【数学】云南师大附中2018届适应性月考卷(4)试题(理)(解析版)

云南师大附中 2018 届适应性月考卷 4 数学试题 理 一 选择题 1 已知集合 则 为 2 30 4AxBx CABR A B C D 1 4 1 1 0 4 2 已知复数 则 2345i iz z A 0 B 1 C D 3 3 在 中 若原点到直线 的距离为 1 则此三角形为 sinisn0 xAyBC A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 4 已知点 是 所在平面内一点 为 边的中点 且 则 OCD30OABC A B 12D 23AO C D 5 已知 是定义在 上的奇函数 且满足 当 时 fxR 2fxf 2 0 x 则 等于 2 14f A B C 1 D 11 6 宋元时期数学名著 算学启蒙 中有关于 松竹并生 的问题 松长五尺 竹长两尺 松日 自半 竹日自倍 松竹何日而长等 如图是源于其思想的一个程序框图 若输入的 分别 ab 7 3 则输出的 n A 6 B 5 C 4 D 3 7 已知 是函数 的零点 若 则 的值满足 0 x 3logxf 0mx f A B fm0fm C D 的符号不确定0f f 8 如图为一几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A B C D 462 642 682 8 9 若将函数 的图象向左平移 个单位 平移后所得图 3sin2cos20fxxx 4 象的对称中心为点 则函数 在 上的最小值是 0 g 23 A B C D 32 3212 1 10 已知一个几何体下面是正三棱柱 其所有棱长都为 上面是正三棱锥 它1ABCa1SABC 的高为 若点 都在一个体积为 的球面上 则 的值为 a SA43 A B 1 C D 123 51 11 已知数列 满足 是其前 项和 若 其 na 21 2 nn nS A2017Sb 中 则 的最小值是 10b 123b A B 5 C D 56 26526 12 设过曲线 为自然对数的底数 上任意一点处的切线为 总存在过曲线 xfea e 1l 上一点处的切线 使得 则实数 的取值范围为 12sinagx 2l12l a A B C D 1 2 1 2 2 1 第 卷 二 填空题 13 圆 关于直线 对称的圆的标准方程为 215xy yx 14 二项式 的展开式中 项的系数为 则 82mx 24m 15 已知实数 满足约束条件 则 的取值范围是 y 40135xy 21zxy 16 空间点到平面的距离定义如下 过空间一点作平面的垂线 这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个 平面的距离 已知平面 两两互相垂直 点 点 到 的距离都是 2 点 是 上的动点 A P 满足 到 的距离是 到点 距离的 2 倍 则点 的轨迹上的点到 的距离的最大值是 PAP 三 解答题 17 在各项均为正数的等比数列 中 是 与 的等差中项 若 na134 a 2 4a12nba 1 求数列 的通项公式 nb 2 若数列 满足 求数列 的前 项和 nc121nnab A ncnS 18 如图 在平面四边形 和 都是等腰直角三角形且 正方形ABEF AFE09AFEB 的边 ABCD 1 求证 平面 EFBC 2 求二面角 的余弦值 DA 19 甲乙两人进行跳棋比赛 约定每局胜者得 1 分 负者得 0 分 若其中的一方比对方多得 2 分或下满 5 局 时停止比赛 设甲在每局中获胜的概率为 乙在每局中获胜的概率为 且各局胜负相互独立 3525 1 求没下满 5 局甲就获胜的概率 2 设比赛结束时已下局数为 求 的分布列及数学期望 20 已知函数 1lnfxabx 1 若 则当 时 讨论 的单调性 24ab 2a fx 2 若 且当 时 不等式 在区间 上有解 求实数 的取值 Fxfx 2 2Fx 0 a 范围 21 已知椭圆 的左 右焦点分别是 其离心率 点 为椭圆上 2 10 xyCab 12 2e E 的一个动点 面积的最大值为 3 12EF 1 求椭圆 的标准方程 2 已知点 过点 且斜率不为 0 的直线 与椭圆 相交于 两点 直线 52 1 0AD 3 0BlC PQAP 与 轴分别相交于 两点 试问 是否为定值 如果 求出这个定值 如果不是 请说Qx MNDNA 明理由 请考生在 22 23 两题中任选一题作答 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中 直线 的参数方程为 为参数 以坐标原点 为极点 xOyl 23xty O 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 x C2sin 1 求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程 l 2 设曲线 与直线 交于 两点 若点 的坐标为 求 Cl ABP 2 3PAB 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 若不等式 的解集为 3fxt 2fx 1 3x 或 1 求实数 的值 t 2 若 对一切实数 恒成立 求实数 的取值范围 1fxfm xm 参考答案 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A B B D B D C A D C 解析 1 故 故选 A 13 Ax R 14 AB R 2 因为 故选 C ii 2zz 3 由已知 故三角形为直角三角形 故选 A 2222222 sin 1sinisinCABcabAB 因为 为 边的中点 故选 B D 33ODOD 5 由 知 的周期为 4 又 是定义在 上的奇函数 故 2 fxf fx fxR 故选 B 114 01 22ffff 6 时 不满足 时 不满足 时 n 26ab ab n634ab ab 3n 18924ab 满足 输出 故选 D 3n 7 函数 在 是增函数 故零点是唯一的 又 则 故选3 log xf 0 0mx 0 ffx B 8 由三视图知 该几何体下面是三棱柱 上面是三棱锥 故其表面积为 故选 D 111212222862S 9 所以将 的图象向左平移 个单位后 得到 3sin cos sin6fxxxx fx 4 的图象 其对称中心为点 2si 2s46h 02 co03 又 23x 263x 的最小值是 故选 C gx 12 10 设外接球 的半径为 下底面 外接圆 的半径为 则ORAB 1Or 34 1VR 又 故选 A 32sin60arra 112Sa 2232 1 13aa 11 由题意 以上各式相加得 又325420176608 20178S 当且仅当 时201711 Sbab 1111 332 556abaab 132ab 等号成立 故选 D 12 设 的切点为 的切点为 由题意 yfx 1 xy gx 2 e1 2cos xxyfgax 对任意 存在 使得 对任意 均有解 故1 R2 1 122ecos1cosx xaa 1x R2 对任意 恒成立 则 对任意 恒成立 又1 2exa 1x R1ex 1 故选 C 1 0 2012x aa 且 二 填空题 题号 13 14 15 16 答案 22 1 5xy 1 4107 23 解析 13 由题意所求圆的圆心坐标为 所以所求圆的标准方程为 01 22 1 5xy 14 令 得28 81631 C C 2 rrrrrrrrTmxmx AAr 5538 41 A 15 由不等式组所表示的平面区域知 点 到点 的距离最大 故 0 P 21 22max 1 0 1z 点 到直线 的距离最小 即 所以 的取值范围 10 P 420 xy 2min2 40 47 z 2 zy 是 47 16 条件等价于在平面直角坐标系中有点 存在点 到 轴的距离为该点到 点距离的 2 倍 求 2 A PyA 该点到 轴的距离的最大值 设 由题意得 整理得 x x 2 xy 所以所求最大值为 2181623y 23 三 解答题 17 解 设等比数列 的公比为 且 naq0 由 得 1304na 2 又 是 与 的等差中项 32 4a 故 或 舍 23242qq A 0 所以 21naq 1 nbna 由 得 1211112 2 2nnnncab n A 所以数列 的前 项和 nc2111352nnS n 1 1 2 2nn 18 证明 正方形 中 ABCDAB 又 且 所以ADF EF平 面 又 BCABEFC 平 面 因为 和 都是等腰直角三角形 AE 所以 4590FBEF 即 且 E C 所以 FBE平 面 解 因为 ABE 是等腰直角三角形 所以 AEB 又因为 所以 ADF 平 面 AD 即 AD AB AE 两两垂直 建立如图所示空间直角坐标系 设 AB 1 则 AE 1 01 0 1 0 BEC 102F 设平面 BDF 的一个法向量为 1 nxyz 1 003 10 3122xynBDBDBF zF A 可得 1 3 n 取平面 ABD 的一个法向量为 2 01 n 则 12123cos nn A 故二面角 的余弦值为 FBDA 31 19 解 没下满 局甲就获胜有两种情况 5 两局后甲获胜 此时 1 392P 四局后甲获胜 此时 123108C5625 所以 没下满 5 局甲就获胜的概率 12 93 P 由题意知 的所有取值为 则 45 3213 5P 11222156 4 CC55 1122334 5 C5562P 的分布列为 2 4 5P135621462 13564924262E 20 解 函数 的定义域为 由 得 fx 0 24ab 1 ln 42 1fxaaxx 所以 2 2 1 1 4aaxfx 当 时 在 内单调递减 4 0f fx0 当 时 或 2a 11 022f fxxa a 所以 在 上单调递减 在 上单调递增 fx 0 当 时 或 4a 11 022fxfxaa x 所以 在 上单调递减 在 上单调递增 fx 0 由题意 当 时 在区间 上的最大值 2a Fx 02 max 2F 当 时 1b 11 lnlnFxax 则 2 02 ax 当 时 2a 214 0axF 故 在 上单调递增 Fx0 max 2 F 当 时 设 的两根分别为 2a 2210 40 xa 12x 则 所以在 上 1212120 xx A 21 0axF 故 在 上单调递增 F max F 综上 当 时 在区间 上的最大值 2a x 02 max 1 2 ln2F 解得 所以实数 的取值范围是 1ln a1ln2 21 解 由题意知 当点 是椭圆的上 下顶点时 的面积最大 E12EF 此时 的面积 12EF 2123Scbac A 又椭圆的离心率 2 ea 由 得 22263cb 所以 椭圆 的标准方程为 C 216xy 设直线 的方程为 则l 123 mPQxy 直线 的方程为 则 即 AP 1 2 yx 10My 1 2 30myM 同理可得 2 301myN 由 得 236xmy 2 630ym 由 得 且 2231 0 21212263myy 所以 123 355 mDMNyy AA 22 21122 226 1 1 34 44mmyym 故 为定值 DMNA4 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 由直线 的参数方程 得直线 的普通方程为 l 23xty l 230 xy 由 得 配方得 23sin 20 xy 22 3 xy 即曲线 的直角坐标方程为 C 22 3 将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 得 l C 223tt 即 210tt 因为 所以可设 是点 所对应的参数 则 12t AB 1212tt A 又直线过点 所以 3 P 1212 Ptt 23 选修 4 5 不等式选讲 解 由 得 解得 或 2fx 3 2t 23tx 2tx 由题意 213t 所以 1t 由 知 31 fx 所以 1 2 4 32 4 6fxfxx 当且仅当 时等号成立 所以 43 6m 故实数 的取值范围为 m 6