高三第一轮复习：函数的概念和性质.doc

函数的概念和性质基础知识梳理一、函数的概念与表示 1、映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数：设X是一个非空数集，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作yf（x），称X为函数f（x）的定义域，集合y|y=f（x），xR为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件: 定义域和对应法则相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 6.（05江苏卷）函数的定义域为2求函数定义域的两个难点问题（1） （2） 例2设，则的定义域为_变式练习：，求的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且R的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法）2 3（换元法）4. （法） 5. 6. (分离常数法) 7. (单调性)8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)9(图象法)10(对号函数) 11. (几何意义)四函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。2.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， .2 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；3 已知在（1，1）上有定义，且满足证明：在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数满足，则_五、函数的单调性1、函数单调性的定义：如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1）f(x2)，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 增区间 ；都有 f(x2)f(x1） ，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 减区间 .2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。1判断函数的单调性。2例 函数对任意的，都有，并且当时， 求证：在上是增函数； 若，解不等式 3函数的单调增区间是_4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D）六函数的周期性：1（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是的周期（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期对照记忆说明：说明：2若；则周期是21 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，则的大小顺序为_3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=_例11 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;1设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（A） （B） （C） （D）高考试题1. (2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 A B C D2 2.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ ）A，在上是增函数21世纪教育网 B，在上是减函数C，是偶函数 D，是奇函数3.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 4.(2009山东卷文)函数的图像大致为( ). 5.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 26.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 7.（2009全国卷文）函数y=(x0)的反函数是 （A）（x0） （B）（x0） （B）（x0） （D）（x0） 8.（2009全国卷文）函数y=的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称9.（2009全国卷文）设则（A） （B） （C） （D）21.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是【解析】可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选C。22.（2009江西卷文）函数的定义域为ABCD【解析】由得或,故选D. 23.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为A B C D【解析】,故选C.24.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.29.（2009天津卷文）设，则A abc B acb C bca D ba0(x0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y=-0(x的是A= B. = C .= D 解析依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。65.（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）ABCD解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是，B66.（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_.【解析】由yx3+1，得x，将y改成x，x改成y可得答案。67.（2009北京文）已知函数若，则 . .w.w.k.s.