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小学数学应用师基础教程(六年级)第一讲 百分数百分数有两种不同的定义。 （1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数标准数=分率（百分数），标准数分率=比较数，比较数分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例1 纺织厂的女工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：因为“女工占全厂人数的80”，所以男工占全厂人数的1-80=20。又因为“一车间的男工占全厂男工的25”，所以一车间的男工占全厂人数的2025=5。例2 育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多10。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125，五年级是三年级的125（1-10），六年级是三年级的125（1-10）（1+10）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程： x125（1-10）（1+10）=x+38， x=160。三年级有160名学生。四年级有学生 160125=200（名）。五年级有学生200（1-10）180（名）六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。例3： 运一批货物，第一次运走20%，第二次运走6吨，第三次运的比前两次的总和少2吨，这时还剩下这批货物的1/3没有运走，这批货物共有多少吨？（37.5吨）例4：某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件盈利20，另一件亏本20。这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 分析与解：盈利20，即售出价是成本价的（1 + 20）；亏本20，即售出价是成本价的（1 - 20）。两件商品的售出价都是30元，可分别算出两件商品的成本价。30 （1 + 20）= 25（元） 30 （1 - 20）= 37.5（元）25 + 37.5 = 62.5（元） 62.5 60 = 2.5（元）答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本2.5元。例5：水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的22，第二次运进1.5吨，两次共运进这批水果的62，这批水果一共有多少吨？分析与解：根据题意可以画出下面的线段图： 62第一次22 1.5吨“1”? 吨从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5吨，单位“1”的量是这批水果的总吨数，设这批水果一共有吨，那么两次一共运了62吨，第一次运进了22吨。解：设这批水果一共有吨。62 - 22 = 1.5 40 = 1.5 = 3.75在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量溶液重量，溶液重量=溶质重量溶质含量，溶质重量=溶液重量溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例6 有含糖量为7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？分析与解：在600克含糖量为7的糖水中，有糖（溶质）6007=42（克）。设再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加入20克糖。练习11.某修路队修一条路，5天完成了全长的20。照此计算，完成任务还需多少天？2.服装厂一车间人数占全厂的25，二车间人数比一车间少20，三车间人数比二车间多30。已知三车间有156人，全厂有多少人？3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积比第二块多20，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。5.有酒精含量为30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6.某商品如果按现价18元出售，则亏了25，原来成本是多少元？如果想盈利25，应按多少元出售该商品？第二讲 比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，56可记作56。比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果ab=cd，那么ad=bc。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如abc。连比中的“”不能用“”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲乙=56，乙丙=43，因为6，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129， 得到甲乙丙=10129。例1 六年级一班的男、女生比例为32，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为32知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 2420=65。在例1中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例2 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。分析：总量是2700千克，各分量的比是1212，总份数是1+2+12=15， 答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是270015=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。例3 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率练习21.一块长方形的地，长和宽的比是53，周长是96米，求这块地的面积。2.一个长方体，长与宽的比是43，宽与高的比是54，体积是450分米3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是35；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是911。问：两人原来共有多少钱？4.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？5.一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是123，某人走各段路程所用的时间之比是345。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？第三讲 行程问题例1：甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河 的两岸。由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米，乙车每小时行 45千米，两地相距多少千米？（交换乘客的时间略去不计）想：根据已知两车上午8时从两站出发，下午2点返回原车站，可求出两车所行驶的时间。根据两车的速度和行驶的时间可求两车行驶的总路程。解：下午2点是14时。往返用的时间：14-8=6（时）两地间路程：（40+45）62=8562=255（千米）例2：学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再去追第二小组。多长时间能追上第二小组？想：第一小组停下来参观果园时间，第二小组多行了3.5-（4.5-3.5）千米，也就是第一组要追赶的路程。又知第一组每小时比第二组快（4.5-3.5）千米，由此便可求出追赶的时间。解：第一组追赶第二组的路程：3.5-（4.5-3.5）=3.5-1=2.5（千米）第一组追赶第二组所用时间：2.5（4.5-3.5）=2.51=2.5（小时）例3：一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，相遇时快车比慢车多行了40千米，甲乙两地相距多少千米？（画图）例4：甲、乙二人同时从相距18千米的两地相对而行，甲每小时行走5千米，乙每小时走4千米。如果甲带了一只狗与甲同时出发，狗以每小时8千米的速度向乙跑去，遇到乙立即回头向甲跑去，遇到甲又回头向飞跑去，这样二人相遇时，狗跑了多少千米？想：由题意知，狗跑的时间正好是二人的相遇时间，又知狗的速度，这样就可求出狗跑了多少千米。解：18（5+4）=2（小时）82=16（千米）随堂练习：1.甲列火车长240米，每秒行20米；乙列火车长264米，每秒行16米，两车相向而行，从两车头相遇到两车尾相离需要几秒？2.一列火车长600米，通过一条长1150米的隧道，已知火车的速度是每分700米，问火车通过隧道需要几分？3.小明从家里到学校，如果每分走50米，则正好到上课时间；如果每分走60米，则离上课时间还有2分。问小明从家里到学校有多远？4.有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？练习3： 1.甲乙两人同时从相距135千米的两地相对而行，经过3小时相遇。甲的速度是乙的2倍，甲乙两人每小时各行多少千米？(30)2. 甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，5小时后甲到达中点，乙车离中点还有60千米，已知乙车速度是2/3甲车的，求A、B两站的距离。(360)3. 客车由甲地到乙地需行10小时，货车从乙地到甲地需15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距乙地还有192千米，两地的距离是多少千米？4. 甲、乙两车同时从两地相对开出，经过3小时相遇，相遇时甲车行了全程的，甲车每小时比乙车少行10千米，两地相距多少千米？第四讲 工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12天。例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了随堂练习1.甲乙两根进水管，单开甲管10小时注满水池，单开乙管15小时注满水池，若两管齐开，几小时可注满水池？2.甲乙两根水管，单开甲进水管10小时可把水池注满，单开乙出水管15小时可把满池水放完，若两管齐开，几小时可注满水池？3.甲、乙两队共同修一条长60千米的路，甲队单独修20天可完工，乙队单独修15天可完工，两队共同修几天完工？4. 一批零件，师傅独做要小时，徒弟独做需小时， ，这批零件共几个？师傅和徒弟一小时共做180个。师傅每小时比徒弟多做180个。若师傅先做2小时后因事离开，徒弟接着做4小时，师傅比徒弟少做180个。5.连一连练习41.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7. 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从 40千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示练习11.20天。解：520-5=20（天）。2.600人。解：156(1-20) (1+30)25=600（人）。3.第一、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积为691+80+80(1+20)=25（公顷），第二块地为2580=20（公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。5.20。解：设酒精含量为30的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀释成酒精含量为24的酒精溶液需加水3024-100=25（克）。若再加入25克水，则酒精含量变为30(100+25+25)=20。6.分析与解：不管是亏25，还是盈利25，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18元亏25，说明18元比成本少25，即是成本的（1 - 25）。盈利25，说明盈利的是原来成本的25，实际售价是原来成本的（1 + 25）。解答：设原来成本是元。 - 25 = 18 0.75 = 18 = 2424 （1 + 25） = 30（元）点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。答案与提示练习21.540米2。 2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。解：长宽高=201512， 450000(201512)=125=53。长=205=100（厘米），宽=155=75（厘米），高=125=60（厘米）。3.86元。解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程 36+50=86（元）。4.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲乙丙=252024，138(25+20+24)=2，甲=225=50（只），乙=220=40（只），丙=224=48（只）。5.12时。行程问题随堂练习答案：1、想：“从两车头相遇到两车尾相离”，两车所行的路程是两车身长之和，即（240+264）米，速度之和为（20+16）米。根据路程、速度和时间的关系，就可求得所需时间。解：（240+264）（20+16）=50430=14（秒）2、想：火车通过隧道是指从车头进入隧道到车尾离开隧道，所行的路程正好是车身与隧道长度之和。解：（600+1150）700=1750700=2.5（分）3、想：在每分走50米的到校时间内按两种速度走，相差的路程是（602）米，又知每秒相差（60-50）米，这就可求出小明按每分50米的到校时间。解：602（60-50）=12（分）5012=600（米）4、想：由已知条件可知，二人第一次相遇时，乙比甲多跑一周，即600米，又知乙每分钟比甲多跑（400-300）米，即可求第一次相遇时经过的时间。解：600（400-300）=600100=6（分）练习3参考答案：1.想：由题意知，甲乙速度和是（1353）千米，这个速度和是乙的速度的（2+1）倍。解：1353（2+1）=15（千米）152=30（千米）答案与提示练习42.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8时。提示：甲管12时都开着，乙管开7.280千米。