2016物理学会竞赛夏令营讲义：静电场

第一讲 静电场（一）知识点：电荷守恒定律、库仑定律、电场强度 电场线、点电荷的场强、场强叠加原理、匀强电场、均匀带电球壳内、外的场强公式(不要求导出)、高斯定理及其在对称带电体系中的应用、电势和电势差 等势面、点电荷电场的电势、电势叠加原理、均匀带电球壳内、外的电势公式、电场中的导体 静电屏蔽、静电镜像法、电容 平行板电容器的电容公式、球形、圆柱形电容器的电容、电容器的联接、电荷体系的静电能、电场的能量密度、电容器充电后的电能、电偶极矩、电偶极子的电场和电势、电介质的概念（电介质的极化与极化电荷电位移矢量）一、电场强度1、实验定律a、库仑定律b、电荷守恒定律c、叠加原理2、电场强度a、电场强度的定义 b、高斯定理 静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）S的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以0，与面外的电荷无关。（电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为，为截面与电场线的夹角。)高斯定理的数学表达式为：c、不同电场中场强的计算点电荷：E = k均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E = ，其中r和R的意义见上图。均匀带电球壳内部：E内 = 0外部：E外 = k ，其中r指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R1 、外径R2），在壳体中（R1rR2）：E = ，其中为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解即为上图中虚线以内部分的总电量。无限长均匀带电直线（电荷线密度为）：E = 无限大均匀带电平面（电荷面密度为）：E = 2k 电偶极子的电场二、电势1、电势概念2、典型电场的电势a、点电荷以无穷远为参考点， = kb、均匀带电球壳以无穷远为参考点，外 = k ，内 = k3、电势的叠加 电偶极子的电势4、电场力对电荷做功 WAB = q（UA UB）= qUAB 三、静电场中的导体1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽内屏蔽外屏蔽 3、电像法四、电容1、电容器2、电容a、定义式 C = b、决定式平行板电容器 C = = ，其中为绝对介电常数（真空中0 = ，其它介质中= ），r则为相对介电常数，r = 。柱形电容器：C = 球形电容器：C = 3、电容器的连接a、串联 = + +b、并联 C = C1 + C2 + C3 + + Cn 4、电容器的能量 5、电场的能量五、电介质的极化1、电介质的极化a、电介质分类b、电介质的极化2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷a、束缚电荷与自由电荷b、极化电荷、宏观过剩电荷第二讲 静电场（二）一、场强和电场力1、试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。2、半径为R的均匀带电半球面，电荷的面密度为，试求球心处的电场强度。3、有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为 ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O点，半径为R，= a ，如图所示，试求空腔中各点的场强。二、电势、电势能与电场力的功 1、如图，电场线从正电荷q1出发，与正点电荷及负点电荷的连线成角，则该电场线进入负点电荷q2的角度是多大？ 2、如图所示，已知半球体球面上均匀带正电，半径为R。现将半球体沿图中虚线分成两半，并将它们移至很远的地方，设分开后球上仍然均匀带电，则球冠在A产生的场强E1和球台在A产生的场强E2的方向如何？大小关系如何？ 3、如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。4、如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。5、如图所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。6、如右图中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是abc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？7、电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。8、如图所示，A、B两点相距2L ，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？ 9、两个点电荷产生的电势如图所示。（1） 判断电荷 Q1、Q2正负，比较Q1、Q2的大小。（2） 已知x0，U0 ，求 Q1 、Q2 这两个电荷所在位置。 10、测量空间某点电场强度与时间的关系，得到如图所示图像。电场是由两个相同点电荷产生的，其中一个点电荷不动且与观察点距离为d，另一个点电荷以恒定速度运动。求两个电荷电量，运动电荷到观察点最近距离及运动电荷的速度11、在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？12、如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。三、电场中的导体和电介质1、两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1 ，B板带尽电量+Q2 ，且Q2Q1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。2、如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。3、一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。 4、一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧离板d的A处放置一个负电荷q，求静电平衡后：d-qA(1)板上感应在导体内任意一点P产生的场强；(2)感应电荷在导体外任意一点P处产生的场强；(3)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；(4)求-q所受的库仑力；(5)若切断接地线后，将+Q放在导体板上，+Q将怎样分布？ 5、点电荷q的电场中放入一个半径为R的接地导体球，从q到该球球心的距离为l，求导体球对点电荷q的作用力. 6、设有一对电荷，带电量分别为-q1和+q2，相隔一段距离。其中q1、q2为正值，且q1q2 ，不失一般性，可以认为q2q1 。试找出电势为零的等势面。四、电容器的相关计算1、由许多个电容为C的电容器组成一个如图所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C，可使整个网络的A、B两端电容也为C？（2）不接C，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？2、在右图所示的电路中，已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1F ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2F ，C8 = C10 = 3F ，试求A、B之间的等效电容。3、如图所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势1 = 3.0V ，2 = 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao 、Ubo和Uco各为多少。4、如图所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a、b为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在ab间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？