三角函数中辅助角公式的应用

1 辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如 y asinx bcosx 的三角式 可变形如下 y asinx bcosx abxabxba222 sincos 上式中的 与 的平方和为 1 故可记ab22 cos sin 则 2 2 xsin ba sinxcoy2 由此我们得到结论 asinx bcosx 其中 由2 i 来确定 通常称式子 为辅助角公式 它可以将多abba22 cos sin 个三角式的函数问题 最终化为 y Asin k 的形式 下面结合近年高考三角题 就 x 辅助角公式的应用 举例分类简析 一 求周期 例 1 求函数 的最小正周期 yxx 2432cos s sin 解 6x2sin cos3x2in3 si i 所以函数 y 的最小正周期 T 评注 将三角式化为 y Asin k 的形式 是求周期的主要途径 x 二 求最值 例 2 已知函数 f x cos4x 2sinxcosx sin4x 若 求 f x 的最大值和最小值 02 2 解 f x cos 2x sin2x cos2x sin2x sin2x cos2x sin2x 24sin x 由 0434 xx 当 即 x 0 时 最小值 2 sin 2 2 当 时 取最大值 1 438xx 即 i 4x 从而 f x 在 上的最大值是 1 最小值是 02 2 3 求单调区间 例 3 已知向量 令 axbx cos tan sin 2424 tan x24 求函数 f x 在 0 上的单调区间 b x f 解 fa 4xsin 2co12xssi 2xtan1t cos2in co2 4tan xt 4si x 先由 045 x 反之再由 420245 xx 所以 f x 在 上单调递增 在 上单调递减 0 4 评注 以向量的形式给出条件或结论 是近两年来三角命题的新趋势 但最终仍要归结 为三角式的变形问题 而化为 y Asin x k 的形式 是求单调区间的通法 3 四 求值域 例 4 求函数 fxkxkxx cos cos sin 6132613232 的值域 RkZ 解 2xsin 4 6sin x23co 6s3 i2 xcos 2 x23sin x23kcos 3 f 所以函数 f x 的值域是 4 4 五 图象对称问题 例 6 如果函数 y sin2x acos2x 的图象关于直线 x 对称 那么 a 8 A B C 1 D 12 2 解 可化为 知 时 y 取得最值 即yax 1sin x 8 12 asin co 282811201222 aaaD 选 六 图象变换 例 7 已知函数 该函数的图象可由 的 Rx 1cosin23cos1y yxR sin 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 解 yxx 14341 cos sin 4 126265454 sincosin xx 可将函数 y sinx 的图象依次进行下述变换 1 向左平移 得到 y sin x 的图象 66 2 将 1 中所得图象上各点横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 得 y 的21 6x2sin 图象 3 将 2 中所得图象上各点纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 得 y sin 2x 21 的图象 4 将 3 中所得图象向上平移 个单位长度 得到 y sin 2x 的图象 45216 45 综上 依次经过四步变换 可得 y 的图象 xcosin3xcos21 七 求值 例 8 已知函数 f x sinxcosx 设 0 f 求 sin 的xsin32 2 341 值 解 f x sin 2si1 co 2 3 x 由 f sin 3 43 得 sin 又 0 1 34 而 sin 故 则 cos 423 2 3 15 sin sin sin 3sin co s 23 415 2 851 评注 化为一种角的一次式形式 可使三角式明晰规范 在求 sin 时 巧用凑角法 并且判断出 的范围 进而求出 cos 的确切值 使整个求3 3 3 5 值过程方向明确 计算简捷 八 求系数 例 9 若函数 f x 的最大值为 2 试确定常数 a 的值 2xcos ina x2sin 4co1 解 f x csiacos xin21 si 4a 其中角 由 sin 来确定 22a1cos a1 由已知有 解得 a 42 5 九 解三角不等式 例 10 已知函数 f x sin2x sin2x x 求使 f x 为正值的 x 的集合 2 0 解 f x 1 cos2x sin2x 1 4sin 由 f x 0 有 sin 2x 2 4 则得 2k 5k x2 故 k x k Z 43 再由 x 0 2 可取 k 0 1 得所求集合是 47x43 x0或