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一、 空间解析几何1. 垂直和平行a b 的充分必要条件是 a .b =0 a/b的充分必要条件是b=两向量垂直，则上式等于02.向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：3.直线、平面方程求过两点 M 1( 3 , -2,1)和M2( -1, 0, 2) 的直线方程。【解 】 取 = （- 4 , 2 , 1 ) 为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为【 解 】 直线 L1和 L 2的方向向量依次为s1= (1,-4, 1)、s2=(2,-2,-1).设直线 L1 和 L2 的夹角为,则所以（1）点法式求过三点 Ml ( 2 , -1，4)、M2 （-l , 3 ，-2 ）和 M3( 0 , 2 , 3 ）的平面的方程。 由平面的点法式方程，得所求平面方程为（2）截距式设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，求平面方程其中a、b、c均不为0，则平面方程为如，在方程 Ax By Cz + D = 0 中，当 D = 0 时，方程表示一个通过原点的平面；当 A = 0 时，方程表示一个平行于 x 轴的平面；当 A = B = 0 时，方程表示一个平行于 x Oy的平面。类似地，可得其他情形的结论。4.平面与平面两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面 1, : Al x+ B1y Clz + D1 = 0 和平面 2 : A2 x+ B2y C2z + D2 = 0，则1和2的夹角由下式确定：由此可得1与2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=01与2平行相当于空间一点 P 0（ x 0，y0， z 0）到平面的距离，有以下公式：5、二次曲面 旋转曲面 柱面（一）二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。例如球面：椭球面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：注意：以上方程是二次曲面的标准方程，还应该知道它们的各种变形。（二）旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面以 x 轴为旋转轴的旋转双曲面已知旋转曲面的母线 C 的方程为旋转轴为z轴，只要将母线的方程 f ( y ，z）0中的 y 换成，便得曲线 c 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋转曲面的方程。（三）柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。例如，以 xOy平面上的圆 x2+y2 R2 为准线，平行于 z 轴的直线为母线的圆柱面以xOy平面上的抛物线y22x为准线，平行于 z 轴的直线为母线的抛物柱面在空间直角坐标系中，如果曲面方程 F ( x , y ，z) 0 中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。例如，方程 F ( x ，y)0一般表示一个母线平行于 z 轴的柱面，方程 G ( x , z ）=0 , H ( y , z ) =0一般表示一个母线平行于 y 轴，x轴的柱面。二、 微分学函数可微分的充分必要条件函数y = f（x）在点 x0 可微分的充分必要条件是 f （ x ）在点 x0可导，且当 f （ x ） 在点 x0可导时，其微分一定是函数的微分是基本微分公式与微分法则1 基本微分公式2 函数和、差、积、商的微分法则设函数 u = u （ x ）、v v （ x ）均可微，则3 复合函数的微分法则设 、均可微，则 也可微，且【 例 】解【 例】解4、中值定理与导数的应用（一）罗尔中值定理 1 若函数 f （ x ）在闭区间 a ，b上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f （ a ） = f （ b ） ，则至少有一点（ a， b ） ，使得 f （） 0。2 拉格朗日中值定理若函数 f （ x ）在闭区间 a ，b上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点（ a， b ），使得下式成立5、求未定式的值的方法 ： 罗必达法则1 未定式与的情形关于的情形：设（ 1 ）当 x a （或 x）时， f （x）0 且 F （ x ） 0 ,（ 2 ） 在点 a 的某去心邻域内（或当X N 时） , f （ x ）及 F （ x ）都存在且F （x）0 ,则 若 仍属型 ，且 f （ x ）、 F （x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，即对于型，也有相应的洛比达法则【解】 属型， 运用罗必塔法则，得【 解 】 属型，运用罗必塔法则，得【 解 】 属0型，通过变形化为，然后运用罗必塔法则，得2 其他形式的未定式的情形其他尚有 0 、-、 00 、 1、0 型的未定式，它们均可通过变形化成或的情形。如 0 型可变形成或，-型通过通分，00、1、0通过取对数变形。（三）函数性态的判别 1 函数单调性的判定利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。2 函数极值的判定一阶导数为零的点称为驻点，对于连续函数，极值点必定是驻点，驻点不一定是极值点。3 曲线凹、凸及其拐点的判定连续曲线 y = f （ x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f （x0）=0,而 f （ x ）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0， f （ xo ） ）就是一个拐点。4 曲线的渐近线若 =y0，则曲线 y = f （ x ）有水平渐近线 y = y0 ; 若 =,则曲线 y f （ x ） 有铅直渐近线 x = x 0；5.最大值最小值问题设 f （ x ）在闭区间 a , b 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 a ，b上的最大值与最小值的一般方法：设 f （ x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为 x1， , xn，则比较的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。【例】 已知函数 y = f （ x ）对一切 x 满足xf （ x ） + 3x f （ x ） 2 = 1 - ，若 f （ x 0） = 0 （x00 ） ，则（ A ） f （ xo ）是 f （ x ）的极大值（ B ）f（ xo ）是 f （x）的极小值 （ C ） （ xo , f （x0）是曲线y= f （ x ）的拐点 （ D ） f （x0）不是 f （ x ）的极值，（x0 , f （ xo ） ）也不是曲线 y f（ x ）的拐点【 解 】 x x 0是 f （ x ）的驻点，又 f （ x 0） = 0, 故 f （x0）是f （ x ）的极小值，应选（ B ）。【例】 求函数 y = 2 x 3 + 3 x2 - 12x + 14 在 -3 , 4 上的最大值与最小值。【解】 f （ x ）=2x3 + 3x2 12x +14 , f （x ） = 6x 2+6x 12 = 6 （x + 2）（ x -1）。令f （x） = 0, 得x1= -2, x 2= 1.算出f （ -3 ） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f （ 1 ） = 7 , f （4） = 142, 故最大值为 f （4 ） = 142 ,最小值为 f （1） = 7 。【例】 若 f （x）在（ a , b ）内满足 f （ x ） 0 ，则曲线 y = f （x）在（ a , b ）内是 （ A ）单调上升且是凹的 （ B ）单调下降且是凹的 （ C ）单调上升且是凹的 （ D ）单调下降且是凸的 【 解 】 由 f （x ）0及函数单调性的判定法， 知曲线是单调下降的。又由 f （x） 0 及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，故选（ B ）6、函数的几个特性 ( 1 ）函数的有界性：设函数 f （x）的定义域为 D ，数集 X D ，若存在正数 M ，使 M ，xX,则称f（ x ）在X上是有界的，如果对于任何正数M，总存在x1X,使M，则称函数f(x)在X上无界。（2）函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间ID,如果对于区间I上任意两点 xl 和 x2 , ，当 xl x2时，恒有 f (xl ) f ( x2) ，则称函数 f （x）在区间上是单调减少的。 ( 3 ）函数的奇偶性：设函数f（x）的定义域 D 关于原点对称，如果对于任一x D ，恒有 f （- x ) = f (x），则称 f ( x ) 为偶函数。如果对于任一x D ，恒有 f （- x ) =- f (x），则称 f ( x ) 为奇函数。（4）函数的周期性：设函数 f （x）的定义域为 D ，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一x D ，有 x 士 l D 且恒有 f （x士l）= f ( x ) ，则称 f ( x ）是以 l 为周期的周期函数，这里通常取最小正周期. 7、函数 f （ x ）当（或）时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即函数的间断点由函数在一点连续的定义可知,函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是:（ 1 ） f （ xo ）有定义； （ 2 ） 存在； （ 3 ） 若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在 x 0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：第一类间断点： x0是f （ x ）的间断点，但f （x0-）及f （x0+）均存在；第二类间断点：不是第一类的间断点。在第一类间断点中，若 均存在但不相等,则称这种间断点为跳跃间断点；若 f （ x0-） , f （ xo + ）均存在而且相等，则称这种间断点为可去间断8、闭区间上连续函数的性质设函数 f （ x ）在闭区间 a ，b上连续，则（ l ） f （ x ）在 a ，b上有界（有界性定理） ;（ 2 ） f （ x ）在 a ，b上必有最大值和最小值（最大值最小值定理） ; （ 3 ）当 f （ a ） f （b） 0 时，具有极值f（x0,y0），且当 A 0 时， f（x0,y0）为极小值； （2）当 AC-B 2 0 )连续且为偶函数，则( 2 ）若 f （x）在- a , a （ a 0 )上连续且为奇函数，则5二重三重积分 利用极坐标直角坐标和极坐标的关系是（2）利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的关系是利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系是（1）计算，其中D是由抛物线，y2 = x及直线y = x - 2 所围成的闭区域。【 解 】 两曲线的交点是（ 1，- 1 ）、（ 4 , 2 ）。积分区域 D （图 1-3-4 ）可表成从而（2）计算三重积分，其中为三个坐标面及平面x + 2y + z =1 所围成的闭区域。【 解 】 积分区域而于是6. 四、平面曲线积分格林公式（1）对弧长的曲线积分的概念与性质第一类曲线积分的计算法设 f ( x ，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为在a，上具有一阶连续导数，且【例】 计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度 1 ）。【解】 取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则 L 的参数方程为于是2 第二类曲线积分的计算法设函数P（x， y ) , Q ( x ，y)在有向曲线弧 L 上连续, L的参数方程为.当t单调地由a变到时，点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B ，在 a ，或 ,上具有一阶连续导数，如果有向曲线 L 由方程 y = y (x ）给出（x： a b ) ，则有定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P（ x ，y）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。四 无穷级数1.（ l ）收敛准则：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和有界。（ 2 ）比较审敛法：设、vn为正项级数，对某个 N 0 ，当n N 时， 0unCvn（ C 0 为常数）。若vn收敛，则收敛；若发散，则vn发散。比较审敛法的极限形式：若l（vn0 ) ，则当0 l 十 时，和vn同时收敛或同时发散。（ 3 ）比值审敛法：设为正项级数，若 = l ，则当l 1 或 l = +时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。（ 4) 根值审敛法：设为正项级数，若= l,则当l 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散（5）若级数为任意项级数，而级数un收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，而un发散，则称级数条件收敛。（ 6 ）莱布尼兹判别法：若交错级数（- l ） n u n（ u n 0 ）满足： 1 ）u n u n+1（n 1 , 2 ） ; 2 ） u n = 0 ，则级数（- 1 ）nun收敛，且有余项rn u n+1（n 1 , 2, ）（ 7 ）若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛。（ 8 ）设为任意项级数，若 = l （或 l ） ，则当l 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。【 例】 判别级数sin 的收敛性。【解】 级数 sin 为正项级数，因为而级数发散（p-级数，p=1的情形，根据比较审敛法的极限形式知此级数发散 .【 例】 判别级数的收敛性。 【 解 】 所给级数为正项级数，因为根据比值审敛法知所给级数发散。【 例】 判别级数的收敛性。 【 解 】 所给级数为正项级数，因为根据根值审敛法知所给级数收敛。注意对正项级数来说，部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 【 例】级数的收敛性是（ A ）发散 （ B ）条件收敛 （ C ）绝对收敛 （ D ）无法判定【 解 】 按莱布尼兹判别法知，级数收敛；级数是 p -级数的情形，p 1 ，故级数发散，因此应选（ B ）。2 幂级数的收敛半径及其求法若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数 R ，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个 R 称为幂级数的收敛半径；若幂级数只在 x = 0 处收敛，则规定收敛半径 R = 0 ；若幂级数对一切 x 都收敛，则规定收敛半径对幂级数若则它的收敛半径3 幂级数的性质若幂级数的收敛半径为 R ，则称开区间（- R , R ）为幂级数的收敛区间，根据幂级数在 x R 处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：（- R , R ）、- R , R ）、（- R , R 、- R , R 之一。幂级数具有以下性质：（ l ）幂级数的和函数在其收敛域上连续；（ 2 ）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。4.泰勒级数 (1 )泰勒级数的概念若 f （ x ）在点 x0处具有各阶导数，则幂级数称为函数f （ x ）在点 x0处的泰勒级数，特别当x0 = 0 时，级数称为函数 f （ a ）的麦克劳林级数。(2 )函数展开成泰勒级数的条件设函数 f （x）在点 x0的某邻域 U （ x0）内具有各阶导数，则 f （ x）在该邻域内能展开成泰勒级数（即 f （ x ）的泰勒级数收敛于 f （ x ）本身）的充分必要条件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余项（其中）(3) 常用函数的幂级数展开式【例】 幂级数的收敛域是（ A ） （- 1 ,l ）（ B ）（- l , 1 ）（ C ） （- l , l ） （ D ） （- l , 1 【 解 】 易知级数收敛半径 R = l ，当 x - 1 时，级数，当x = 1时，级数收敛，故应选（ D ）。（ A ）条件收敛 （ B ）绝对收敛（ C ）发散（ D ）收敛性不能确定【 解 】 由的结构知其收敛区间的中心为x = 1，已知 x = -1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为 R ，则，而 x = 2 与收敛区间中心x 1的距离为 1 , 1 R ，由幂级数的收敛性（阿贝尔定理）知，此级数在 x = 2 处绝对收敛，故应选（ B ）。【 例】将函数展开成（x 3 ）的幂级数。【 解 】 因为而因此5、傅立叶级数1 傅立叶系数和傅立叶级数设 f （ x ）是周期为 2 的周期函数，则下面公式中出现的积分都存在，则系数 a0，a1, ,bl 叫做函数 f （ x ）的傅立叶系数，级数叫做函数 f （ x ）的傅立叶级数。2 狄利克雷收敛定理设 f （ x ）是周期为 2 的周期函数，如果它满足条件： （ 1 ）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；（ 2 ）在一个周期内至多只有有限个极值点，则 f （ x ）的傅立叶级数收敛，且当 x 是f （ x ）的连续点时，级数收敛于f（ x ） ；当 x 是f（ x ）的间断点时，级数收敛于（二）正弦级数和余弦级数1 正弦级数若 f （ x ）是周期为 2 的奇函数，则它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数2 余弦级数若 f （ x ）是周期为 2 的偶函数，则它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数（三）周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数设 f （ x ）是周期为2l的周期函数，则它的傅立叶系数为而它的傅立叶级数为（四）例题【 例 1 - 4 14 】 设f（ x ）是周期为 2 的周期函数，它在 -，），上的表达式为问 f （ x ）的傅立叶级数在 x -处收敛于何值。【 解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件，x -是函数的间断点，按收敛定理它的傅立叶级数在 x -处收敛于【 例1- 4 15】 将函数展开成傅立叶级数。【 解 】 将函数在外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函数，故由于 f 在区间-，满足收敛定理的条件，在 -，上连续，且 f （）= f -（），因此在区间-，上，有第五节 微分方程1.微分方程的解、通解微分方程的解是一个函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于n阶微分方程那么函数就称为微分方程（ 1 - 5 - l ）在区间 I 上的解。如果二元代数方程所确定的隐函数是某微分方程的解，那么称为该微分方程的隐式解。含有n个独立的任意常数的微分方程的解，称为n阶微分方程的通解。2.初始条件与特解能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条件为；二阶微分方程的初始条件为，。通解中的任意常数全都确定后，就得到一个确定的解，称为微分方程的特解。【 例】验证函数是微分方程的通解。【 证 】代入方程有所给方程是二阶的，所给函数中恰好含 Cl 、 C2 两个任意常数，且因常数，故这两个任意常数不能合并成一个，即它们是相互独立的，因此所给函数是所给方程的通解。二、可分离变量的方程一阶微分方程称为可分离变量的方程。把式中的 y 和 dy 归入方程的一端，x 和 dx 归入另一端，成为这一步骤称为分离变量。分离变量后，两端可分别积分设 g （y）、 f （ x ）的原函数依次为 G （y）与 F（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解【 例】xOy平面上一条曲线通过点（ 2, 3 ） ，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求它的方程。【 解 】 设曲线上任一点为（ x ，y），依题意，曲线在点（x，y）的切线在两坐标轴上的截距应为 2x 及 2y , （图 1-5-1 ） ，切线斜率为，因此有初始条件为x 2 时 y = 3 。分离变量得积分得以初始条件代入得 C1 = 6 ，故所求曲线方程为3.齐次方程4、一阶线性方程方程（1-53）称为一阶线性方程。当时，式（ 1 - 53 ）称为线性齐次方程；当时，式（ 1 - 53 ）称为线性非齐次方程。线性齐次方程是一个变量可分离的方程。经分离变量并积分，即得通解为解非齐次方程（ 1-5-3 ) ，可作变换，代入方程得整理得积分得于是得方程（ 1-5-3 ）的通解1求方程的通解。【解 】 利用一阶线性方程的通解公式（ 1-5-4 ）来求解，为此，把所给方程写成标准形式这里代入公式，得求方程的通解。积分因子法2已知微分方程的一个特解为，则此微分方程的通解是【解 】 原方程对应的齐次方程的通解为根据线性方程解的结构可知原微分方程的通解为故应选（ C ）。全微分方程例题：几种可降阶的方程这类方程可直接积分，积分一次得即把原方程降低一阶。积分 n 次，即可得通解这是不显含 y 的二阶方程，令，则，代入即得这样就把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，则原方程的通解为这是不显含 x 的二阶方程，令，则代入方程得即把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，即，分离变量并积分得原方程的通解为（四）例题1求方程的通解。【 解 】 这是不显含 y 的方程，令，则，代入方程，得一阶线性方程利用通解公式（ 1-5-4 ) ,有积分得2求微分方程满足初始条件的解。【 解 】这是不显含 x 的方程。令，则，代入方程得积分得由 y = 1 时 p = 2 ，得 Cl = 0 ，且知负号不合，故积分得由得 C2 = 4 ，于是所求特解为线性微分方程解的性质及解的结构定理设有二阶齐次线性方程则有例题写出该方程的通解二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程的一般形式是称为微分方程的特征方程，特征方程的根称为特征根。按特征根的情况，可直接写出方程的通解如下：例题1例题2