高三数学概念方法题型易误点总结.doc

高三数学概念、方法、题型、易误点总结 班级 姓名 十、排列、组合和二项式定理1.排列数中、组合数中.(1)排列数公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n！（）的个位数字为 ；解:1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，故时, 1！+2！+3！+n！的个位数字为3.（2）满足的 解:原不等式可化为: (2)组合数公式；规定，.如已知，求 n，m的值答 解: 则 无解; , 解得:m=n=2.答:m=n=2.(3)排列数、组合数的性质：；.2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；答:(逐一投入5封信,每封都有3种不同的投法)（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种；解: 甲(4) 乙(5) 1 2 2 1答:不同的取法共有70种. (也可用去杂的思路求解)（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_ _；解:设 分为两类: A中选取元素1, : A中选取元素2或3, . 故确定不同点的个数是+=23 个. 或（4）72的正约数（包括1和72）共有 个；解: ,确定其约数可分为两步: 选元素2, 选元素3, 故72的正约数（包括1和72）共有 个.（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_ _个三角形；ACBD解:可分为两类:含点A, 不含点A, 故可以构成 20+70=90个三角形.（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法；解:分为两类: A,D异色,方法数; A,D同色,方法数由分类计数原理知有+=480种不同涂法.（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种；解:同学 甲 乙 丙 丁 先考虑贺卡A,有三种不同的选择, 再考虑贺卡B 贺卡 A B C D 故共有种不同的分配方式.（8）是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有 个；解:,则 方法数 则 方法数 则 方法数 1 或方法数由分类计数原理知不同的映射共有 3个.（9）满足的集合A、B、C共有 组1234567解:将元素 1.2.3.4分别在七个区域中选一个放置,方法数 .3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_ _种；解:分步:为办公室地面选石材, ; 为其余地面选石材, . 由分步计数原理得,不同的装饰效果有=300 (种).（2）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_ _种；解:设计密码可分为两步:定千位上的数字,方法数 10; 定百位上的数字,方法数 10. 由分步计数原理知这样设计出来的密码共有1010=100种.（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个；解:分类:个位为 0 ,有个; 个位为2或4,有. 由分类计数原理知可以组成无重复数字的四位偶数+=156个.（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_；解:分类:语文课排第4节,体育课排第2或第3节,方法数 ; 语文课排第3节,体育课排第2节,方法数 . 由分类计数原理知不同排课方案种数为+=6 .（5）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_种.解: 分步完成:先把4个球分为两组,方法数 再将两组球放入4个盒子中的两个,方法数 =12. 由分步计数原理知不同的放法共有712=84种.分步完成:1.考虑甲球,方法数 =2; 2.考虑乙球,方法数 ; 3.考虑其余两球, 方法数 由分步计数原理知不同的放法共有2316=96种.(特元法)（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_ _种解:本事件可分为三类:有两个相同,方法数 有三个相同,方法数 全相同,方法数 1. 由分类计数原理知, 至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有20+10+1=31种.（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)， (2,4)，(6,3)，(1,2),(2,1)可以确定三角形的个数为_。解:因为(1,2), (0,0)，(1,2)，(2,4)四点共线, (2,1), (0,0), (6,3)三点共线,所以分为两类: 含点(0,0),则方法数 不含点(0,0),则方法数 可以确定三角形的个数为6+9=15 个.又解:(去杂法)=15 (个).（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_；解:把4名女生捆绑为一个大元素,故不同的排法种数为!4!=2880 （2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_；解:先将未命中的四枪排成一列,方法数为1,在其形成的5个间隙中选取2个分别插入3次连续命中的和1次命中的四枪,方法数为,故不同情形共有1=20种.*（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 解:假定一个人分两张票对应其左侧有一个空座位,因此票的不同分法唯一对应不同坐法.先将4个人排成一行,在每个人左侧的4个间隙中选出2个,各插入一个空座位,故不同的分法种数是.（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种；解:先将5个空座位排成一排,方法数 1; 在5个空座位中间的4个间隙中选取3个,各插入1个人,方法数. 则不同的坐法种数有1=24 (种).（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_ _。解:(依次插入法) 不同的插法种数为. (除序法) 不同的插法种数为. 还可以用分类计数原理求解.（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_；答:.（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种；解:分为两类:有甲原料,方法数 ; 没有甲原料,方法数 . 那么不同的实验方案共有+=15种.（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种；解: 翻译 编程 其它 甲 1 2 1 乙 1 1 2 或甲乙互换.则不同的分配方案有 2=36 种.（3）9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有_种；解: 方案 只懂英语(5) 全能(1) 只懂日语(3) 方法数 3 2 3 1 1 选拨的方法有+=90 种.（7）有序问题组合法。如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法；解:（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_种；解:.（3）学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种；解:（4）设集合，对任意，有，则映射的个数是_ _；解:分步完成,为1,2,3找象,方法数 ; 为4找象,方法数 ; 为8找象,方法数 . 由分步计数原理知映射的个数是（5）如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_ _；解:分类:个位为0,方法数 ; 个位不为0,方法数 .那么所有凸数个数为+=240 .（6）离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_ _。解:在2,3,4,9这8个数字中任选两个,使较小者为p,较大者为q,方法数, 但,故不同形状的双曲线的个数为-2=26.（8）选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_。解:分步:选1只次品排在第五位,方法数 ; 其余3只次品排在前四位,方法数 ; 余下的一个位置选放1个正品,方法数 . 根据分步计数原理知不同情况种数是=576.（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_种解:(去杂法)没有女生,方法数 ; 只有1名女生,方法数 . 则至少有2名女同学当选的选法有-=596 (种).（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？解: 10个相同的球排成一列,中间有九个间隙,从中任选两个插入档板,则每一种插法对应唯一一种分法. 每人至少一个的分法种数为=36; 先每人分1只球,余下的7只球按上一问的方法处理,则每人至少二个的分法种数为=15.（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？解:用隔板法.10辆车用隔板分配给7个车队. 则不同的抽法有=84 (种).4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种.解:分步:每校1名医生,方法数 ; 将6名护士分为四组 (3,1,1,1) 或(2,2,1,1),方法数 ; 将4组护士分配至4所学校,方法数 .由分步计数原理知不同选派方法有()=37440 (种).5.二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1）的展开式中常数项是_ _；解: 令, 得r=6.故常数项为 （2）的展开式中的的系数为_ ；解: = 故展开式中的的系数为 . 也可直接由求得.（3）数的末尾连续出现零的个数是_ _；解: = 故末尾连续出现零的个数是 3 个.(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_ _项；解:. 要使系数为有理数,r应为6的倍数,又, 系数为有理数的项共有7项.(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_ _个；解: 原式=的值能被5整除，则能被5整除,而 . 共有5个可取值.(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 ；解:依题意 ,即. . 故. 由得: , .(7)函数的最大值是_.解: = 当 时,.6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和1项）的二项式系数相等并同时取最大值。如（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_ ；解:易知系数最小的项为第六项, 系数为.（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_。解: 第十项是二项式系数最大的项，则n为偶数时,n=18;n为奇数时,n=17,或n=19.（3）二项式系数的和：；。如（1）如果，则 ；解: ,即,. 则.（2）化简得 ；解: 两式相加得: ()=.7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。如（1）已知，则等于_ ；解: ,令x=-1得: .（2），则_ _；解: 显然 , 令,得:, 2003+1=2004 .（3）设,则_。解: , 令 令 相加得: .8、系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定。如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。解:设展开式中第r+1项系数的绝对值最大, 又 . 由. 即第4项系数的绝对值最大,该项为 ;系数最大的项为第5项,该项为 .9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_ _；解: (0.998)=.（2）被4除所得的余数为_ _；解: =显然被4除所得的余数为 0 .（3）今天是星期一，10045天后是星期_ _；解:展开后前45项均因数7,最后一项为 而 被7除余1,故10045天后是星期二 .（4）求证：能被64整除；证: ,各项均含因数64, 能被64整除.（5）求证：证: . 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