小升初数学必考应用题大全

1 小升初数学必考应用题 应用题类型 1 归一问题 含义 在解题时 先求出一份是多少 即单一量 然后以单一量为标准 求出所要求的数量 这类应用题叫做归一问题 数量关系 总量 份数 1 份数量 1 份数量 所占份数 所求几份的数量 另一总量 总量 份数 所求份数 解题思路和方法 先求出单一量 以单一量为标准 求出所要求的数量 例 1 买 5 支铅笔要 0 6 元钱 买同样的铅笔 16 支 需要多少钱 解 1 买 1 支铅笔多少钱 0 6 5 0 12 元 2 买 16 支铅笔需要多少钱 0 12 16 1 92 元 列成综合算式 0 6 5 16 0 12 16 1 92 元 答 需要 1 92 元 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷 照这样计算 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷 解 1 1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷 90 3 3 10 公顷 2 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷 10 5 6 300 公顷 列成综合算式 90 3 3 5 6 10 30 300 公顷 答 5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷 例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材 如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材 需要运几次 解 1 1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材 100 5 4 5 吨 2 7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材 5 7 35 吨 3 105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次 105 35 3 次 列成综合算式 105 100 5 4 7 3 次 答 需要运 3 次 2 归总问题 含义 解题时 常常先找出 总数量 然后再根据其它条件算出所求的问题 叫归总问题 所 谓 总数量 是指货物的总价 几小时 几天 的总工作量 几公亩地上的总产量 几小时行的总路程等 数量关系 1 份数量 份数 总量 总量 1 份数量 份数 总量 另一份数 另一每份数量 解题思路和方法 先求出总数量 再根据题意得出所求的数量 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3 2 米 改进裁剪方法后 每套衣服用布 2 8 米 原来做 791 套衣 服的布 现在可以做多少套 解 1 这批布总共有多少米 3 2 791 2531 2 米 2 现在可以做多少套 2531 2 2 8 904 套 列成综合算式 3 2 791 2 8 904 套 答 现在可以做 904 套 例 2 小华每天读 24 页书 12 天读完了 红岩 一书 小明每天读 36 页书 几天可以读完 红岩 解 1 红岩 这本书总共多少页 24 12 288 页 2 小明几天可以读完 红岩 288 36 8 天 列成综合算式 24 12 36 8 天 答 小明 8 天可以读完 红岩 例 3 食堂运来一批蔬菜 原计划每天吃 50 千克 30 天慢慢消费完这批蔬菜 后来根据大家的意见 每天比原计划多吃 10 千克 这批蔬菜可以吃多少天 解 1 这批蔬菜共有多少千克 50 30 1500 千克 2 这批蔬菜可以吃多少天 1500 50 10 25 天 列成综合算式 50 30 50 10 1500 60 25 天 答 这批蔬菜可以吃 25 天 3 和差问题 含义 已知两个数量的和与差 求这两个数量各是多少 这类应用题叫和差问题 2 数量关系 大数 和 差 2 小数 和 差 2 解题思路和方法 简单的题目可以直接套用公式 复杂的题目变通后再用公式 例 1 甲乙两班共有学生 98 人 甲班比乙班多 6 人 求两班各有多少人 解 甲班人数 98 6 2 52 人 乙班人数 98 6 2 46 人 答 甲班有 52 人 乙班有 46 人 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米 长比宽多 2 厘米 求长方形的面积 解 长 18 2 2 10 厘米 宽 18 2 2 8 厘米 长方形的面积 10 8 80 平方厘米 答 长方形的面积为 80 平方厘米 例 3 有甲乙丙三袋化肥 甲乙两袋共重 32 千克 乙丙两袋共重 30 千克 甲丙两袋共重 22 千克 求 三袋化肥各重多少千克 解 甲乙两袋 乙丙两袋都含有乙 从中可以看出甲比丙多 32 30 2 千克 且甲是大数 丙是 小数 由此可知 甲袋化肥重量 22 2 2 12 千克 丙袋化肥重量 22 2 2 10 千克 乙袋化肥重量 32 12 20 千克 答 甲袋化肥重 12 千克 乙袋化肥重 20 千克 丙袋化肥重 10 千克 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐 从甲车取下 14 筐放到乙车上 结果甲车比乙车还多 3 筐 两车 原来各装苹果多少筐 解 从甲车取下 14 筐放到乙车上 结果甲车比乙车还多 3 筐 这说明甲车是大数 乙车是小数 甲与乙的差是 14 2 3 甲与乙的和是 97 因此 甲车筐数 97 14 2 3 2 64 筐 乙车筐数 97 64 33 筐 答 甲车原来装苹果 64 筐 乙车原来装苹果 33 筐 4 和倍问题 含义 已知两个数的和及大数是小数的几倍 或小数是大数的几分之几 要求这两个数各是多 少 这类应用题叫做和倍问题 数量关系 总和 几倍 1 较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵 桃树的棵数是杏树的 3 倍 求杏树 桃树各多少棵 解 1 杏树有多少棵 248 3 1 62 棵 2 桃树有多少棵 62 3 186 棵 答 杏树有 62 棵 桃树有 186 棵 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨 东库存粮数是西库存粮数的 1 4 倍 求两库各存粮多少吨 解 1 西库存粮数 480 1 4 1 200 吨 2 东库存粮数 480 200 280 吨 答 东库存粮 280 吨 西库存粮 200 吨 例 3 甲站原有车 52 辆 乙站原有车 32 辆 若每天从甲站开往乙站 28 辆 从乙站开往甲站 24 辆 几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍 解 每天从甲站开往乙站 28 辆 从乙站开往甲站 24 辆 相当于每天从甲站开往乙站 28 24 辆 把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量 这时乙站的车辆数就是 2 倍量 两站的车辆总数 52 32 就相当 于 2 1 倍 那么 几天以后甲站的车辆数减少为 52 32 2 1 28 辆 所求天数为 52 28 28 24 6 天 答 6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍 例 4 甲乙丙三数之和是 170 乙比甲的 2 倍少 4 丙比甲的 3 倍多 6 求三数各是多少 解 乙丙两数都与甲数有直接关系 因此把甲数作为 1 倍量 3 因为乙比甲的 2 倍少 4 所以给乙加上 4 乙数就变成甲数的 2 倍 又因为丙比甲的 3 倍多 6 所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍 这时 170 4 6 就相当于 1 2 3 倍 那么 甲数 170 4 6 1 2 3 28 乙数 28 2 4 52 丙数 28 3 6 90 答 甲数是 28 乙数是 52 丙数是 90 5 差倍问题 含义 已知两个数的差及大数是小数的几倍 或小数是大数的几分之几 要求这两个数各是多 少 这类应用题叫做差倍问题 数量关系 两个数的差 几倍 1 较小的数 较小的数 几倍 较大的数 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍 而且桃树比杏树多 124 棵 求杏树 桃树各多少棵 解 1 杏树有多少棵 124 3 1 62 棵 2 桃树有多少棵 62 3 186 棵 答 果园里杏树是 62 棵 桃树是 186 棵 例 2 爸爸比儿子大 27 岁 今年 爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍 求父子二人今年各是多少岁 解 1 儿子年龄 27 4 1 9 岁 2 爸爸年龄 9 4 36 岁 答 父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁 例 3 商场改革经营管理办法后 本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元 又知本月盈利比上月盈利 多 30 万元 求这两个月盈利各是多少万元 解 如果把上月盈利作为 1 倍量 则 30 12 万元就相当于上月盈利的 2 1 倍 因此 上月盈利 30 12 2 1 18 万元 本月盈利 18 30 48 万元 答 上月盈利是 18 万元 本月盈利是 48 万元 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米 如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨 问几天后剩下的玉米是小 麦的 3 倍 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等 所以剩下的数量差等于原来的数量差 138 94 把几 天后剩下的小麦看作 1 倍量 则几天后剩下的玉米就是 3 倍量 那么 138 94 就相当于 3 1 倍 因此 剩下的小麦数量 138 94 3 1 22 吨 运出的小麦数量 94 22 72 吨 运粮的天数 72 9 8 天 答 8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍 6 倍比问题 含义 有两个已知的同类量 其中一个量是另一个量的若干倍 解题时先求出这个倍数 再用倍 比的方法算出要求的数 这类应用题叫做倍比问题 数量关系 总量 一个数量 倍数 另一个数量 倍数 另一总量 解题思路和方法 先求出倍数 再用倍比关系求出要求的数 例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克 现在有油菜籽 3700 千克 可以榨油多少 解 1 3700 千克是 100 千克的多少倍 3700 100 37 倍 2 可以榨油多少千克 40 37 1480 千克 列成综合算式 40 3700 100 1480 千克 答 可以榨油 1480 千克 例 2 今年植树节这天 某小学 300 名师生共植树 400 棵 照这样计算 全县 48000 名师生共植树多 少棵 解 1 48000 名是 300 名的多少倍 48000 300 160 倍 2 共植树多少棵 400 160 64000 棵 列成综合算式 400 48000 300 64000 棵 答 全县 48000 名师生共植树 64000 棵 4 例 3 凤翔县今年苹果大丰收 田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元 照这样计算 全乡 800 亩果 园共收入多少元 全县 16000 亩果园共收入多少元 解 1 800 亩是 4 亩的几倍 800 4 200 倍 2 800 亩收入多少元 11111 200 2222200 元 3 16000 亩是 800 亩的几倍 16000 800 20 倍 4 16000 亩收入多少元 2222200 20 44444000 元 答 全乡 800 亩果园共收入 2222200 元 全县 16000 亩果园共收入 44444000 元 7 相遇问题 含义 两个运动的物体同时由两地出发相向而行 在途中相遇 这类应用题叫做相遇问题 数量关系 相遇时间 总路程 甲速 乙速 总路程 甲速 乙速 相遇时间 解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 例 1 南京到上海的水路长 392 千米 同时从两港各开出一艘轮船相对而行 从南京开出的船每小时 行 28 千米 从上海开出的船每小时行 21 千米 经过几小时两船相遇 解 392 28 21 8 小时 答 经过 8 小时两船相遇 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步 小李每秒钟跑 5 米 小刘每秒钟跑 3 米 他们 从同一地点同时出发 反向而跑 那么 二人从出发到第二次相遇需多长时间 解 第二次相遇 可以理解为二人跑了两圈 因此总路程为 400 2 相遇时间 400 2 5 3 100 秒 答 二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行 甲每小时行 15 千米 乙每小时行 13 千米 两人在距 中点 3 千米处相遇 求两地的距离 解 两人在距中点 3 千米处相遇 是正确理解本题题意的关键 从题中可知甲骑得快 乙骑得慢 甲过了中点 3 千米 乙距中点 3 千米 就是说甲比乙多走的路程是 3 2 千米 因此 相遇时间 3 2 15 13 3 小时 两地距离 15 13 3 84 千米 答 两地距离是 84 千米 8 追及问题 含义 两个运动物体在不同地点同时出发 或者在同一地点而不是同时出发 或者在不同地点又 不是同时出发 作同向运动 在后面的 行进速度要快些 在前面的 行进速度较慢些 在一定时间之内 后面的追上前面的物体 这类应用题就叫做追及问题 数量关系 追及时间 追及路程 快速 慢速 追及路程 快速 慢速 追及时间 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例 1 好马每天走 120 千米 劣马每天走 75 千米 劣马先走 12 天 好马几天能追上劣马 解 1 劣马先走 12 天能走多少千米 75 12 900 千米 2 好马几天追上劣马 900 120 75 20 天 列成综合算式 75 12 120 75 900 45 20 天 答 好马 20 天能追上劣马 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步 小明跑一圈用 40 秒 他们从同一地点同时出发 同向而 跑 小明第一次追上小亮时跑了 500 米 求小亮的速度是每秒多少米 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈 即 200 米 此时小亮跑了 500 200 米 要知小亮的 速度 须知追及时间 即小明跑 500 米所用的时间 又知小明跑 200 米用 40 秒 则跑 500 米用 40 500 200 秒 所以小亮的速度是 500 200 40 500 200 300 100 3 米 答 小亮的速度是每秒 3 米 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人 敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑 解放军在晚上 22 点接到命令 以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击 已知甲乙两地相距 60 千米 问 解放军几个小时可以追上敌人 5 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 22 16 小时 这段时间敌人逃跑的路程是 10 22 16 千米 甲乙两地相距 60 千米 由此推知 追及时间 10 22 16 60 30 10 120 20 6 小时 答 解放军在 6 小时后可以追上敌人 例 4 一辆客车从甲站开往乙站 每小时行 48 千米 一辆货车同时从乙站开往甲站 每小时行 40 千 米 两车在距两站中点 16 千米处相遇 求甲乙两站的距离 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决 从题中可知客车落后于货车 16 2 千米 客车 追上货车的时间就是前面所说的相遇时间 这个时间为 16 2 48 40 4 小时 所以两站间的距离为 48 40 4 352 千米 列成综合算式 48 40 16 2 48 40 88 4 352 千米 答 甲乙两站的距离是 352 千米 例 5 兄妹二人同时由家上学 哥哥每分钟走 90 米 妹妹每分钟走 60 米 哥哥到校门口时发现忘记 带课本 立即沿原路回家去取 行至离校 180 米处和妹妹相遇 问他们家离学校有多远 解 要求距离 速度已知 所以关键是求出相遇时间 从题中可知 在相同时间 从出发到相遇 内 哥哥比妹妹多走 180 2 米 这是因为哥哥比妹妹每分钟多走 90 60 米 那么 二人从家出走到相遇所用时间为 180 2 90 60 12 分钟 家离学校的距离为 90 12 180 900 米 答 家离学校有 900 米远 例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校 他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校 当他走了 1 千米时 发现手表慢了 10 分钟 因此立即跑步前进 到学校恰好准时上课 后来算了一下 如果孙亮从家一开始 就跑步 可比原来步行早 9 分钟到学校 求孙亮跑步的速度 解 手表慢了 10 分钟 就等于晚出发 10 分钟 如果按原速走下去 就要迟到 10 5 分钟 后段路 程跑步恰准时到学校 说明后段路程跑比走少用了 10 5 分钟 如果从家一开始就跑步 可比步行少 9 分钟 由此可知 行 1 千米 跑步比步行少用 9 10 5 分钟 所以 步行 1 千米所用时间为 1 9 10 5 0 25 小时 15 分钟 跑步 1 千米所用时间为 15 9 10 5 11 分钟 跑步速度为每小时 1 11 60 5 5 千米 答 孙亮跑步速度为每小时 5 5 千米 9 植树问题 含义 按相等的距离植树 在距离 棵距 棵数这三个量之间 已知其中的两个量 要求第三个 量 这类应用题叫做植树问题 数量关系 线形植树 棵数 距离 棵距 1 环形植树 棵数 距离 棵距 方形植树 棵数 距离 棵距 4 三角形植树 棵数 距离 棵距 3 面积植树 棵数 面积 棵距 行距 解题思路和方法 先弄清楚植树问题的类型 然后可以利用公式 例 1 一条河堤 136 米 每隔 2 米栽一棵垂柳 头尾都栽 一共要栽多少棵垂柳 解 136 2 1 68 1 69 棵 答 一共要栽 69 棵垂柳 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米 在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树 一共能栽多少棵白杨树 解 400 4 100 棵 答 一共能栽 100 棵白杨树 例 3 一个正方形的运动场 每边长 220 米 每隔 8 米安装一个照明灯 一共可以安装多少个照明灯 解 220 4 8 4 110 4 106 个 答 一共可以安装 106 个照明灯 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖 所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米 问 至少需要多少块地板砖 解 96 0 6 0 4 96 0 24 400 块 答 至少需要 400 块地板砖 6 例 5 一座大桥长 500 米 给桥两边的电杆上安装路灯 若每隔 50 米有一个电杆 每个电杆上安装 2 盏路灯 一共可以安装多少盏路灯 解 1 桥的一边有多少个电杆 500 50 1 11 个 2 桥的两边有多少个电杆 11 2 22 个 3 大桥两边可安装多少盏路灯 22 2 44 盏 答 大桥两边一共可以安装 44 盏路灯 10 年龄问题 含义 这类问题是根据题目的内容而得名 它的主要特点是两人的年龄差不变 但是 两人年龄 之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化 数量关系 年龄问题往往与和差 和倍 差倍问题有着密切联系 尤其与差倍问题的解题思路是一 致的 要紧紧抓住 年龄差不变 这个特点 解题思路和方法 可以利用 差倍问题 的解题思路和方法 两个数的差 几倍 1 较小的数 例 1 爸爸今年 35 岁 亮亮今年 5 岁 今年爸爸的年龄是亮亮的几倍 明年呢 解 35 5 7 倍 35 1 5 1 6 倍 答 今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍 例 2 母亲今年 37 岁 女儿今年 7 岁 几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍 解 1 母亲比女儿的年龄大多少岁 37 7 30 岁 2 几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍 30 4 1 7 3 年 列成综合算式 37 7 4 1 7 3 年 答 3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍 例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁 今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍 父子今年各多少岁 解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加 3 2 岁 今年二人的年龄和为 49 3 2 55 岁 把今年儿子年龄作为 1 倍量 则今年父子年龄和相当于 4 1 倍 因此 今年儿子年龄为 55 4 1 11 岁 今年父亲年龄为 11 4 44 岁 答 今年父亲年龄是 44 岁 儿子年龄是 11 岁 例 4 甲对乙说 当我的岁数曾经是你现在的岁数时 你才 4 岁 乙对甲说 当我的岁数将来 是你现在的岁数时 你将 61 岁 求甲乙现在的岁数各是多少 可用方程解 解这里涉及到三个年份 过去某一年 今年 将来某一年 列表分析 过去某一年 今 年 将来某一年 甲 岁 岁 61 岁 乙 4 岁 岁 岁 表中两个 表示同一个数 两个 表示同一个数 因为两个人的年龄差总相等 4 61 也就是 4 61 成等差数列 所以 61 应该比 4 大 3 个年龄差 因此二人年龄差为 61 4 3 19 岁 甲今年的岁数为 61 19 42 岁 乙今年的岁数为 42 19 23 岁 答 甲今年的岁数是 42 岁 乙今年的岁数是 23 岁 11 列车问题 含义 这是与列车行驶有关的一些问题 解答时要注意列车车身的长度 数量关系 火车过桥 过桥时间 车长 桥长 车速 火车追及 追及时间 甲车长 乙车长 距离 甲车速 乙车速 火车相遇 相遇时间 甲车长 乙车长 距离 甲车速 乙车速 解题思路和方法 大多数情况可以直接利用数量关系的公式 例 1 一座大桥长 2400 米 一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥 从车头开上桥到车尾离开桥共 需要 3 分钟 这列火车长多少米 解 火车 3 分钟所行的路程 就是桥长与火车车身长度的和 7 1 火车 3 分钟行多少米 900 3 2700 米 2 这列火车长多少米 2700 2400 300 米 列成综合算式 900 3 2400 300 米 答 这列火车长 300 米 例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥 用了 2 分 5 秒钟时间 求大桥的长度是 多少米 解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒 125 秒 所走的路程是 8 125 米 这段路程就是 200 米 桥长 所以 桥长为 8 125 200 800 米 答 大桥的长度是 800 米 例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶 一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面 追赶 求快车从追上到追过慢车需要多长时间 解 从追上到追过 快车比慢车要多行 225 140 米 而快车比慢车每秒多行 22 17 米 因此 所求的时间为 225 140 22 17 73 秒 答 需要 73 秒 例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶 有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来 那 么 火车从工人身旁驶过需要多少时间 解 如果把人看作一列长度为零的火车 原题就相当于火车相遇问题 150 22 3 6 秒 答 火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟 例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒 以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒 求这列火车的车速和车身长度各是多少 解 车速和车长都没有变 但通过隧道和大桥所用的时间不同 是因为隧道比大桥长 可知火车在 88 58 秒的时间内行驶了 2000 1250 米的路程 因此 火车的车速为每秒 2000 1250 88 58 25 米 进而可知 车长和桥长的和为 25 58 米 因此 车长为 25 58 1250 200 米 答 这列火车的车速是每秒 25 米 车身长 200 米 13 盈亏问题 含义 根据一定的人数 分配一定的物品 在两次分配中 一次有余 盈 一次不足 亏 或两次都有余 或两次都不足 求人数或物品数 这类应用题叫做盈亏问题 数量关系 一般地说 在两次分配中 如果一次盈 一次亏 则有 参加分配总人数 盈 亏 分配差 如果两次都盈或都亏 则有 参加分配总人数 大盈 小盈 分配差 参加分配总人数 大亏 小亏 分配差 解题思路和方法 大多数情况可以直接利用数量关系的公式 例 1 给幼儿园小朋友分苹果 若每人分 3 个就余 11 个 若每人分 4 个就少 1 个 问有多少小朋友 有多少个苹果 解 按照 参加分配的总人数 盈 亏 分配差 的数量关系 1 有小朋友多少人 11 1 4 3 12 人 2 有多少个苹果 3 12 11 47 个 答 有小朋友 12 人 有 47 个苹果 例 2 修一条公路 如果每天修 260 米 修完全长就得延长 8 天 如果每天修 300 米 修完全长仍得 延长 4 天 这条路全长多少米 解 题中原定完成任务的天数 就相当于 参加分配的总人数 按照 参加分配的总人数 大亏 小亏 分配差 的数量关系 可以得知 原定完成任务的天数为 260 8 300 4 300 260 22 天 这条路全长为 300 22 4 7800 米 答 这条路全长 7800 米 8 例 3 学校组织春游 如果每辆车坐 40 人 就余下 30 人 如果每辆车坐 45 人 就刚好坐完 问有多 少车 多少人 解 本题中的车辆数就相当于 参加分配的总人数 于是就有 1 有多少车 30 0 45 40 6 辆 2 有多少人 40 6 30 270 人 答 有 6 辆车 有 270 人 14 工程问题 含义 工程问题主要研究工作量 工作效率和工作时间三者之间的关系 这类问题在已知条件中 常常不给出工作量的具体数量 只提出 一项工程 一块土地 一条水渠 一件工作 等 在解题时 常常用单位 1 表示工作总量 数量关系 解答工程问题的关键是把工作总量看作 1 这样 工作效率就是工作时间的倒数 它表示单位时间内完成工作总量的几分之几 进而就可以根据工作量 工作效率 工作时间三者之间 的关系列出算式 工作量 工作效率 工作时间 工作时间 工作量 工作效率 工作时间 总工作量 甲工作效率 乙工作效率 解题思路和方法 变通后可以利用上述数量关系的公式 例 1 一项工程 甲队单独做需要 10 天完成 乙队单独做需要 15 天完成 现在两队合作 需要几天 完成 解 题中的 一项工程 是工作总量 由于没有给出这项工程的具体数量 因此 把此项工程看作单 位 1 由于甲队独做需 10 天完成 那么每天完成这项工程的 1 10 乙队单独做需 15 天完成 每天完 成这项工程的 1 15 两队合做 每天可以完成这项工程的 1 10 1 15 由此可以列出算式 1 1 10 1 15 1 1 6 6 天 答 两队合做需要 6 天完成 例 2 一批零件 甲独做 6 小时完成 乙独做 8 小时完成 现在两人合做 完成任务时甲比乙多做 24 个 求这批零件共有多少个 解 设总工作量为 1 则甲每小时完成 1 6 乙每小时完成 1 8 甲比乙每小时多完成 1 6 1 8 二人合做时每小时完成 1 6 1 8 因为二人合做需要 1 1 6 1 8 小时 这个时间内 甲比 乙多做 24 个零件 所以 1 每小时甲比乙多做多少零件 24 1 1 6 1 8 7 个 2 这批零件共有多少个 7 1 6 1 8 168 个 答 这批零件共有 168 个 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算 两人合做 完成任务时甲乙的工作量之比为 1 6 1 8 4 3 由此可知 甲比乙多完成总工作量的 4 3 4 3 1 7 所以 这批零件共有 24 1 7 168 个 例 3 一件工作 甲独做 12 小时完成 乙独做 10 小时完成 丙独做 15 小时完成 现在甲先做 2 小时 余下的由乙丙二人合做 还需几小时才能完成 解 必须先求出各人每小时的工作效率 如果能把效率用整数表示 就会给计算带来方便 因此 我 们设总工作量为 12 10 和 15 的某一公倍数 例如最小公倍数 60 则甲乙丙三人的工作效率分别是 60 12 5 60 10 6 60 15 4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 60 5 2 6 4 5 小时 答 还需要 5 小时才能完成 也可以用 1 1 12 2 1 10 1 15 例 4 一个水池 底部装有一个常开的排水管 上部装有若干个同样粗细的进水管 当打开 4 个进水 管时 需要 5 小时才能注满水池 当打开 2 个进水管时 需要 15 小时才能注满水池 现在要用 2 小时将 水池注满 至少要打开多少个进水管 解 注 排 水问题是一类特殊的工程问题 往水池注水或从水池排水相当于一项工程 水的流量就 是工作量 单位时间内水的流量就是工作效率 要 2 小时内将水池注满 即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水 为此需要知道进水管 排水管的工作效率及总工作量 一池水 只要设某一个量为单位 1 其余两个量便可由条件推出 9 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1 则 4 个进水管 5 小时注水量为 1 4 5 2 个进水管 15 小时注水量为 1 2 15 从而可知 每小时的排水量为 1 2 15 1 4 5 15 5 1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同 由此可知 一池水的总工作量为 1 4 5 1 5 15 又因为在 2 小时内 每个进水管的注水量为 1 2 所以 2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管 15 1 2 1 2 8 5 9 个 答 至少需要 9 个进水管 15 正反比例问题 含义 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的 比的比值一定 即商一定 那么这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系叫做正比例关系 正比例应 用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的积一定 这 两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识 的综合运用 数量关系 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键 许多典型应用题都可以转化为正反 比例问题去解决 而且比较简捷 解题思路和方法 解决这类问题的重要方法是 把分率 倍数 转化为比 应用比和比例的性质 去解应用题 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似 例 1 修一条公路 已修的是未修的 1 3 再修 300 米后 已修的变成未修的 1 2 求这条公路总长是 多少米 解 由条件知 公路总长不变 原已修长度 总长度 1 1 3 1 4 3 12 现已修长度 总长度 1 1 2 1 3 4 12 比较以上两式可知 把总长度当作 12 份 则 300 米相当于 4 3 份 从而知公路总长为 300 4 3 12 3600 米 答 这条公路总长 3600 米 例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟 照这样计算 91 分钟可以做几道应用题 解 做题效率一定 做题数量与做题时间成正比例关系 设 91 分钟可以做 X 应用题 则有 28 4 91 X 28X 91 4 X 91 4 28 X 13 答 91 分钟可以做 13 道应用题 例 3 孙亮看 十万个为什么 这本书 每天看 24 页 15 天看完 如果每天看 36 页 几天就可以看 完 解 书的页数一定 每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设 X 天可以看完 就有 24 36 X 15 36X 24 15 X 10 答 10 天就可以看完 例 4 一个大矩形被分成六个小矩形 其中四个小矩形的面积如图所示 求大矩形的面积 A 25 20 36 B 16 解 由面积 宽 长可知 当长一定时 面积与宽成正比 所以每一上下两个小矩形面积之比就等于 它们的宽的正比 又因为第一行三个小矩形的宽相等 第二行三个小矩形的宽也相等 因此 A 36 20 16 25 B 20 16 解这两个比例 得 A 45 B 20 所以 大矩形面积为 45 36 25 20 20 16 162 答 大矩形的面积是 162 16 按比例分配问题 10 含义 所谓按比例分配 就是把一个数按照一定的比分成若干份 这类题的已知条件一般有两种 形式 一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数 另一种是直接给出份数 数量关系 从条件看 已知总量和几个部分量的比 从问题看 求几个部分量各是多少 总份数 比的前后项之和 解题思路和方法 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几 把比的前后项相加求出总份数 再求各部分占总量的几分之几 以总份数作分母 比的前后项分别作分子 再按照求一个数的几分之几 是多少的计算方法 分别求出各部分量的值 例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班 已知一班有 47 人 二班有 48 人 三班 有 45 人 三个班各植树多少棵 解 总份数为 47 48 45 140 一班植树 560 47 140 188 棵 二班植树 560 48 140 192 棵 三班植树 560 45 140 180 棵 答 一 二 三班分别植树 188 棵 192 棵 180 棵 例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形 三角形三条边的比是 3 4 5 三条边的长各是多少厘米 解 3 4 5 12 60 3 12 15 厘米 60 4 12 20 厘米 60 5 12 25 厘米 答 三角形三条边的长分别是 15 厘米 20 厘米 25 厘米 例 3 从前有个牧民 临死前留下遗言 要把 17 只羊分给三个儿子 大儿子分总数的 1 2 二儿子分 总数的 1 3 三儿子分总数的 1 9 并规定不许把羊宰割分 求三个儿子各分多少只羊 解 如果用总数乘以分率的方法解答 显然得不到符合题意的整数解 如果用按比例分配的方法解 则很容易得到 1 2 1 3 1 9 9 6 2 9 6 2 17 17 9 17 9 17 6 17 6 17 2 17 2 答 大儿子分得 9 只羊 二儿子分得 6 只羊 三儿子分得 2 只羊 例 4 某工厂第一 二 三车间人数之比为 8 12 21 第一车间比第二车间少 80 人 三个车间共多 少人 人 数 80 人 一共多少人 对应的份数 12 8 8 12 21 解 80 12 8 8 12 21 820 人 答 三个车间一共 820 人 17 百分数问题 含义 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数 百分数是一种特殊的分数 分数常常可 以通分 约分 而百分数则无需 分数既可以表示 率 也可以表示 量 而百分数只能表示 率 分数的分子 分母必须是自然数 而百分数的分子可以是小数 百分数有一个专门的记号 在实际中和常用到 百分点 这个概念 一个百分点就是 1 两个百分点就是 2 数量关系 掌握 百分数 标准量 比较量 三者之间的数量关系 百分数 比较量 标准量 标准量 比较量 百分数 解题思路和方法 一般有三种基本类型 1 求一个数是另一个数的百分之几 2 已知一个数 求它的百分之几是多少 3 已知一个数的百分之几是多少 求这个数 例 1 仓库里有一批化肥 用去 720 千克 剩下 6480 千克 用去的与剩下的各占原重量的百分之几 解 1 用去的占 720 720 6480 10 2 剩下的占 6480 720 6480 90 答 用去了 10 剩下 90 例 2 红旗化工厂有男职工 420 人 女职工 525 人 男职工人数比女职工少百分之几 解 本题中女 职工人数为标准量 男职工比女职工少的人数是比较量 所以 525 420 525 0 2 20 或者 1 420 525 0 2 20 11 答 男职工人数比女职工少 20 例 3 红旗化工厂有男职工 420 人 女职工 525 人 女职工比男职工人数多百分之几 解 本题中以 男职工人数为标准量 女职工比男职工多的人数为比较量 因此 525 420 420 0 25 25 或者 525 420 1 0 25 25 答 女职工人数比男职工多 25 例 4 红旗化工厂有男职工 420 人 有女职工 525 人 男 女职工各占全厂职工总数的百分之几 解 1 男职工占 420 420 525 0 444 44 4 2 女职工占 525 420 525 0 556 55 6 答 男职工占全厂职工总数的 44 4 女职工占 55 6 例 5 百分数又叫百分率 百分率在工农业生产中应用很广泛 常见的百分率有 增长率 增长数 原来基数 100 合格率 合格产品数 产品总数 100 出勤率 实际出勤人数 应出勤人数 100 出勤率 实际出勤天数 应出勤天数 100 缺席率 缺席人数 实有总人数 100 发芽率 发芽种子数 试验种子总数 100 成活率 成活棵数 种植总棵数 100 出粉率 面粉重量 小麦重量 100 出油率 油的重量 油料重量 100 废品率 废品数量 全部产品数量 100 命中率 命中次数 总次数 100 烘干率 烘干后重量 烘前重量 100 及格率 及格人数 参加考试人数 100 18 鸡兔同笼问题 含义 这是古典的算术问题 已知笼子里鸡 兔共有多少只和多少只脚 求鸡 兔各有多少只的 问题 叫做第一鸡兔同笼问题 已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差 求鸡 兔各是多少的问题叫做第二鸡 兔同笼问题 数量关系 第一鸡兔同笼问题 假设全都是鸡 则有 兔数 实际脚数 2 鸡兔总数 4 2 假设全都是兔 则有 鸡数 4 鸡兔总数 实际脚数 4 2 第二鸡兔同笼问题 假设全都是鸡 则有 兔数 2 鸡兔总数 鸡与兔脚之差 4 2 假设全都是兔 则有 鸡数 4 鸡兔总数 鸡与兔脚之差 4 2 解题思路和方法 解答此类题目一般都用假设法 可以先假设都是鸡 也可以假设都是兔 如果 先假设都是鸡 然后以兔换鸡 如果先假设都是兔 然后以鸡换兔 这类问题也叫置换问题 通过先假设 再置换 使问题得到解决 例 1 长毛兔子芦花鸡 鸡兔圈在一笼里 数数头有三十五 脚数共有九十四 请你仔细算一算 多 少兔子多少鸡 解 假设 35 只全为兔 则 鸡数 4 35 94 4 2 23 只 兔数 35 23 12 只 也可以先假设 35 只全为鸡 则 兔数 94 2 35 4 2 12 只 鸡数 35 12 23 只 答 有鸡 23 只 有兔 12 只 例 2 2 亩菠菜要施肥 1 千克 5 亩白菜要施肥 3 千克 两种菜共 16 亩 施肥 9 千克 求白菜有多少 亩 12 解 此题实际上是改头换面的 鸡兔同笼 问题 每亩菠菜施肥 1 2 千克 与 每只鸡有两个 脚 相对应 每亩白菜施肥 3 5 千克 与 每只兔有 4 只脚 相对应 16 亩 与 鸡兔总数 相对应 9 千克 与 鸡兔总脚数 相对应 假设 16 亩全都是菠菜 则有 白菜亩数 9 1 2 16 3 5 1 2 10 亩 答 白菜地有 10 亩 例 3 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本 作业本每本 3 20 元 日记本每本 0 70 元 问作业本和日记本各买了多少本 解 此题可以变通为 鸡兔同笼 问题 假设 45 本全都是日记本 则有 作业本数 69 0 70 45 3 20 0 70 15 本 日记本数 45 15 30 本 答 作业本有 15 本 日记本有 30 本 例 4 第二鸡兔同笼问题 鸡兔共有 100 只 鸡的脚比兔的脚多 80 只 问鸡与兔各多少只 解 假设 100 只全都是鸡 则有 兔数 2 100 80 4 2 20 只 鸡数 100 20 80 只 答 有鸡 80 只 有兔 20 只 例 5 有 100 个馍 100 个和尚吃 大和尚一人吃 3 个馍 小和尚 3 人吃 1 个馍 问大小和尚各多少人 解 假设全为大和尚 则共吃馍 3 100 个 比实际多吃 3 100 100 个 这是因为把小和尚也 算成了大和尚 因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况下 以 小 换 大 一个小和尚换掉一个大 和尚可减少馍 3 1 3 个 因此 共有小和尚 3 100 100 3 1 3 75 人 共有大和尚 100 75 25 人 答 共有大和尚 25 人 有小和尚 75 人 19 方阵问题 含义 将若干人或物依一定条件排成正方形 简称方阵 根据已知条件求总人数或总物数 这 类问题就叫做方阵问题 数量关系 1 方阵每边人数与四周人数的关系 四周人数 每边人数 1 4 每边人数 四周人数 4 1 2 方阵总人数的求法 实心方阵 总人数 每边人数 每边人数 空心方阵 总人数 外边人数 内边人数 内边人数 外边人数 层数 2 3 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算 则 总人数 每边人数 层数 层数 4 解题思路和方法 方阵问题有实心与空心两种 实心方阵的求法是以每边的数自乘 空心方阵的 变化较多 其解答方法应根据具体情况确定 例 1 在育才小学的运动会上 进行体操表演的同学排成方阵 每行 22 人 参加体操表演的同学一共 有多少人 解 22 22 484 人 答 参加体操表演的同学一共有 484 人 例 2 有一个 3 层中空方阵 最外边一层有 10 人 求全方阵的人数 解 10 10 10 3 2 10 3 2 84 人 答 全方阵 84 人 例 3 有一队学生 排成一个中空方阵 最外层人数是 52 人 最内层人数是 28 人 这队学生共多少 人 解 1 中空方阵外层每边人数 52 4 1 14 人 2 中空方阵内层每边人数 28 4 1 6 人 3 中空方阵的总人数 14 14 6 6 160 人 答 这队学生共 160 人 例 4 一堆棋子 排列成正方形 多余 4 棋子 若正方形纵横两个方向各增加一层 则缺少 9 只棋子 问有棋子多少个 13 解 1 纵横方向各增加一层所需棋子数 4 9 13 只 2 纵横增加一层后正方形每边棋子数 13 1 2 7 只 3 原有棋子数 7 7 9 40 只 答 棋子有 40 只 例 5 有一个三角形树林 顶点上有 1 棵树 以下每排的树都比前一排多 1 棵 最下面一排有 5 棵树 这个树林一共有多少棵树 解 第一种方法 1 2 3 4 5 15 棵 第二种方法 5 1 5 2 15 棵 答 这个三角形树林一共有 15 棵树 20 商品利润问题 含义 这是一种在生产经营中经常遇到的问题 包括成本 利润 利润率和亏损 亏损率等方面 的问题 数量关系 利润 售价 进货价 利润率 售价 进货价 进货价 100 售价 进货价 1 利润率 亏损 进货价 售价 亏损率 进货价 售价 进货价 100 解题思路和方法 简单的题目可以直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例 1 某商品的平均价格在一月份上调了 10 到二月份又下调了 10 这种商品从原价到二月份的价 格变动情况如何 解 设这种商品的原价为 1 则一月份售价为 1 10 二月份的售价为 1 10 1 10 所以二月份售价比原价下降了 1 1 10 1 10 1 答 二月份比原价下降了 1 例 2 某服装店因搬迁 店内商品八折销售 苗苗买了一件衣服用去 52 元 已知衣服原来按期望盈利 30 定价 那么该店是亏本还是盈利 亏 盈 率是多少 解 要知亏还是盈 得知实际售价 52 元比成本少多少或多多少元 进而需知成本 因为 52 元是原价 的 80 所以原价为 52 80 元 又因为原价是按期望盈利 30 定的 所以成本为 52 80 1 30 50 元 可以看出该店是盈利的 盈利率为 52 50 50 4 答 该店是盈利的 盈利率是 4 例 3 成本 0 25 元的作业本 1200 册 按期望获得 40 的利润定价出售 当销售出 80 后 剩下的作业 本打折扣 结果获得的利润是预定的 86 问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣 解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几 从题意可知 每册的原定价是 0 25 1 40 所以关键是求出剩下的每册的实际售价 为此要知道剩下的每册盈利多少元 剩下的 作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的 80 的盈利额之差 即 0 25 1200 40 86 0 25 1200 40 80 7 20 元 剩下的作业本每册盈利 7 20 1200 1 80 0 03 元 又可知 0 25 0 03 0 25 1 40 80 答 剩下的作业本是按原定价的八折出售的 例 4 某种商品 甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10 甲店按 30 的利润定价 乙店按 20 的利润 定价 结果乙店的定价比甲店的定价贵 6 元 求乙店的定价 解 设乙店的进货价为 1 则甲店的进货价为 1 10 0 9 甲店定价为 0 9 1 30 1 17 乙店定价为 1 1 20 1 20 由此可得 乙店进货价为 6 1 20 1 17 200 元 乙店定价为 200 1 2 240 元 答 乙店的定价是 240 元 21 存款利率问题 含义 把钱存入银行是有一定利息的 利息的多少 与本金 利率 存期这三个因素有关 利率 一般有年利率和月利率两种 年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数 月利率是指存期一月所 生利息占本金的百分数 数量关系 年 月 利率 利息 本金 存款年 月 数 100 14 利息 本金 存款年 月 数 年 月 利率 本利和 本金 利息 本金 1 年 月 利率 存款年 月 数 解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 例 1 李大强存入银行 1200 元 月利率 0 8 到期后连本带利共取出 1488 元 求存款期多长 解 因为存款期内的总利息是 1488 1200 元 所以总利率为 1488 1200 1200 又因为已知月利率 所以存款月数为 1488 1200 1200 0 8 30 月 答 李大强的存款期是 30 月即两年半 例 2 银行定期整存整取的年利率是 二年期 7 92 三年期 8 28 五年期 9 如果甲乙二人同时各 存入 1 万元 甲先存二年期 到期后连本带利改存三年期 乙直存五年期 五年后二人同时取出 那么 谁的收益多 多多少元 解 甲的总利息 10000 7 92 2 10000 1 7 92 2 8 28 3 1584 11584 8 28 3 4461 47 元 乙的总利息 10000 9 5 4500 元 4500 4461 47 38 53 元 答 乙的收益较多 乙比甲多 38 53 元 22 溶液浓度问题 含义 在生产和生活中 我们经常会遇到溶液浓度问题 这类问题研究的主要是溶剂 水或其它 液体 溶质 溶液 浓度这几个量的关系 例如 水是一种溶剂 被溶解的东西叫溶质 溶解后的混合 物叫溶液 溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度 也叫百分比浓度 数量关系 溶液 溶剂 溶质 浓度 溶质 溶液 100 解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 例 1 爷爷有 16 的糖水 50 克 1 要把它稀释成 10 的糖水 需加水多少克 2 若要把它变成 30 的糖水 需加糖多少克 解 1 需要加水多少克 50 16 10 50 30 克 2 需要加糖多少克 50 1 16 1 30 50 10 克 答 1 需要加水 30 克 2 需要加糖 10 克 例 2 要把 30 的糖水与 15 的糖水混合 配成 25 的糖水 600 克 需要 30 和 15 的糖水各多少克 解 假设全用 30 的糖水溶液 那么含糖量就会多出 600 30 25 30 克 这是因为 30 的糖水多用了 于是 我们设想在保证总重量 600 克不变的情况下 用 15 的溶液来 换掉 一部分 30 的溶液 这样 每 换掉 100 克 就会减少糖 100 30 15 15 克 所以 需要 换掉 30 的溶液 即 换上 15 的溶液 100 30 15 200 克 由此可知 需要 15 的溶液 200 克 需要 30 的溶液 600 200 400 克 答 需要 15 的糖水溶液 200 克 需要 30 的糖水 400 克 例 3 甲容器有浓度为 12 的盐水 500 克 乙容器有 500 克水 把甲中盐水的一半倒入乙中 混合后再 把乙中现有盐水的一半倒入甲中 混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中 使甲乙两容器中的盐水同样多 求最后乙中盐水的百分比浓度 解 由条件知 倒了三次后 甲乙两容器中溶液重量相等 各为 500 克 因此 只要算出乙容器中最 后的含盐量 便会知所求的浓度 下面列表推算 甲容器 乙容器 原 有 盐水 500盐 500 12 60 水 500 第一次把甲中一半倒入乙中后 盐水 500 2 250盐 60 2 30 盐水 500 250 750盐 30 第而次把乙中一半倒入甲中后 盐水 250 375 625盐 30 15 45 盐水 750 2 375盐 30 2 15 第三次使甲乙中盐水同样多 盐水 500盐 45 9 36 盐水 500盐 45 36 15 24 15 由以上推算可知 乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24 500 4 8 答 乙容器中最后的百分比浓度是 4 8 23 构图布数问题 含义 这是一种数学游戏 也是现实生活中常用的数学问题 所谓 构图 就是设计出一种图