，则a的取值范围是 5函数y在区间上 是减函数6一个幂函数yf (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数yg(x)的图象过点(8, 2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x) g(x)的解集.练习1用“”连结下列各式： ， 2函数的定义域是 3是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 .4已知，x的取值范围为 5若幂函数的图象在0x0 B0 C=0 D不能确定5若，那么下列不等式成立的是 ( )Al B1 ClD11 B1 C=l D不能确定7若点在幂函数的图象上，那么下列结论中不能成立的是 A B D8、使x2x3成立的x的取值范围是 A、x1且x0B、0x1C、x1D、x19、若四个幂函数y，y，y，y在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是 A、dcbaB、abcdC、dcabD、abdc10、当x（1，）时，函数）y的图象恒在直线yx的下方，则a的取值范围是 A、a1B、0a1C、a0D、a0二、填空题：12、若，则a的取值范围是_；13.函数的定义域为_. 14.设，如果是正比例函数，则m=_ ,如果是反比例函数，则m=_,如果f(x)是幂函数，则m=_15若幂函数在上是增函数， =_.。16、函数的对称中心是_，在区间上是_函数（填“增”或“减”）. 三、解答题：18.已知函数，为何值时，是（1）正比例函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 （4）幂函数19、已知幂函数f（x）（pZ）在（0，）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）
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