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1.2.1 函数的概念 教学设计云南省玉溪第一中学 王加平一、教材分析：本节内容为1.2.1函数的概念 ，是人教A版高中数学必修一1.2函数及其表示的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如： 对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么但用集合、对应的观点来解释，就十分自然函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法二、学情分析：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.三、教学目标:(一)知识与技能理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素.（二）过程与方法通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华.（三）情感、态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美.四、教学重点与难点：（一）教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数.（二）教学难点函数概念的理解及符号“”的含义.五、教学策略:首先，通过魔术表演，体现函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性；其次，在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例，从解析法、图象法、列表法等不同的方式，结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识，为学生用集合与对应的语言刻画函数打下感性基础；再次，分析讲解函数概念中的关键点时，对于对应关系、函数关系中多对一的情况、值域是集合B的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验，让抽象问题具体化；最后，通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景，用集合与对应的语言来分析函数并强调函数关系中对应关系的方向.六、教学基本流程：三、探索新知（分析教材三个实例中变量的共性）感受用集合与对应的语言描述.二、复习回顾（初中函数定义）强调运动变化的过程.四、新课讲解（给出函数概念）强调、分析概念中的关键点.一、情景引入（魔术表演）感受生活中的函数关系.七、情景再现（揭示魔术设计的技巧性）感受函数概念中 “唯一确定”的必要性.六、巩固新知(拓展三个实例)辨析函数概念，强调对应关系的方向，感受用集合与对应语言描述函数的必要性.五、实验操作（放乒乓球实验）体会函数概念中抽象的关键点，强调初、高中对函数定义本质是一样的，只是出发点不同.缚.用集合与对应的语言来描述函数可以摆脱物理运动的束缚.八、课堂小结（展示课堂流程）感受课堂设计中所蕴含的基本思想.七、教学情景设计：教学流程教学内容设计意图师生活动一、情景引入魔术表演感受函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性.师：让学生任意抽取一张标有数字的卡片，给定学生计算法则，在学生的配合下，推算出所抽到的卡片.生：按照老师给定的对应法则进行计算，准确告诉老师最终计算结果.教学流程教学内容设计意图师生活动二、复习回顾阐述初中课本中函数的定义.巩固旧知识，为本节课知识迁移埋下伏笔，做好衔接准备.师：提问初中函数的定义.生：回顾初中函数的定义.师:强调初中函数的概念是从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.三、探索新知（1）对教科书中的实例1，让学生思考以下两个问题：根据初中函数的定义，分析高度量是否为时间变量的函数？用集合描述变量和的变化范围分别是什么？（2）用集合与对应的语言描述变量和的关系.从案例1中找出函数可以用解析式来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力。通过对两个问题的的思考，巩固初中函数的定义，为初高中从不同角度刻画函数关系做好铺垫.通过启发学生用集合与对应的语言表述变量之间的依赖关系，让学生感性点地认识用集合与对应的语言描述函数关系.师：分析实例1，提出问题并让学生讨论.生：根据初中函数的定义，给出高度变量为时间变量的函数的理由.同时用集合描述变量和的变化范围.师：启发学生用集合与对应的语言表述变量之间的依赖关系.对教科书中的实例2，让学生思考以下两个问题: 用集合描述变量和的变化范围分别是什么？仿照实例1，用集合与对应的语言描述变量和的关系.从案例2中找出函数可以用图象来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力。通过对两个问题的的思考，让学生感性地认识用集合与对应的语言描述函数关系.师：分析实例2，提出问题并让学生讨论.生：用集合描述变量和的变化范围. 仿照实例1，用集合与对应的语言描述变量和的关系.对教科书中的实例3，让学生思考以下两个问题: 用集合描述变量和的变化范围分别是什么？仿照实例1、2，用集合与对应的语言描述变量和的关系.从案例3中找出函数可以用列表来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力。通过对两个问题的的思考，让学生感性地认识用集合与对应的语言描述函数关系.师：分析实例3，提出问题并让学生讨论.生：用集合描述变量和的变化范围. 仿照实例1、2，用集合与对应的语言描述变量和的关系.教学流程教学内容设计意图师生活动三、探索新知研讨探究：分析、归纳三个实例中，变量之间关系的共同点.概括出函数的定义师：让学生分组讨论三个实例中，变量之间关系的共同点.生:概括出三个实例中，变量之间关系的共同点.四、新课讲解一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.师：强调、分析概念中的关键点.A，B是非空的数集；对应关系可以通过解析式、图象、列表来表示；任意、存在、唯一；符号“”的含义；函数三要素：定义域A、值域、对应关系.五、实验操作动一动：请将A盒子中的所有乒乓球放入B盒子中.思考：A中的乒乓球和B中的格子都标有数字，可以把A,B看成两个非空数集，那么每一种放法是从A到B的一个函数吗？若是，它的值域是什么？通过放乒乓球的实验，将函数概念中：对应关系；函数关系中多对一的情况；值域是集合B的子集.等较为抽象的问题题具体化，生活化.师：启发学生思考每一种方法实质就是一个对应关系，通过对应关系，可以出现多对一，但不可一对多，同时，通过实验结果理解值域是集合B的一个子集.生：小组合作讨论每一种放法是否为从集合A到集合B的一个函数.若是，则求它的值域.师：强调初、高中对函数定义本质是一样的，只是出发点不同，用集合与对应的语言来描述函数可以摆脱物理运动的束缚.教学流程教学内容设计意图师生活动六、巩固新知例1:拓展实例1，抛开炮弹运动变化的背景，保持集合A和对应关系不变，分别缩小和扩大集合B，辨析对应关系是否为从集合A到集合B的函数，若是，值域是什么？集合A，B和对应关系都不变，辨析对应关系是否为从集合B到集合A的函数.例2: 拓展实例2，抛开臭氧层空洞面积S随时间t的变化的背景，辨析对应关系是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.例3: 拓展实例3，抛开恩格尔系数r随时间t的变化的背景，辨析对应关系是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.例4：下列集合A到集合B的对应f中：A=-1,0,1,B=-1,0,1,f:A中的数的平方；A=0,1,B=-1,0,1,f:A中的数开方；A=R,B=正实数,f:A中的数取绝对值；是从集合A到集合B的函数为： 辨析函数概念，强化值域的定义，感受用集合与对应语言描述函数的必要性，强调对应关系的方向.体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，实现感性认识到理性认识的升华.师：启发学生抛开物理运动的背景，利用集合与对应的语言描述函数关系.同时，让学生感受用集合与对应语言描述函数的必要性.并通过实例的拓展强调对应关系的方向.生：结合函数的定义，利用集合与对应的语言描述函数关系，感受用集合与对应语言描述函数的必要性.教学流程教学内容设计意图师生活动七、情景再现揭示魔术设计的技巧：由于魔术需要进行逆推，所以设计时尽量选择一对一的函数模型，有意回避多对一的函数模型.揭示魔术设计的技巧性，感受函数概念中 “唯一确定”的必要性，实现感性认识到理性认识的升华.师：揭示魔术设计的技巧.生：结合函数的概念，感受魔术设计的技巧性,体会函数在实际生活中的运.八、课堂小结学生交流：这一节课你有哪些收获呢？老师总结：函数的概念：函数的传统定义（运动变化的角度）函数的近代定义（集合与对应的角度）课堂设计思路：1、从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；2、实现从感性认识到理性认识的升华；3、化抽象为具体，化数学为生活的思想.通过同桌交流本节课的收获，培养学生的合作、沟通、交流的意识，增加学生的自信心，促进学习的积极性.通过老师总结，让学生感受课堂设计中所蕴含的基本思想，增强对函数概念的理解.师：让学生同桌交流本节课的收获.生：相互交流收获.师：总结课堂设计思路.九、课后作业课后作业：1、习题 1.2 B组 第1题.2、阅读课本26页阅读材料函数概念的发展历程，以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会.巩固函数的概念，感受数学文化.师：布置作业，强调作业要求.7
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