小学数学模块五课程文本.doc

专题一 数据分析过程的内容分析与教学什么是数据分析，在前面10个核心概念之一数据分析观念中已经做了一些介绍。在课程标准中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”这段表述点明了两层意思。一是点明了统计的核心是数据分析。即“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术”。二是点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：“体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。”基于这些阐述，为使学生树立数据分析的观念，教师最有效的方法就是让他们投入到数据分析的全过程，掌握数据分析的过程。使学生在此过程中，不仅学习一些必要的知识和方法，同时还将体会数据中蕴涵着信息，提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。下面根据课程标准在小学两个学段对数据分析过程的相应要求，对数据分析的过程做具体阐述。1. 明确数据分析过程的要求 课程标准在第一学段提出“经历简单的数据收集和整理过程”，在第二学段提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”，而在第三学段中，提出“经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程，能用计算器处理较为复杂的数据”。从这些要求中不难看出以下几点。一是数据分析的过程可以概括为收集数据、整理数据、描述数据和分析数据。二是学段的要求逐步深入，从第一学段到第三学段，随着学生年龄的增长，将逐步经历更加完整的数据分析过程。三是从第二学段开始使用计算器来处理数据，到第三学段则要求能使用计算器处理较为复杂的数据。同时在三个学段中，课程标准都举了对全班同学的身高进行分析的例子，并且鼓励学生把每年测量身高的数据保留下来，根据不同学段的特点对数据进行整理、描述和分析，提取信息，从而经历数据整理的过程。具体阐述和要求如下。学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习数据收集提供了很好的资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。 第一学段，对全班同学的身高进行调查。主要让学生感悟这些信息，而在提取信息的数量上并不是要求非常高，关键是可以从数据中得到一些信息，如学生会发现，我们班谁最高、谁最矮，谁比谁高多少，最后让学生意识到数据就是信息，并让学生把测量身高的数据保留下来，养成保存数据资料的习惯。 第二学段，对全班同学的身高的数据能进行整理和简单分析。如在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行整理和分析。在这个学段中，要求小学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析，整理的目的是为了便于分析。如条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。显然这个要求又有所提高。 用上面这个例子来说明了不同学段的不同要求，如第二学段，随着学生知识丰富，在学了统计图后又学了平均数，在选择代表班级学生身高的时候，就会想到用平均身高来刻画，当然也不排除有的学生会选一些众数、中位数来表示，虽然这两个知识放到了第三学段，但不排除有的学生会感悟到哪个身高出现的人数是最多的，或者谁是在班级中间的位置，或者发现两个班学生的平均身高是一样的，但是身高差别比较大，就可能会出现方差等新的知识，教师此时也要恰当引导。 用上面例子可说明，经历数据收集、管理和分析的过程中，要鼓励学生尽可能地运用所学的知识与经验去获取信息是非常重要的。2. 设计问题情境体会收集数据教学中教师应注重设计贴近学生生活的问题情境，使他们在经历简单收集数据的过程中，逐步体会到现代社会里充满着大量的数据，了解许多问题解决应当先做调查研究，收集数据，通过数据的收集、管理和分析判断作出问题解决的合理决策。如设计小学生所熟悉的“组织体育比赛”活动,为了更好地组织比赛，需要调查全班同学最喜欢的体育活动和活动方式，由此鼓励学生用收集到的数据作出决定，“你认为班级最好组织什么体育比赛”、“比赛采用什么形式进行”，从而确定班级如何进行体育比赛。还如课程标准中的一个例子：新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。一是全班同学讨论决定购买方案的原则，在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果。二是鼓励学生讨论收集数据的方法,如采用一个同学提案、赞同举手的方法,也可以采取填写调查表的方法,还可以采用提案全部公布后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等。三是收集并表示数据，参照事先的约定最后决定购买水果的方案。在这个例子中不难看出，需要设计合适的问题情境，使学生体会到收集数据、整理数据、分析数据的过程，为作出决策服务。3. 注重数据的收集和积累无论是在生活中遇到的数学分析例子，还是教科书中的例子，教师应该鼓励学生注重平时数据的收集和积累，并适时展示交流，使学生体会到数据分析在方方面面的应用。比如，2008年北京奥运会结束了，奥运会中有哪些数据分析运用的例子？教师可以鼓励学生以此为情境收集北京奥运会数据。又如现在商场都设计一些摸奖游戏，教师也可以把它们做一些适当的改动，引进到课堂教学中，这不仅为统计与概率的学习提供了现实的素材，还可以引导学生对生活中的一些现象树立正确的认识。同时，也可以在数据整理以后，培养学生有一个反思的过程，讨论这些数据能解决什么问题。如教师组织学生调查班级同学的身高情况，把数据调查出以后，进行了整理。最后教师可鼓励学生思考：看到这些身高的数据，它能帮助我们解决什么问题？学生可能会回答：“我可以了解到班级同学的身高情况，知道自己的身高在班内处于什么位置。”“班级有8岁的、有9岁的，我今年8岁，看到9岁同学的身高，我可以先预测一下到9岁时自己大概多高。”“学校可以根据我班学生的身高情况确定我班课桌椅的高度。”尽管学生的想法不一定完全符合实际，但能让学生在这样的过程中再一次认识到数据的作用。4. 注重结合现实生活活动中的案例培养学生数据分析的意识 培养学生数据分析的意识，体会数据中所蕴涵的信息，绝不能仅仅依靠课堂教学，而且课堂教学由于时间和空间的限制，往往也很难完整地展示数据分析全过程，所以，在教学中要适当地设计一些现实实践活动案例，将课程内外结合起来。以平均数教学为例，有人做过调查，学生学习了平均数会进行计算，但遇到真正的数据需要分析时，他们却很少想到用平均数。所以说，平均数教学关键之一是培养学生的数据分析观念，使他们想到用平均数，愿意用平均数来刻画数据。下面是的体会平均数的意义和价值的案例，学生在学习了平均数后，师生共同讨论了以下的三条信息。1.利用节约用水信息深入理解平均数的意义。师：我这也有条信息，我们一起看看。(1)出示：节约用水图。师：为什么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识。）那我们来看看我们国家的淡水情况。(2)出示：我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第4位。师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？（学生可能产生疑问：水并不少，世界100多个国家，我们排第4名。）(3)我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。师：请大家静静地读一读这条信息，你又发现了什么？（这里让学生通过名次下降再次提出对平均数的理解。“贫乏”这个词是什么意思？有那么多水，怎么用“贫乏”来形容我们国家呢？）总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。2出示：儿童乘车免票线“长个儿”了的标题。师：你知道什么叫“儿童乘车免票线”吗？没错，就是这条线，我们来看看（图略）。市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童1.1米乘车免票线提高到了1.2米。师：为什么要提高？（学生自然会想到：孩子们都长高了。）师：怎么去确定这个标准呢？（学生可能会回答：可以调查一下。）师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学生结合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。）师：（总结）你们真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。据统计，目前我市六岁男童身高的平均值为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。和你们想的一样，市发改委就是参照了我市六岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。3那你们能利用平均数帮我判断一件事情吗？出示：据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1号桥的车辆为1756辆，需要通过2号桥的车辆965辆（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多。你们觉得我走哪好？我走那一定快吗？为什么？（学生建议教师走2号桥，但偶尔也不一定快。）总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。 由于理解平均数有三个角度：算法理解、概念理解、数据理解。所以，对于数据分析教学。概念理解和数据理解是非常重要的。在上面的案例中，第一个信息，首先提出我国为什么要节约用水，引发学生思考，然后出示我国的淡水资源情况，使学生体会我国的淡水总量很多，世界排第四位，最后出示我国人均水资源的情况。使学生体会到在水资源这个问题上，我们光看总量不能说明问题，还要看人均水资源，从而体会了平均数的价值。第二个信息，儿童乘车免票线问题。不但使学生能再次体会平均数的价值，而且渗透了抽样的想法。第三个信息，走哪条路，学生根据平均需要通过的车辆，帮助老师选择路线并且进行分析。在这一过程中，学生可以体会到，一方面平均数可以用来作重要依据，另一方面它反映的只是一般情况并不排除某种特殊情况，从而既体会平均数的意义，又体会了数据的随机性。这三个案例，不仅说明平均数的使用价值，也说明只有在现实生活中才能有效培养学生数据分析的意识。专题二 数据分析方法的内容分析与教学数据分析方法是统计与概率课程的第二个主要内容。一般数据分析可以分为描述性统计分析和推断性统计分析。小学数据分析的基本方法主要依据描述性的统计分析，使学生掌握收集数据和整理、描述、分析数据及读统计图的基本方法。1. 收集数据的方法在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据（总体数据），也可能是通过抽样获得的数据（抽样数据）。课程标准指出，在小学第一、第二学段，学生收集的数据基本上都是总体数据，只有在第三学段中，学生将开始学习抽样数据，体会抽样数据的必要性，并通过实例了解简单的随机抽样。收集数据的来源有两种，一种是现成的数据，另一种是需要自己收集的数据。在义务教育阶段两种数据来源都应让学生有所体验，特别是对自己收集的数据，常用的数据收集方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。在小学，学生对收集数据的方法初步有一些体验。为此，课程标准在第一学段提出“了解、调查、测量等是收集数据的简单方法”，如让学生去做调查或测量获得一些数据；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”，“能从报纸、杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。学生可以用自己喜欢的方法收集数据，教师应当引导学生用比较科学合理的方法收集有效的数据。在经历收集、整理数据的过程中，逐步使学生了解数据的重要性。2.整理、描述、分析数据的方法 当学生收集了一些数据后，这些数据往往看起来有些杂乱，这就需要来整理数据，在不损失信息的前提下，对看起来杂乱的数据要进行必要的归纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适当的分析，为人们作出决策和推断提供依据。所以整理、描述、分析是数据分析的又一方法。 （1）整理数椐。整理数椐是指，教师在教学中，首先对看起来有些杂乱的数据进行必要的归纳，然后鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，进行分类。因为分类是对数据进行整理的重要的手段，也是整理数据的开始，在此基础上，再用自己的方式（文字、图形、表格等）呈现整理数据的结果。 （2）描述数据。呈现整理数据的结果是描述数据，这里需要指出的是，描述数据的内容不是原来在第一学段要求学生学一些条形统计图和平均数，即不学习正式的统计图表或统计量。现在课程标准中提出，学生在第一学段不用过早地去学习这些描述的方法，而是用自己比较正规的，用自己的方式来把这些数据统计表示出来，这并不代表对统计过程的要求有所降低，它主要是鼓励学生先自己想办法，去呈现自己整理数据的结果，而不是使学生较早地陷入到单纯学习知识中。这也有助于学生建立进一步学习的经验和兴趣，并在此基础上“通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵的信息”。 （3）数据分析。在整理、描述数据的基础上，在第二学段将对数据进行简单的分析，即学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并能用它们直观、有效地表示数据。如课程标准中例38的说明中指出：“条形统计图有利于直观了解不同高度的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。”因此，需要根据问题的背景选择合适的统计图对数据进行分析。 3.读统计图的方法 由于学生在第二学段将学习常见的条形统计图、扇形统计图和折线形统计图，并且能够用它们直观有效地来表示出数据，即用图形表示数据的统计方法，这与课程标准实验稿相比，在知识上没有什么大的变化，仍然是这三个常见的统计图，但把这些统计的制作内容放到了第三学段。这一个简单的变化，可能会使教师出现困惑，好像从一年级就读，四五六年级还要读，好像读的层次水平也拉不开。如何解决这个困惑，对于读统计图的学习，教师不要急于引入对正规统计图的学习。第一学段教师要鼓励学生用自己的方式来描述数据，并在描述数据的过程中，也让学生不断体会自己所用统计图的特点，初步达到能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。第二学段才让学生学习常见的条形统计图、扇形统计图和折线形统计图，并且用它直观有效地来表示出数据。Curcio(1987)把学生对数据的“读取”分为以下三个水平。数据本身的读取(reading the data)，即直接能够从统计图中获取有关信息，包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。如读一个条形统计图，直接就能看到喜欢红色的有多少人，喜欢蓝色的有多少人。数据之间的读取(reading between the data)，即不仅要关注一个一个的数据，还要关注数据之间的关系，包括插入和找到图表中数据的关系。如做比较（如最多、最少，比较好、最好，最高、最小等）和对数据进行操作（如加、减、乘、除）。超越数据本身的读取(reading beyond the data)，包括通过数据来进行推断、预测、推理，并回答具体的问题。因此，在实际教学中，教师对于第一水平要重视，对于第二水平教师们也要比较关注，对于第三水平，教师也已开始重视鼓励学生尝试由数据信息来进行预测，但不是重点。教学中也存在一些误区。如笔者曾经遇到过不止一次这样的案例。 某教师一开始给学生们呈现一个某女生出生到10岁的身高统计图，让学生去预测这个女生18岁时的身高。学生开始进行预测，答案从170厘米到190厘米的都有，而且都说出道理，如有的学生预测170厘米左右，他说：“到14岁以后就不怎么长了，我估计她到18岁差不多170厘米。”有的学生（虽然是很少数）脱离了数据去进行“预测”：“我觉得她应该能长到190厘米，因为810岁由130厘米长到140厘米，长了10厘米，1014岁估计能长25厘米，照这个趋势1418岁再长25厘米，就到了190厘米。”“我估计她到18岁要长到2米。”面对五花八门的答案，教师也觉得都有道理，那么如何引导。于是他说：“你们的想法都有道理，但是要比较合理地预测，还需要掌握更多的信息，比如，是否收集曾经和她差不多情况的人18岁的身高来帮助预测，或者把她与当地女生平均身高进行对比，看14岁与平均身高的对比情况，由此预测18岁与平均身高的对比情况。”当然，无论哪种预测都不能说错的，也不能完全肯定是正确的，但总会比单纯依靠这个学生以前的情况进行预测要合理。于是这位教师又做了如下的设计。 给出了这名女生到15岁的身高统计图，让学生思考：“实际上，该女生今年已经15岁了，她的身高是168厘米。”于是再鼓励学生预测该女生18岁时的身高。学生会发现1215岁增长的幅度不大，由此推断1518岁增长的幅度也会不大。又有的学生提出可以找一些和该女生情况差不多的女孩，看看她们18岁时的身高。根据学生的想法，教师呈现了三个女生的身高统计图，鼓励学生进行第二次预测。学生发现，虽然她们的身高具体数值不同，但1518岁变化趋势却比较一致，增长的幅度都不大，由此可以预测该女生到18岁时很可能只比15岁时增长2厘米左右，即她18岁时的身高在170厘米左右。还有的同学发现该女生的身高值与其中一名女生的统计图比较接近，并且比这个女生略矮一些，由此根据这个女生18岁时身高是171厘米，预测该女生18岁时身高170厘米。还有的学生提出只有这三个女生的数据是否太少，不能说明一般情况，还可以收集更多的数据。于是，教师又给出了北京城市女生平均身高统计图，鼓励学生进行第三次预测。学生发现这组数据也有这个趋势：1518岁的身高增长得不多，由此预测该女生的身高是170厘米左右。有的学生则根据15岁时该女生的身高比平均身高高6厘米，由此估计该女生18岁时也要高6厘米，所以是169厘米左右。当然，这些预测都是可能性，并不能保证都一定正确。这个例子告诉我们，读统计图需要注意三点。一是预测需要基于数据。对于脱离数据进行“预测”的学生，要引导他们用数据说话，虽然这个预测也有可能，但可能性不会很大。二是有时候为了更合理地预测，需要收集更多的数据，获取更多的信息。三是即使我们有了很多信息，也不是说预测170厘米是对的，190厘米是不对的，也只能这么说在这种情况下，170厘米更加合理一些，190厘米的可能性会小一些。 4.平均数的分析 第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量平均数。关于平均数的应用在上一话题已做了介绍，其实平均数是集中趋势的统计量。在课程标准实验稿中，把平均数、中位数、众数都是放在第二学段学习的。课程标准为了把三个学段的知识层次拉开，降低一、二学段的学习难度，同时也考虑到学生不用过早地学习一些正规统计量的知识，又考虑平均数相对的重要性，所以，在小学阶段只要求重点是学习平均数，有关中位数、众数的学习移入到第三学段。关于平均数的学习，课程标准强调要从三个角度理解平均数。一个是算法理解，就是计算某些数据的平均值。二是概念理解，一般情况下是比最小的要大，比最大的要小，是介于两个数值之间的数值。三是统计理解，即不仅要从概念上理解平均数，更重要的是理解平均数的价值，它在人们获取信息作出判断决策中起着重要的作用，因此，要让学生深刻理解平均数的这个统计意义。专题三 简单随机事件发生概率的内容分析与教学数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的概率是统计与概率的又一重要内容。课程标准调整了对数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生概率的教学要求，具体表述为：“1在具体情境中，通过实例感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。2通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述，并能进行交流（参见例41）。”这对数据的随机性和随机现象提出较为具体的要求。对于简单随机事件发生的概率的要求是“列出简单随机现象中所有可能发生的结果”，删去了原课程标准实验稿中“体验事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；能设计一个方案，符合指定的要求；对简单事件发生的可能性做出预测，并阐述自己的理由”的教学要求，这就大大降低了学习要求，同时也使这部分内容更具可操作性，符合小学阶段学生学习的特点。1. 数据的随机性由于推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景，把这个背景称为总体。假定这个总体是未知的，目的是想通过样本来推断总体。而在调查或试验之前，不可能知道数据的具体取值。也就是说，数据可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一样的，这就是数据随机性的由来。 课程标准将数据随机性作为数据分析观念的内涵之一，提出数据的随机性主要有两层含义：一是对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。如课程标准中的例子（例40）：袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，如红球多还是白球多，红球和白球的比例等。从而让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息。 也许教师会有困惑：概率也是研究随机现象的，那么，为什么又提出数据的随机性呢？实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。不论怎么说，机遇（或说偶然性）无所不在，机遇伴随着人的一生（当然随人的情况而有异），这是一个无法回避的现实。统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机。鼓励学生运用数据来体会随机，更能体会随机的特点。下面是课程标准修订组组长史宁中教授对此的论述。“我听了一些课，老师们经常这样处理：比如对于掷一枚均匀的硬币，先得到出现正面或反面的概率各是12，然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果（12）。这里有两个问题。一是一个硬币，先假定它出现正面和反面的可能性是12（或者称为概率）。这个12是通过概率的定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。实际上，学生做了很多次试验也得不到12，反而更加糊涂了。二是运用定义的方式教学随机性，也不能很好地培养学生的随机观念。需要指出的是，我赞成做试验，赞成运用统计的思想来做试验。但是，统计是通过数据来获取一些信息的，是来帮助人们作出一些判断的。同样是掷硬币的问题，在统计上就会这样设计试验：先让学生多次掷硬币，计算出现正面的比例（频率），然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。如果这个可能性接近12的话，就推断这个硬币大概是均匀的，这就是统计的思想。”“对于先给出定义，教师往往比较习惯，而对于逆过来通过数据来进行推断，教师往往比较陌生。为了帮助教师理解，再阐述一下摸球的例子。同样是一个袋子里有5个球，4个白球、1个红球，如果让学生通过摸来验证出现白球的可能性是45、出现红球的可能性是15，这不是统计。统计是这样的，告诉学生们袋子里有很多球，有白颜色的和红颜色的。然后让学生们去摸，摸到一定程度的时候，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。进一步的话，能推断出白球和红球的比例大慨是多少。再告诉球的总数的时候，能够估计出来几个白球和几个红球，这个就是统计的过程。” 我们并不是反对前一种教法，而是说如果这么教，蕴涵的随机思想并不强，学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做试验。而后来的这种教法，学生体会到每一次摸的结果事先并不知道，但是，摸多了能够帮助学生做一些判断。这样一来，学生既体会了随机性，又感受到了数据中蕴涵着信息，同时，这种类似于“猜谜”的活动学生学起来也会很有兴趣。实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在课程标准案例40的说明中，给出了这种推断背后的科学依据，也就是虽然不能保证估计得完全一致，但能保证在一定试验次数下，估计值与实际情况相差不大的可能性是很大的。 需要教师注意的是，课程标准对小学和初中教学随机性的要求是不同的。如对上面提到的摸球游戏，第二学段要求“通过摸球，学生发现每次摸出的球的颜色不确定，初步感受数据的随机性。进一步通过统计摸出红球和白球的数量，可以估计袋中是白球多还是红球多。在不确定的基础上，体会规律性”。而第三学段要求“在第二学段的基础上，学生可以估计袋中白球数量和红球数量的比，进一步体会规律性。教师可以进一步鼓励学生思考：给出了袋中两种颜色球的总数，如何估计白球和红球各自的数量？”因此，教师要注意把握随机性的教学要求。 2.随机现象及简单随机事件发生的概率关于随机现象及简单随机事件发生的概率，也就是随机现象发生的可能性，在小学已经降低了要求，但是并不代表对随机现象的理解降低了，课程标准已经把数据随机性作为数据分析观念核心词的一个很重要的方面，只不过是对随机现象体会的角度发生了变化而已，所以对这一部分内容只要掌握随机现象的特点和能对随机事件的试验进行合理设计就可以了。 概率是研究随机现象的科学。如前所述，在义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单的随机事件：所有可能发生的结果都是有限的，每个结果发生的可能性也是相同的。因此，在这次课程标准修订中，学生在第一学段中将不再学习概率，主要理由是在基础教育阶段统计的重要性是大于概率的，发展学生的数据分析观念是这部分内容的核心。即使对于随机的学习，课程标准中也提出运用数据分析来体会随机性。从第二学段开始课程标准才安排了随机现象发生的可能性的学习，要求学生“在具体情境中，感受简单随机现象的实例”，感受其在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。在此基础上“能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果”，“能对一些简单的随机现象发生的可能性大概作出定性描述”。这里所涉及的随机现象显然具有如下特点：一是问题情境比较简单（类似于标准案例41）；二是学生能够直接列出所有可能发生的结果，并且感受到每个结果发生的可能性是一样大的；三是能对一些简单现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。3.注重对于随机事件试验的合理设计 如前所述，课程标准中提出“体会数据随机”的要求，如何在课堂中设计合理的试验落实“体会数据随机”呢？一个好的切入点就是对目前课堂教学中的试验加以分析，看看哪些试验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思考和改进。下面是笔者收集到的有关案例，并且进行了分析，以求给教师进行随机事件试验的合理设计以启发。第一类：“验证”类。下面是小学五年级的一个课堂教学片段。老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球？摸到白球的可能性有多大？黄球呢？ （学生略做思考后交流。）生1：可能模到白球，也可能是黄球。 生2：模到白球的可能性是犬，因为有10个球，其中9个是白球。 （大家都表示同意。） 师：好，下面就请你们分小组摸球，记录模球的结果，验证一下大家的想法。 本活动的目的是验证摸到白球的随机现象发生的可能性是否为大，如前所述这种做法是不提倡的。因为学生完全可以通过分析推理得到摸到白球的随机现象发生的可能性大，他们产生不了做试验的需求。如果做了试验，摸到白球的机会若不最大，学生反而会产生困惑，当然也体会不到数据的作用了。第二类：“体会随机”类。下面是小学二年级的一个课堂教学片段。 组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。每次模出1个，模之前先猜猜你会模到什么颜色的球，每次你都猜对了吗？ 活动结束时，老师询问：有没有每次都猜对的同学？（全班只有2人举手。） 师：为什么那么多的同学都没有猜对呢？ （此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。） 生l：黄球和白球摸在手里的感觉不一样！ 师：（饶有兴趣地）真的吗？让我们见识一下！ 生1：（模出一球，没看前猜测）黄色！（拿出后是白色，生1低头坐了下去。） 师：怎么不试了？ 生1：没有信心。 师：怎么没有信心了？ 生1：模在手里分辨不出来。 生2：我发现如果第一次模出来的是黄球，第二次就猜是白球，是交错出现的。 师：你刚才就是这样猜的，结果都对了吗？ 生2连连点头。 师：（半信半疑地）还有这个规律？模1个！ （生2摸出1个白球，放回。） 生2：第二次一定是黄球。 （第二次生2果真模出一个黄球。） 师：看来，下次 生2：第三次该是白球了！ （第三次生2模出个黄球。）师：这个规律还成立吗？学生们直摇头。 师：通过刚才的模球游戏，你发现了什么？生：盒子里有黄球又有白球，模出一个球，可能是黄球，也可能是白球。这个案例乍一看和上面的案例一样，都是摸球，但仔细分析目的是不一样的。这个试验的目的是使学生体会不确定性，即事先无法确定试验的结果。其实，学生对于不确定性的认识并不是一帆风顺的，学生总希望找到“确定”的结论。有的学生认为可以凭手感判断结果，有的学生把球放在固定的地方从而“破坏”随机，有趣的是还有的学生通过几个数据的黄白相间规律就去推断整体是这样的。学生有这些想法是正常的，教师通过实践逐渐消除学生存在的误解正是教学的目标之一，而最好的办法就是让学生亲自试验，案例中的教师正是运用了这一策略。第三类：“推断”类上面已经举过这样的例子，都是通过数据来进行推断的。下面再举一应用推理确定随机现象发生的可能性的设计。一教师在教学中先在袋中事先放好5个球，4个黄球和1个白球。这些球除颜色外都相同，教师不告诉学生袋中球的情况。然后，以小组为单位，鼓励学生共同解决如下的问题。(l)如何在不打开袋子的前提下，估计袋子里是黄球多还是白球多？(2)如果可以通过摸球估计袋中球的情况，你们觉得需要摸几次？(3)多次有放回地摸球，每次统计此时摸出各种颜色球的数量，这时你们估计袋中是白球多还是黄球多？限于篇幅，这里只概括描述学生回答问题的结果和一些片段。对于问题(1)，所有小组都可以通过讨论想到摸球的办法，通过摸出的球的情况来估计袋中是黄球多还是白球多。难能可贵的是，当教师在摸完后追问学生“本来可以打开袋子直接看看就可以知道哪个颜色的球多，为什么还要讨论通过摸球估计袋中是黄球多还是白球多呢？”一个五年级的学生回答道：“有时候球太多看不清楚或者无法数出来袋中到底是几个球时，这就需要摸球了。在回答问题(2)时，出现了一个有趣的现象，虽然所有的学生都认为不能摸一次就进行估计，但随着年级的升高，并没有出现觉得应该摸得数量多一些的情况。在4个学习小组中，三年级学生认为需要摸15次，四年级学生认为需要摸5次，五年级学生认为需要摸12次，而六年级学生认为摸4次就可以了。在回答问题(3)时，大部分小组都能够根据数据作出合理的推断，并且能够说明自己的理由。比如，三年级学生15次摸球的结果是摸出lO个黄球和5个白球，四个人一致推断袋中黄球多。一个同学表达了理由：“因为数量多摸出的可能性就大，现在是黄球摸出的多，就可以判断是黄球多。”显然学生根据数据进行了合理的推断。接着教师询问：“那么是否有可能袋中白球多呢？”三个学生回答不可能，有一个学生给出了很好的补充：“我补充一下，即使是白球多，可能性也很小。”大家都表示了认同。有趣的现象是出现在四年级，他们摸的次数只有5次，摸出了“3个白球和2个黄球（实际摸球情况是白，黄，黄，白，白）”，当教师询问他们此时的估计时，他们产生了分歧生1：白球多。生2：不一定。（生3附和。）生4：黄球多。生1：我认为就是白球多，你看看那些模出来的球呀。（教师希望能引起大家对他的回答的注意，但没有起到作用。）生4：我根据奇偶性来判断，奇数十奇数偶数。假设盒子里的球是奇数，拿出来的是奇数，剩下的一定是偶数。模出来又放回去了，说明盒子里的球还是奇数。（学生的回答似乎并没有指向要思考的问题，并且思考过程也出现了局部“混乱”。教师提醒他现在讨论的问题。）生4：黄球和白球一个是奇数一个是偶数，奇数和偶数就应该相差1（错误的认识），所以也可能是黄球多。生3：我认为一样多。（教师提示此时摸的次数少，是否可以再摸几次，但没有引起学生的注意。）由上面的回答不难看出，在测试的4个学习小组中，学生对于“随机”的经验并没有随着年级的增长而增长，并且结合问题(2)的回答，学生对于试验次数增加会提高推断的可靠性的认识的经验是比较缺乏的。虽然以上只是一个小试验，样本也很少，但可以初步看出，学生已经有了通过摸球试验进行推断的经验，并且能根据数据进行合理的推断，由此可见标准中的想法是有可能实现的，当然这还需要进一步的研究。同时，学生在此过程中到底能体会到什么程度，他们的困难是什么，还有哪些好的学习素材，都需要教师在进一步的思考与实践。另外，关于用频率来估计随机现象发生的可能性和用频率与随机现象发生的可能性关系来确定随机现象发生的可能性，课程标准在小学阶段已不做基本要求，这里就不再介绍了。 专题四 综合与实践内容的结构分析课程标准对“综合与实践”内容做了较大修改。进一步明确了“综合与实践”的内涵和要求。课程标准指出：“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”等知识和方法去解决实际问题。“综合与实践”的教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识。教学中应强调问题情境与学生所学的知识和生活经验相结合，鼓励学生独立思考、合作交流，自主设计解决问题的思路。经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学与生活实际、数学与其他学科、数学各部分内容之间的联系，加深对所学数学内容的理解。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合；同时，要求教师能把这种教学形式体现在日常教学活动中。1. 综合与实践设置的背景和价值小学综合实践是新设的课程，从知识上看，它不像以前学习的代数、几何，有非常清晰的体系，通过近十年新课程的实践，发现数学“综合与实践”不仅可以提高学生学习数学的兴趣、信心和能力，改变学生的学习方式，加深对数学本质的认识，还能提高教师自身的专业素养、开阔教师的视野、改变教师的教学方式。它的实施理念、价值和效果，得到了越来越多学校、教师和学生的认可，取得了一定的经验。因此，我们有必要掌握综合与实践设置的背景、价值。（1）综合与实践设置的背景。综合与实践也可以理解为“数学探究”和“数学建模或数学实际应用”。就是综合所学习的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题。20世纪数学获得重大发展，最主要的标志就是数学在科技领域，在人文社会科学领域，在影响人们生活的每一个方面，都可以看到数学的应用，特别是计算机科学的发展，使数学的应用如虎添翼，不论数学应用的广泛程度，还是深度，都是空前的。20世纪80年代开始，数学建模逐渐走入课堂，成为大学的一门基础课。由于数学建模强调动手、实践，提高了学生学习数学的兴趣，培养了学生的创新精神和实践能力，使他们对数学的价值和广泛应用有了亲身的体验。数学建模的做法能不能在初中，甚至在小学实施，如何让学生对数学更有兴趣，如何将数学更好地与生活联系。此时，世界一批最优秀的科学家特别是一批诺贝尔奖获得者倡导在幼儿园的儿童和中小学的学生教育中开展“做中学”(Hans on)活动，让他们学会在做事情的过程中，经历你要清楚你做什么，你要告诉别人我要做什么，你要告诉别人，你大概打算怎么做，你要完成你承诺要做的事情，最后你要告诉别人我做的结果是什么，经历几个阶段。从而激发、培养他们的好奇心和学习科学的主动性，激发他们的想象力，拓展思维，改善他们的合作和交往能力；学会探究的技能，促进语言和表达能力的发展，有效提高学生的科学教育水平，培育学生科学的思维方式。 （2）综合与实践的教育价值。一是有助于学生的发展。课程标准指出：“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动,它的教学重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生的自主参与、全过程参与;重视学生积极动脑、动手、动口,发展学生的动手、动口能力，培养学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的自信心;通过学生有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实中的现象，解决现实中的问题,培养学生的创新意识与模型思想。二是有助于学生对数学的全面理解,让学生在解决问题过程中体会数学，比较完整地理解数学,感悟、体验数学应用。三是有助于教师的发展。课程标准在教学建议中指出：要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键,这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发。因此，提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的且有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题,从而开阔教师的视野，提升他们的知识及素养,实现教师教育理念与教学方式的转变。四是有助于课程的建设。“综合与实践”是数学课程中的一个较新的领域，这一领域的设置沟通了生活中的数学与课堂上数学的联系，使得数与代数、几何与图形、统计与概率的内容以综合的形式出现，丰富和完善了课程的结构，有助于探索创造一些新的教与学的模式。（3）综合与实践的数学价值。一是综合与实践是培养学生应用意识很好的载体。应用意识有两方面的含义，一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实生活中的现象，解决现实生活中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。二是综合与实践有助于培养学生的创新意识。学生自己发现和提出问题是创新的基础；问题意识、独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。三是综合与实践有助于培养学生的模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。2. 综合与实践的教学结构综合与实践内容的结构，既要服务于义务教育阶段数学课程的整体目标，又要彰显“综合与实践”课程的特殊功能和特殊目标。综合与实践的核心是问题，是围绕问题展开的，它的问题大概可以分成六类，课堂内进行的综合与实践活动，课内外结合的综合与实践活动，课外进行的综合与实践活动，用数学知识解决数学内部的问题,用数学知识解决数学外部的问题,用数学知识解决数学内部和数学外部相结合的问题。所以，综合与实践的教学内容结构主要围绕这六类情况选择组织合适的内容和素材。(1)综合与实践内容的结构要突出“综合”。这种综合不仅表现为数学内部各分支（如几何、代数、三角）之间的综合、数学与其他学科的综合、数学与学生日常生活实际的综合，还表现为解决问题的过程,要求学生的各种能力、各种方法、各种工具的综合。它不应该是一个具体知识点的直接应用，不应该是对已有数学知识、方法反射式的套用，而应该给学生一个综合应用以往学过的所有数学知识、方法（甚至可以是跨学科的知识），去实际解决一个数学内部或生活实际问题的机会，条件未必可丁可卯，线索未必清晰可见，问题本身和结果可能还需要另外的解读。当然，“综合”的结果也应该是“综合”的，它应该提升学生的综合素质，为学生的发展奠基。课程标准在课程理念第二条中指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”在综合与实践的内容选择中要具体落实这些要求，对三个学段的学习要求要有差别，差别表现在对综合与实践的内容、形式、综合程度、问题的呈现方式上，也表现在教师的引领、指导、示范的力度上。如在第一学段，学生学过的知识很有限，综合主要指待解决的问题与学生现有的生活经验的整合；能力和方法的综合主要表现为在教师引领下的观察、发现、表述、计算、操作上。如案例图形的分类（标准例20）。桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。本案例突出表现了数学中的“分类”与学生的日常生活实际的综合，比较符合小学低年级学生的认知水平。本活动的目的是希望学生能够清楚，分类是要依赖分类标准的，如扣子的形状、扣子的颜色或扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。一方面，本活动将有利于培养学生把握图形的特征、抽象出多个图形的共性的能力。另一方面，活动还要求学生运用文字、图画或表格等方法记录对扣子进行分类后的结果，这有利于培养学生整理数据的能力。（2）综合与实践活动要精心安排。小学阶段设置的综合与实践活动要适合小学生的年龄特征。教师设计的活动应立足小学生的知识经验、生活经验、思维经验。综合与实践活动的内容主要目的是综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。问题的综合性体现为数学知识的综合或方法的综合。数学知识的综合可以是把学生学习过的几个内容综合起来，也可以是把几个领域的内容综合起来。方法的综合可以体现为解决问题的过程中，学生综合运用多种方法。课程标准对第一学段的综合与实践活动的要求是：通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验能够运用所学的知识和方法解决简单问题，获得初步的数学活动经验。在实践活动中，了解要解决的问题和解决问题的办法。经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容。课程标准对第二学段的综合与实践活动的要求是：经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制订简单的方案解决问题的过程。通过应用和反思，进一步理解所用知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。（3）综合与实践应关注几个问题。在“综合与实践”教学过程中，应特别关注以下三个问题。一是明确需要解决的问题。在综合与实践中，一定要明确需要解决的问题。如在第一学段，可由教师给出问题，学生尝试解决；在第二学段，除了由教师或教科书提供问题，应鼓励学生自己尝试发现和提出简单情境中的问题。二是关注学生经历活动的过程。在综合与实践中，关注学生经历活动的整个过程是非常重要的，在活动过程中学生会有丰富的表现，可以积累数学活动的经验，可以提升学生的应用意识与创新意识。实际上，过程比结果更重要。三是综合。在综合与实践中，综合是不容忽视的重要方面。这里的综合是指：数学内部各分支之间的综合（如几何和代数的综合），数学和其他学科之间的综合，数学与学生生活实际的综合。使学生通过数学学习，综合素质得到明显发展。 专题五 综合与实践内容的分析与教学 课程标准关于小学阶段综合与实践活动内容的教学要求在上文做了具体阐述，要开展好小学的综合与实践，教师要切实理解综合与实践的教学要求，掌握好综合与实践的教学内容，把握综合与实践教学的实施和应注意的问题。1.恰当选则小学综合与实践的教学内容(1)课程标准“综合与实践”中第一学段的教学内容。能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。体验与他人合作交流解决问题的过程。尝试回顾解决问题的过程。对身边与数学有关的事物有好奇心，能参与数学活动。在他人帮助下，感受数学活动中的成功，能尝试克服困难。了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系。在观察、操作等活动中，能提出问题和一些简单的猜想。(2)课程标准“综合与实践活动”中第二学段的教学内容。尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。能探索和分析解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。经历与他人合作解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。愿意了解社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学学习活动。在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学。在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。(3)“综合与实践”在教学内容选取上要注意几个问题。围绕课程标准的要求，小学阶段的综合与实践活动在教学内容选取上要注意以下三个问题。第一，关注数学知识的综合运用。学生的数学学习是以知识为载体的，在学了一些数学知识后，可以设置综合性强的数学问题。不论学生对概念的深入理解还是对技能的掌握都需要一定的过程，学生积累了数学学习经验之后，可以水到渠成地通过综合运用知识的活动提升对概念的理解和技能的掌握。例如，在学了图形的运动知识之后，让学生综合运用平移、旋转、对称的知识设计图形；二年级学生在学了角的初步认识、表内乘法之后，让学生从事看一看、摆一摆的活动，在用小棒摆图形的过程中综合运用前面所学知识。在学了100以内数的认识之后，通过让学生在数位顺序表里摆珠子的学习活动理解数位、理解位值。如3个珠子摆在仅有个位和十位的数位顺序表里，可以表示什么数？在摆珠子的过程中，学生感悟珠子个数与摆出的数之间的关系。学生在摆的过程中发现规律，放在高位的珠子越多，所摆出的数越大，每有一个珠子从十位移到个位，所表示的数就会减9等。在此过程中通过珠子表达出的“语言”，加深学生对100以内数的认识，感受位值思想，体会数的多种表示方式，使学生在活动中深入理解概念，提升数学思想，发现数学规律。 第二，关注方法的综合运用。方法要通过活动获得，通过数学活动，学生综合运用方法，对方法有更好的把握。课程标准例20是图形分类的问题，给学生的任务是分类。学生在分类的过程中感悟到分类是要有标准的，只能按照一定标准分类，有多个标准时可以按层多次分类。在分类过程中，培养学生把握图形的特征，抽象出多个图形的共性的能力，以及整理数据的能力，还可以让学生思考，按不同顺序分类的结果是否一样。例如，先按形状，再按扣眼数量，最后按颜色。 第三，关注取自生活实践的真实问题。如让学生用数学的眼光观察身边的现象，让学生在平凡的事件