2018年高考数学新课标3理科真题及答案

1 1 2018 年新课标 理 已知集合 A x x 1 0 B 0 1 2 则 A B A 0 B 1 C 1 2 D 0 1 2 C 解析 A x x 1 0 x x 1 则 A B x x 1 0 1 2 1 2 2 2018 年新课标 理 1 i 2 i A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i D 解析 1 i 2 i 2 i 2i i 2 3 i 3 2018 年新课标 理 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹 进部分叫卯眼 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A B C D A 解析 由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 小的长方体是榫头 从图形看出轮廓是长方形 内含一个长方形 且一条边重合 另外 3 边是虚线 故选 A 4 2018 年新课标 理 若 sin 则 cos 2 13 A B C D 89 79 79 89 B 解析 cos 2 1 2sin 2 1 2 19 79 5 2018 年新课标 理 5 的展开式中 x4 的系数为 A 10 B 20 C 40 D 80 2 C 解析 5 的展开式的通项为 Tr 1 C x2 5 r r 2 rC x10 3r 由 10 3r 4 解得r5 r5 r 2 5 的展开式中 x4 的系数为 22C 40 25 6 2018 年新课标 理 直线 x y 2 0 分别与 x 轴 y 轴交于 A B 两点 点 P 在圆 x 2 2 y 2 2 上 则 ABP 面积的取值范围是 A 2 6 B 4 8 C 3 D 2 3 2 2 2 2 A 解析 易得 A 2 0 B 0 2 AB 2 圆的圆心为 2 0 半径 r 圆心 2 0 到2 2 直线 x y 2 0 的距离 d 2 点 P 到直线 x y 2 0 的距离 h 的取值范 2 0 2 12 12 2 围为 2 r 2 r 即 3 又 ABP 的面积 S AB h h S 的取值范围是2 2 2 2 12 2 2 6 7 2018 年新课标 理 函数 y x 4 x 2 2 的图象大致为 A B C D D 解析 函数过定点 0 2 排除 A B 函数的导数 y 4x 3 2x 2x 2x 2 1 由 y 0 解得 x 或 0 x 此时函数单调递增 排除 C 故选 D 8 2018 年新课标 理 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p 各成员的支付方式 相互独立 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数 DX 2 4 P X 4 P X 6 则 p 3 A 0 7 B 0 6 C 0 4 D 0 3 B 解析 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p 为独立重复事件 满足 X B 10 p 由 P X 4 P X 6 可得 C p4 1 p 6 C p6 1 p 4 解得 p 因为410 610 12 DX 2 4 所以 10p 1 p 2 4 解得 p 0 6 或 p 0 4 舍去 9 2018 年新课标 理 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 ABC 的面积为 则 C a2 b2 c24 A B C D 2 3 4 6 C 解析 S ABC absin C 则 sin C cos C 因为 0 C 所 12 a2 b2 c24 a2 b2 c22bc 以 C 4 10 2018 年新课标 理 设 A B C D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点 ABC 为等边三 角形且面积为 9 则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 3 A 12 B 18 C 24 D 543 3 3 3 B 解析 由 ABC 为等边三角形且面积为 9 得 S ABC AB 2 9 解得 AB 6 设3 3 半径为 4 的球的球心为 O ABC 的外心为 O 显然 D 在 O O 的延长线与球的交点处 如图 O C 6 2 OO 2 则三棱锥 D ABC 高的最大值为 6 则三棱锥 D ABC 23 3 体积的最大值为 63 18 13 3 11 2018 年新课标 理 设 F1 F2 是双曲线 C 1 a 0 b 0 的左 右焦点 O 是坐标原 x2a2 y2b2 点 过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线 垂足为 P 若 PF 1 OP 则 C 的离心率为 6 A B 2 C D 5 3 2 4 C 解析 双曲线 C 的一条渐近线方程为 y x 点 F2 到渐近线的距离 d b 即 ba PF2 b OP a cos PF2O PF1 OP PF1 a OF2 2 PF2 2 c2 b2 bc 6 6 F 1PF2 中 由余弦定理得 PF1 2 PF 2 2 F 1F2 2 2 PF 2 F1F2 cos PF2O 即 6a2 b 2 4c 2 2 b 2c 4c 2 3b 2 4c 2 3 c 2 a 2 化简得 3a2 c 2 e bc ca 3 12 2018 年新课标 理 设 a log 0 20 3 b log 20 3 则 A a b ab 0 B ab a b 0 C a b 0 ab D ab 0 a b B 解析 a log 0 20 3 b log 20 3 a b lg 0 3 lg 5 lg 0 3lg 2 lg 0 3lg 2 lg 0 3lg 5 ab lg lg lg 0 3 lg 5 lg 2 lg 2 lg 5 lg 0 3lg 2 lg 0 3lg 5 103 0 ab a b 0 故选 B 52 lg 0 3lg 2 lg 5 13 2018 年新课标 理 已知向量 a 1 2 b 2 2 c 1 若 c 2a b 则 解析 2a b 2 1 2 2 2 4 2 由 c 2a b 得 解得 12 14 2 12 14 2018 年新课标 理 曲线 y ax 1 e x在点 0 1 处的切线的斜率为 2 则 a 3 解析 由 y ax 1 e x 可得 y ae x ax 1 e x y x 0 a 1 a 1 2 解得 a 3 15 2018 年新课标 理 函数 f x cos 在 0 的零点个数为 3 解析 令 f x cos 0 得 3x k k Z 解得 x k Z 当 k 0 时 6 2 9 k 3 x 当 k 1 时 x 当 k 2 时 x 当 k 3 时 x x 0 x 或 x 或 9 4 9 7 9 10 9 9 4 9 x f x 的零点的个数为 3 7 9 16 2018 年新课标 理 已知点 M 1 1 和抛物线 C y2 4x 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线 与 C 交于 A B 两点 若 AMB 90 则 k 5 2 解析 抛物线的焦点为 F 1 0 过 A B 两点的直线方程为 y k x 1 联立 化简得 k2x2 2 2 k 2 x k 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y2 4x y k x 1 x1 x 2 x1x2 1 y 1 y 2 k x1 x 2 2 y1y2 k2 x1 1 x 2 1 k 2 x1x2 x1 x 2 4 2k2k2 4k 1 4 M 1 1 x 1 1 y 1 1 x2 1 y 2 1 AMB 90 MA MB 0 0 即 x 1 1 x2 1 y 1 1 y 2 1 0 整理得 x1x2 x 1 x 2 y 1y2 y 1 y 2 MA MB 2 0 1 2 4 2 0 即 k2 4k 4 0 解得 k 2 4k2 4k 17 2018 年新课标 理 等比数列 a n 中 a 1 1 a 5 4a 3 1 求 a n 的通项公式 2 记 Sn为 a n 的前 n 项和 若 Sm 63 求 m 解析 1 设等比数列 a n 的公比为 q 由 a1 1 a 5 4a 3 得 1 q4 4 1 q 2 解得 q 2 当 q 2 时 a n 2 n 1 当 q 2 时 a n 2 n 1 2 当 q 2 时 S n 由 Sm 63 得 63 m N 无 1 1 2 n 1 2 1 2 n3 1 2 m3 解 当 q 2 时 S n 2 n 1 由 Sm 63 得 2m 1 63 解得 m 6 1 1 2n 1 2 18 2018 年新课标 理 某工厂为提高生产效率 开展技术创新活动 提出了完成某项生产任 务的两种新的生产方式 为比较两种生产方式的效率 选取 40 名工人 将他们随机分成两组 每组 20 人 第一组工人用第一种生产方式 第二组工人用第二种生产方式 根据工人完成生 产任务的工作时间 单位 min 绘制了如下茎叶图 1 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 并说明理由 6 2 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m 并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 3 根据 2 中的列联表 能否有 99 的把握认为两种生产方式的效率有差异 附 K 2 n ad bc 2 a b c d a c b d P K2 k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 解析 1 根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在 72 92 之间 第二种生产方式的工作时间主要集中在 65 85 之间 第二种生产方式的工作时间较少 效率更高 2 这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后 排在中间的两个数据是 79 和 81 m 80 79 812 由此填写列联表如下 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 3 K 2 10 6 635 40 15 15 5 5 220 20 20 20 有 99 的把握认为两种生产方式的效率有差异 19 2018 年新课标 文 如图 边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂 CD 直 M 是 上异于 C D 的点 CD 1 求证 平面 AMD 平面 BMC 2 当三棱锥 M ABC 体积最大时 求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值 7 解析 1 证明 在半圆中 DM MC 正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直 AD 平面 DCM CD 又 MC 平面 DCM AD MC 又 AD DM D MC 平面 ADM MC 平面 MBC 平面 AMD 平面 BMC 2 ABC 的面积为定值 要使三棱锥 M ABC 体积最大 则三棱锥的高最大 此时 M 为 圆弧的中点 以 O 为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 正方形 ABCD 的边长为 2 A 2 1 0 B 2 1 0 M 0 0 1 则平面 MCD 的一个法向量为 m 1 0 0 设平面 MAB 的一个法向量为 n x y z 则 0 2 0 2 1 1 AB AM 令 x 1 则 y 0 z 2 n 1 0 2 cos m n m n m n 设面 MAB 与面 MCD 所成的二面角为 则 sin 8 20 2018 年新课标 文 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 A B 两点 线段 AB x24 y23 的中点为 M 1 m m 0 1 求证 k 12 2 设 F 为 C 的右焦点 P 为 C 上一点 且 0 求证 成等差数列 并FP FA FB FA FP FB 求该数列的公差 解析 1 设 A x1 y1 B x2 y2 线段 AB 的中点为 M 1 m x1 x 2 2 y 1 y 2 2m 将 A x1 y1 B x2 y2 代入 1 中 x24 y23 化简得 3 x1 x 2 x1 x 2 4 y 1 y 2 y1 y 2 0 即 6 x1 x 2 8m y 1 y 2 0 k y1 y2x1 x2 68m 34m 点 M 1 m 在椭圆内 即 1 m 0 解得 0 m 14 m23 32 k 34m 12 2 证明 设 x 3 y3 可得 x1 x 2 2 0 F 1 0 x1 1 x 2 1 x 3 1 0 y 1 y 2 y 3 0 FP FA FB x3 1 y 3 y1 y 2 2m m 0 P 在第四象限 y3 m k 1 32 34 FA 2 x1 FB 2 x2 FP 2 x3 12 12 12 32 则 FA FB 4 x1 x 2 3 12 2 FP FA FB 联立 化简得 28x2 56x 1 0 x1 x 2 2 x 1x2 128 x1 x 2 x1 x2 2 4x1x2 9 该数列的公差 d 满足 2d x1 x 2 12 该数列的公差为 21 2018 年新课标 理 已知函数 f x 2 x ax 2 ln 1 x 2x 1 若 a 0 求证 当 1 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 2 若 x 0 是 f x 的极大值点 求 a 解析 1 证明 当 a 0 时 f x 2 x ln 1 x 2x x 1 则 f x ln 1 x x1 x 令 g x f x ln 1 x 则 g x x1 x x 1 x 2 当 x 1 0 时 g x 0 当 x 0 时 g x 0 f x 在 1 0 递减 在 0 递增 f x f 0 0 f x 2 x ln 1 x 2x 在 1 上单调递增 又 f 0 0 当 1 x 0 时 f x 0 当 x 0 时 f x 0 2 由 f x 2 x ax 2 ln 1 x 2x 得 f x 1 2ax ln 1 x 2 2 x ax21 x ax2 x 1 2ax 1 x ln 1 x 1 x 令 h x ax 2 x 1 2ax 1 x ln 1 x 则 h x 4ax 4ax 2a 1 ln 1 x 当 a 0 x 0 时 h x 0 h x 单调递增 h x h 0 0 即 f x 0 f x 在 0 上单调递增 x 0 不是 f x 的极大值点 不合题意 当 a 0 时 令 u x h x 4ax 4ax 2a 1 ln 1 x 则 u x 8a 4aln 1 x 显然 u x 单调递减 1 2a1 x 令 u x 0 解得 a 16 当 1 x 0 时 u x 0 当 x 0 时 u x 0 h x 在 1 0 上单调递增 在 0 上单调递减 h x h 0 0 则 h x 在 0 上单调递减 又 h 0 0 当 1 x 0 时 h x 0 即 f x 0 当 x 0 时 h x 0 即 f x 0 10 f x 在 1 0 上单调递增 在 0 上单调递减 x 0 是 f x 的极大值点 符合题意 若 a 0 则 u x 1 6a 0 u 2a 1 1 e 0 16 1 6a4a u x 0 在 0 上有唯一一个零点 设为 x0 当 0 x x 0 时 u x 0 h x 单调递增 h x h 0 0 即 f x 0 f x 在 0 x0 上单调递增 不合题意 若 a 则 u x 1 6a 0 u 1 2a e 2 0 16 u x 0 在 1 0 上有唯一一个零点 设为 x1 当 x1 x 0 时 u x 0 h x 单调递减 h x h 0 0 h x 单调递增 h x h 0 0 即 f x 0 f x 在 x 1 0 上单调递减 不合题意 综上 a 16 22 2018 年新课标 理 在平面直角坐标系 xOy 中 O 的参数方程为 为参数 过 x cos y sin 点 0 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A B 两点 2 1 求 的取值范围 2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解析 1 将 O 的参数方程化为普通方程 得为 x2 y2 1 圆心为 O 0 0 半径 r 1 当 时 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x 0 成立 2 2 当 时 过点 0 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y tan x 2 2 2 直线 l 与 O 交于 A B 两点 圆心 O 0 0 到直线 l 的距离 d 1 tan2 1 解得 tan 1 或 tan 1 或 4 2 2 3 4 综上 的取值范围为 2 由 1 知直线 l 的斜率不为 0 设直线 l 的方程为 x m y 2 设 A x1 y1 B x2 y2 P x3 y3 11 联立 化简得 m 2 1 y 2 2 m2y 2m 2 1 0 2 y 1 y 2 y1y2 2m2 1m2 1 x 1 x 2 m y 1 m y 2 2 m 2 2 2 x3 y3 x1 x22 y1 y22 AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 m 为参数 1 m 1 23 2018 年新课标 理 设函数 f x 2x 1 x 1 1 画出 y f x 的图象 2 当 x 0 时 f x ax b 求 a b 的最小值 解析 1 当 x 时 f x 2x 1 x 1 3x 12 当 x 1 f x 2 x 1 x 1 x 2 12 当 x 1 时 f x 2 x 1 x 1 3x f x 对应的图象如图所示 12 2 当 x 0 时 f x ax b 当 x 0 时 f 0 2 0 a b b 2 当 x 0 时 要使 f x ax b 恒成立 则 f x 的图象恒在直线 y ax b 的下方或在直线上 f x 的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2 且各部分直线的斜率的最大值为 3 当且仅当 a 3 且 b 2 时 不等式 f x ax b 在 0 上成立 a b 的最小值为 5