资源描述
20.如图，AB是的的直径，BCAB于点B，连接OC交于点E，弦AD/OC,弦DFAB于点G。 （1）求证：点E是的中点； （2）求证：CD是的切线； （3）若，的半径为5，求DF的长。7(本题满分10分) 如图11，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC，图11交AB的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线DE是O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值25、（2011淮安）如图，AD是O的弦，AB经过圆心O，交O于点CDAB=B=30（1）直线BD是否与O相切？为什么？（2）连接CD，若CD=5，求AB的长考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理。专题：计算题；证明题。分析：（1）连接OD，通过计算得到ODB=90，证明BD与O相切（2）OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长解答：解：（1）直线BD与O相切如图连接OD，CD，DAB=B=30，ADB=120，OA=OD，ODA=OAD=30，ODB=ADBODA=12030=90所以直线BD与O相切（2）连接CD，COD=OAD+ODA=30+30=60，又OC=ODOCD是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA，ODB=90，B=30，OB=10，AB=AO+OB=5+10=15点评：本题考查的是切线的判断，（1）根据切线的判断定理判断BD与圆相切（2）利用三角形的边角关系求出线段AB的长13、（2011随州）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（）A、30B、45C、60D、67.5考点：切线的性质。专题：常规题型。分析：根据图形利用切线的性质，得到COD=45，连接AC，ACO=22.5，所以PCA=9022.5=67.5解答：解：如图：PD切O于点C，OCPD，又OC=CD，COD=45，连接AC，AO=CO，ACO=22.5，PCA=9022.5=67.5故选D点评：本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OCPD，然后进行计算求出PCA的度数25.如图，在O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CDAB 与点D，将ACD沿点D落在点E处，AE交O于点F ,连接OC、FC.(1）求证：CE是O的切线。（2）若FCAB，求证：四边形 AOCF是菱形。25.解： (1）由翻折可知FAC=OAC, E=ADC=90OA=OC,OAC=OCAFAC=OCA,OCAEOCE=90，即OCOECE是O的切线（2）FCAB,OCAF,四边形AOCF是平行四边形OA=OC，AOCF是菱形A第20题NCBDEFMOO20、（7分）如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。（1） 求证：ODBE;(2) 猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。A第20题NCBDEFMOO20、解：（1）证明：连接OEAM、DE是O的切线，OA、OE是O的半径ADO=EDO,DAO=DEO=901分AOD=EOD=AOE 2分ABE=AOE AOD=ABE ODBE 3分(2) OF =CD 4分理由：连接OCBE、CE是O的切线OCB=OCE 5分AMBNADO+EDO+OCB+OCE=180由（1）得 ADO=EDO2EDO+2OCE=180 即EDO+OCE=90 6分在RtDOC中， F是DC的中点 OF =CD 7分24、（2011衡阳）如图，ABC内接于O，CA=CB，CDAB且与OA的延长线交于点D（1）判断CD与O的位置关系并说明理由；（2）若ACB=120，OA=2求CD的长考点：切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。专题：综合题。分析：（1）连接OC，证明OCDC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到D=30，利用解直角三角形求得CD的长即可解答：解：（1）CD与O相切；证明：连接OC，CA=CB，OCAB，CDAB，OCCD，OC是半径，CD与O相切（2）CA=CB，ACB=120，DOC=60D=30，OA=2，CD=2点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题15. 如图，AB是O的直径，BD是O的切线，D32，则A_. 20. 如图，在ABC中，D为AB上一点，O经过B、C、D三点，COD90，ACDBCOBDO.(1)求证：直线AC是O的切线；(2)若BCO15，O的半径为2，求BD的长(第20题)20. (1)连接OB.COD90，CBD45.OBOC，OBOD，OBCBCO，OBDBDO.CBD45，(3分)BCOBDO45.ACDBCOBDO，ACD45.(5分)在RtCOD中，OCOD.OCD45.OCA90.直线AC是O的切线. (6分)(2)过O作OEBD，垂足为E.BD2DE.BCOBDO45，BCO15，BDO30.在RtDOE中，DEODcos302.BD2.(10分)23(10分)如图，AB是O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE3，连接BD，过点E作EMBD，交BA的延长线于点M(1)求O的半径；(2)求证：EM是O的切线；(3)若弦DF与直径AB相交于点P，当APD45时，求图中阴影部分的面积答案：解：连结OE，DE垂直平分半径OAOC=,OEC=30（2）由（1）知：AOE=60，,BDE=60BDME，MED=BDE=60MEO=90EM是O的切线。（3）连结OFDPA=45EOF=2EDF=903、（2011兰州）如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于点C，若A=25，则D等于（）A、20B、30 C、40D、50考点：切线的性质；圆周角定理。专题：计算题。分析：先连接BC，由于AB 是直径，可知BCA=90，而A=25，易求CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知DCB=A=25，再利用三角形外角性质可求D解答：解：如右图所示，连接BC，AB 是直径，BCA=90，又A=25，CBA=9025=65，DC是切线，BCD=A=25，D=CBABCD=6525=40故选C点评：本题考查了直径所对的圆周角等于90、弦切角定理、三角形外角性质解题的关键是连接BC，构造直角三角形ABCCADBP第26题26（本题满分12分）已知AOB60，半径为3cm的P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C（1）P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧的长；（2）P移动到与边OB相交于点E，F，若EF4cm，求OC的长；23(8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CDOA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DPAE交BA的延长线于点P(1)求AOD的度数；(2)求证：PD是半圆O的切线APCOBED23. （1）解：点C时OA的中点，OC=OA=ODCDOA，OCD=90。在RtOCD中，cosCOD=COD=60，即AOD=60。（2）证明：连结OE，点E是的中点，BOE=DOE=DOB=（180-COD）=（180-60）=60。OA=OE，EAO=AEO，又EAO+AEO=EOB=60EAO=30，PDAE，P=EAO=30。由（1）知AOD=60，PDO=180-（P+POD）=180-（30+60）=90，PD是半圆O的切线。25（11柳州）（本题满分10分） 如图，已知AB是O的直径，锐角DAB的平分线AC交O于点C，作CDAD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E（1）求证：直线CD为O的切线；DABCO(第25题图)E（2）当AB2BE，且CE时，求AD的长DABCO(第25题图)E【答案】解：(1)连接OCAC平分DABDACCABOAOCOCACABOCADACADCOCDADCDADCD为O的切线（2）AB2BO AB2BE BOBECO设BOBECOxOE2x在RtOCE中，OC2CE2OE2x2()2(2x)2 x1AE3 E30AD23、（2011六盘水）如图，已知：ABC是O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且B=D=30（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形。分析：（1）连接OC欲证明DE是O的切线，只需证明DEOC即可；（2）利用弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积计算阴影部分的面积即可解答：解：（1）直线CD是O的切线理由如下：连接OCAOC、ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角AOC=2ABC=2300=600D+AOC=30+600=900DCO=90CD是O的切线（2）过O作OEAC，点E为垂足OA=OC，AOC=60AOC是等边三角形OA=OC=AC=6，OAC=60在RtAOE中OE=OAsinOAC=6sin60=3SAOC=S扇形AOC=6S阴=S扇形AOCSAOC=69点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线24、（2011南平）如图，已知点E在ABC的边AB上，C=90，BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的O上（1）求证：BC是O的切线；（2）已知B=28，O的半径为6，求线段AD的长（结果精确到0.1）考点：切线的判定与性质；解直角三角形。分析：（1）连接OD，可证得ACOD，即可得出ODC=90，即BC是O的切线；（2）连接DE，在直角三角形ADE中，利用BAD的余弦值求出线段AD的长解答：解：（1）连接OD，AD平分BAC，BAD=DAC，OA=OD，BAD=ODA，ODA=DAC，ACOD，C=90，ODC=90，即BC是O的切线；（2）B=28，BAC=62，即BAD=31，AE为O的直径，ADE=90，OA=6，AE=12，cosDAE=，AE=14.0点评：本题考查了切线的判定和性质以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握4（2011年青海，4,2分）如图1所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A、B两点，C是O上的一点，若P=700，则ACB= 。【答案】55图125. （2011年青海，25,7分）已知：如图8，AB是O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的O的切线，ADEF于点D.（1）求证：BAC=CAD（2）若B=30，AB=12，求的长. 【答案】证法一：连接OC EF是过点C的O的切线。 OCEF 又ADEF OCAD OCA=CAD又OA=OC OCA=BACBAC=CAD证法二：连接OC EF是过点C的O的切线。 OCEFOCA+ACD=90 ADEF CAD+ACD=90 OCA=CAD OA=OC ,OCA=BAC BAC=CAD(2) B=30 AOC=60AB=12 l=223、（2011宁夏）已知：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点P，PDAC于点D（1）求证：PD是O的切线；（2）若CAB=120，AB=2，求BC的值考点：切线的判定。专题：综合题。分析：（1）要证明PD是O的切线只要证明DPO=90即可；（2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长解答：证明：（1）AB=AC，C=B，又OP=OB，OPB=B，C=OPB，OPAD；又PDAC于D，ADP=90，DPO=90，PD是O的切线解：（2）连接AP，AB是直径，APB=90；AB=AC=2，CAB=120，BAP=60，BP=，BC=2点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可21. (本小题满分8分)如图，在RtABC中，C=90，O、D分别为AB、BC上的点经过A、D两点的O分别交AB、AC于点E、F，且D为的中点（1）(4分)求证：BC与O相切；（2）(4分)当AD= ；CAD=30时求的长，21. （1）证明：连接OD，则OD=OA，OAD=ODAD为的中点OAD=CADODA=CADODAC又C=90，ODC=90，即BCODBC与O相切。（2）连接DE，则ADE=90OAD=ODA=CAD=30，AOD=120在RtADE中，易求AE=4，O的半径r=2的长。23、（2011十堰）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将ACD沿AD折叠得到AED，AE交半圆于点F，连接DF（1）求证：DE是半圆的切线：（2）迮接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论考点：切线的判定；菱形的判定；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）。专题：证明题；探究型。分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到OAD=ODA，由图形翻折变换的性质可得到CDA=EDA，再根据CDAB即可得出结论；（2）连接OF，由垂径定理可得到OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出ODAF，进而可得出FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论解答：证明：（1）如图，连接OD，则OA=OD，OAD=ODA，AED由ACD对折得到，CDA=EDA，又CDAB，CAD+CDA=ODA+EDA=90，D点在半圆O上，DE是半圆的切线；（2）四边形ODFA是菱形，如图，连接OF，CDOB，OC=BC=OB=OD，在RtOCD中，ODC=30，DOC=60，DOC=OAD+ODA，OAD=ODA=FAD=30，ODAF，FAO=60，又OF=OA，FAO是等边三角形，OA=AF，OD=AF，四边形ODFA是平行四边形，OA=OD，四边形ODFA是菱形点评：本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理、垂径定理及图形翻折变换的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键16如图，已知AB是O的一条直径，延长AB至C点，使得AC3BC，CD与O相切，切点为D若CD，则线段BC的长度等于 【答案】【考点】圆的切线性质,勾股定理。 【分析】连接OD, 则.由AC3BC有OC=2BC=20B.在直角三角形CDO中, 根据勾股定理有10、（2011台州）如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值为（）A、B、 C、3D、2考点：切线的性质。分析：因为PQ为切线，所以OPQ是Rt又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小运用勾股定理求解解答：解：作OPl于P点，则OP=3根据题意，在RtOPQ中，PQ=故选B点评：此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上13（2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则PCA=（ ）A30B45C60D67.5CDAOPB第13题图【解题思路】PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD得COD=45、PCO=90。再由OA=OC，及外角知识得ACO=22.5；又PCA+ACO=90，所以PCA=90-ACO=67.5。另外也可考虑直径条件连结BC求解。【答案】D【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。难度较小。7、（2011恩施州）如图，直线AB、AD与O相切于点B、D，C为O上一点，且BCD=140，则A的度数是（）A、70B、105C、100D、110考点：切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质。分析：过点B作直径BE，连接OD、DE根据圆内接四边形性质可求E的度数；根据圆周角定理求BOD的度数；根据四边形内角和定理求解解答：解：过点B作直径BE，连接OD、DEB、C、D、E共圆，BCD=140，E=180140=40BOD=80AB、AD与O相切于点B、D，OBA=ODA=90A=360909080=100故选C点评：此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线21、（2011恩施州）如图，已知AB为O的直径，BD为O的切线，过点B的弦BCOD交O于点C，垂足为M（1）求证：CD是O的切线；（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算。分析：（1）连接OC，证明OCD=90根据垂径定理得OD垂直平分BC，所以DB=DC从而OBDOCD，得OCD=OBD=90；（2）阴影面积=S扇形OBCSOBC根据切线长定理知BCD为等边三角形，可求BOC的度数，运用相关公式计算解答：（1）证明：连接OCODBC，O为圆心，OD平分BCDB=DCOBDOCD（SSS）OCD=OBD又AB为O的直径，BD为O的切线，OCD=OBD=90，CD是O的切线；（2）DB、DC为切线，B、C为切点，DB=DC又DB=BC=6，BCD为等边三角形BOC=360909060=120，OBM=9060=30，BM=3OM=，OB=2S阴影部分=S扇形OBCSOBC=（cm2）点评：此题考查了切线的判定及性质、切线长定理、有关图形的面积计算等知识点，难度中等22、（2011防城港）如图，OAB的底边经过O上的点C，且OA=OB，CA=CB，O与OA、OB分别交于D、E两点（1）求证：AB是O的切线；（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为，求O的半径r考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算。专题：计算题。分析：（1）连OC，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OCAB，再根据切线的判定定理得到结论；（2）由D为OA的中点，OD=OC=r，根据含30度的直角三角形三边的关系得到A=30，AOC=60，AC=r，则AOB=120，AB=2r，利用S阴影部分=SOABS扇形ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程，解方程即可解答：（1）证明：连OC，如图，OA=OB，CA=CB，OCAB，AB是O的切线；（2）解：D为OA的中点，OD=OC=r，OA=2OC=2r，A=30，AOC=60，AC=r，AOB=120，AB=2r，S阴影部分=SOABS扇形ODE=OCAB=，r2rr2=，r=1，即O的半径r为1点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式29（2011昭通，29，10分）如图11（1）所示，AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相争于点C，ADEF，垂足为D。AOBCDEFAOBEGCDF （1） （2） 图11（1）求证：DACBAC;（2）若把直线EF向上平行移动，如图11（2）所示，EF交O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与DAC相等的角是哪一个？为什么？AOBCDEFAOBEGCDF【答案】证明：连接OCEF与O相切OCEFADEFADOCOCADACOAOCOCABACDACBAC（2）BAG与DAC相等，理由如下：连接BCBAGDAB是直径，ADEFBCAGDA900BBAC900，AGDDAG900BACDAGBACCAGDAGCAG即BAGDACOBANCDM21（11辽阜新）如图，ABC内接于O，AB为O直径，ACCD，连接AD交BC于点M，延长MC到N，使CNCM（1）判断直线AN是否为O的切线，并说明理由；（2）若AC10，tanCAD，求AD的长 【答案】解：（1）AN是O的切线 1分理由：AB为O直径OBANCDM21ACB9012B90CNCM 即AC垂直平分MNAMAN1CANACCDD1CANB 4分12CAN90即OAAN于A AN是O的切线 6分（2）过点C作CEAD于点E在RtACE中，ACE90CEAEtanCAD AE 8分CE2AE2AC2( AE)2AE2102 10分AE8 AD2AE2816 12分25. （14分）如图7，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=450，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上。（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（00900）后，记为D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。25、（1）证明： AB是O的直径 ACB=90 DCE=90 ACBDCE=180 B、C、E三点共线。 (2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F ABC=45，ACB=90 BC=AC，又ACB=DCE=90，DC=EC BCDACE BD=AE，DBC=CAE DBCAEC=CAEAEC=90 BFAE AO=OB，AN=ND ON=BD，ONBD AO=OB，EM=MB OM=AE，OMAE OM=ON，OMON OMN=45，又 cosOMN= (3) 成立，证明同（2）。23. (本小题满分12分) 如图，已知直线PA交0于A、B两点，AE是0的直径点C为0上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D。(1)求证：CD为0的切线；(2)若DC+DA=6，0的直径为l0，求AB的长度.23.（本小题满分12分）(1)证明：连接OC,因为点C在0上，0A=OC,所以OCA=OAC，因为CDPA，所以CDA=90，有CAD+DCA=90，因为AC平分PAE，所以DAC=CAO。所以DC0=DCA+ACO=DCA+CAO=DCA+DAC=90。 又因为点C在O上，OC为0的半径，所以CD为0的切线(2)解：过0作0FAB，垂足为F，所以OCA=CDA=OFD=90，所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD.DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，O的直径为10，DF=OC=5，AF=5-x，在RtAOF中，由勾股定理得.即，化简得：解得或。由ADDF，知，故。从而AD=2, AF=5-2=3.OFAB，由垂径定理知，F为AB的中点，AB=2AF=6.
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