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中考动点问题解析211.（2013年江苏常州9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为 ；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时，求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由 解析：本题不难，但是特别容易失分，尤其是第一问，所以对于此类题目应特别注意。解：（1）45或135如下图所示，OA=OB=6 ABO=45OCAB BOC=ABO=45此外，当C运动到C时，OCAB，此时，AOC=BAO=45BOC135（2）ABC的面积等于AB乘以C点到AB的距离（第一问给了提示，且AB是定长）如下图所示过O做OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，此时C点到AB的距离最大。OAB为等腰直角三角形，AB=OA=6OE=AB=3CE=CO+OE=3+3 =ABCE=当C点运动到第三象限角平分线与圆的交点位置时，ABC的面积最大，最大面积为。（3）如下图所示，OCAD ADO=DOC=90 ADO是直角三角形。OD=3 OA=6，OAD=30 COF=OAD=30过C做CF垂直于x轴于F，OC=3，COF=30OF=OCcosCOF= CF=OCsinCOF=点C的坐标为（，）直线BC是O的切线，理由如下COB+DOB=90 DOA+DOB=90COB=DOA又OC=OD OA=OB OCBODABCO=ADO=90OCBC 直线BC是O的切线点评：本题看似是动点问题，其实基本跟动点没什么关系，所以不要一提到动点就害怕，初中的题目基本都是考察动点运动过程中的某一个特殊点的。12.（2013年江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a0），直线l过动点M（0，m）（0m2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0m1时，若PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若HNK满足HN=2HK，则称HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1m2时，是否存在实数m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=1；x=0，得y=2，A(1，0)，C(0,2)（2）由题意可得下图PE=CE，直线l是PC的垂直平分线，MC=MPC(0,2)，M（0，m），P（0,2m2）设D（x，m），D在直线AC上，代入方程，得2x+2=m，解之得，D（，m）设直线DP的方程为y=kx+b,将P、D代入方程，得 ，解之得直线DP的方程为y=2x+2m2Q（m1,0）由题意可知，PA=2PQ，即解之，得m=或者m=（不符合题意，舍去）m=（3）由题意可得下图解法一：（坐标系法）由（2）可知，P（0,2m2），Q（m1,0），D（，m）PQ=AQ=m1+1=mCD=设直线BC的方程为y=kx+b,将C、B两点带入方程，得 解之，得直线BC的方程为y=E（，m）DE=(1+a)(2m)要使CDAQ=PQDE，需解之，得1m2，当0a1时，m2，m不存在当a1时，m满足题意，此时解法二：（相似三角形）由（2）可知，P（0,2m2），Q（m1,0）PQ=AQ=m1+1=mlx轴，CDECABCA= AB=a(1)=a+1=要使CDAQ=PQDE，需，即=解之，得1m2，当0a1时，m2，m不存在当a1时，m满足题意，此时点评：做此类题一定要把题目彻底读懂，把每一句话所提到的条件都标注在图上，要不然还要反复回去看题，很耽误时间。另外，准确的画图也是本题解题的关键，所以平时一定要加强画图能力，多用数形结合来解决问题。另外，本题虽然不难，但是出现了两个字母表示的常量，a和m。应该在平时的学习中注意这方面的训练，只有熟悉字母的运算才能表示掌握好了数学。遇到这种形式的表达式CDAQ=PQDE，受限考虑相似三角形，中考题目一般用相似三角形能简化运算。 13.（2013年江苏淮安12分）如图，在ABC中，C=90，BC=3，AB=5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒（1）当t= 时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为s平方单位求s与之间的函数关系式；当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积解析：本题属于典型的灵活运用题目，第一问实际上是相遇问题。把三角形拉直问题就迎刃而解。另外，分析两个点的运动轨迹也是本题解题的关键。第二问要注意分类讨论。解：（1）7AB=5，BC=3，C=90，AC=4Q点速度快，肯定是Q返回时与P点相遇的。Q点从C点到A点共用=4.5秒，此时PQ相距3+4+54.5=7.5此后需用时=2.5秒，P、Q两点相遇公用4.5+2.5=7秒（2）点P从B到C的时间是3秒，点Q从C点运动到了AB上，则需分类讨论，一是点Q在CA上，一是点Q在AB上。 当0t2时，点Q在CA上，若PCQ为等腰三角形，则一定为等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3t=2t，解得：t=1 当2t3时，点Q在AB上，若PCQ为等腰三角形，则一定PQ=PC，如图所示，则点Q在PC的中垂线上。作QHAC，则QH=PC，AQHABC，在RtAQH中，AQ=2t4则QH=AQ=(2t4)PC=BCBP=3t，(2t4)=3t，解之，得：t=综上所述，在点P从点B到点C的运动过程中，当t=1或t=时，PCQ为等腰三角形。（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P在AC上，则PC=t3，BQ=2t9，则AQ=5(2t9)=142t同（2）可得，PCQ中，PC边上的高是：(142t)s=(t3)(142t)=当t=5时，s有最大值，此时P是AC的中点，如下图所示解法一：沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，PD一定是AC的中垂线。AP=CP=AC=2，PD=BC=AQ=142t=1425=4如上图所示，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q做QECA于点E，过O做OFCA于点F，则PCO即为折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积则QE=AQ=4=，EA=AQ=4=EP=2=，CE=2=设FP=x，FO=y，则CF=2x由CFOCPD得，即，由PFOPEQ得，即，解之得y=PCO即为折叠后的PAD与PCQ重叠部分的面积，解法二：沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，PD一定是AC的中垂线。AP=CP=AC=2，PD=BC=AQ=142t=1425=4以CA为x轴，以CB为y轴建立直角坐标系。如上图所示，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q做QECA于点E，过O做OFCA于点F，则PCO即为折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积由题意可知，D点坐标为（2，）直线CP的方程为y=x由题意可知，P点坐标为（2，0）过Q做QECA于E，QGCB于G则QE=AQ=4=，QG=BQ=(54)=Q点坐标为（，）设PQ直线方程为y=kx+b，将P、Q点带入，得 解之，得直线PQ的方程为y=x+4与直线CD的方程联立，得 解之，得OF=PCO即为折叠后的PAD与PCQ重叠部分的面积， 点评：从本题来看，还是考察的特殊三角形，所以对于特殊三角形一定烂熟于心，知道其中一条边，另外两条边马上就能计算出来。本题求叠加部分面积时用了两种方法，相比较而言用相似三角形简单一点，但是找相似三角形以及用哪些边有点难度，这个平时要加强训练。用坐标系法思路简单，肯定能做出来，但是要求对坐标系很熟练，这个也要平时多练习。若考试时用三角形相似做不出来也可以用坐标系法。 14.（2013年江苏连云港12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围解：（1）A(8,0),B(0,6)，OA=8，OB=6AB=10点Q的速度是1个单位长度/秒，OQ=t，AQ=OAOQ=8tP的直径为AC，ADC=90cosBAO=，即，解之得AD=当点Q与点D重合时，AD=AQ，=8t，解之得t=当t=时，点Q与点D重合。（2）sinBAO=，即，解之得CD=点Q与点D重合前，即0t时，DQ=AQAD=8t=+8=当t=，有最大值点Q与点D重合后，即t5时，DQ=ADAQ=(8t)=8=随着t的增大而增大当t=5时，有最大值：综上所述，S与t的函数关系式为15，S的最大值为15（3）0t或t5点Q和点P移动的过程中，QC与P逐渐相切，在此之前，QC都在P外侧，此时只有一个交点；然后QC与P有两个交点，另外一个交点在圆弧CD上，直至Q点与D点重合，这个过程中有两个交点；此后QC在P内部，只有一个交点。当QC与P相切时，OAB=CAQ，QCA=BOA=90，AOBACQ，即，解之，得t=0t或t5时P与线段QC只有一个交点 15. （2013年江苏苏州9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB10cm，BC12cm点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cms，点G的运动速度为1.5cms当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）（1）当t s时，四边形为正方形；（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）2.5若需四边形为正方形，则需EB=BF，EB=10t，BF=3t，10t=3t，解之得t=2.5（2）由题意得，AE=t，BF=3t，CG=1.5tAB=10，BC=12，FC=123t点F在BC上运动，03t12，即0t4当EBFFCG时，解之得t=当EBFGCF时，化简得解之得，（不合题意，舍去）0t4，t=或t=若以点E、B、F为顶点三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，则t=或t=（3）不存在，理由如下如图，连接BDO为矩形ABCD的对称中心，点O为BD的中点假设存在实数t，使得点B与点O重合，此时EF是OB的垂直平分线，垂足为点HBD=，BH=EHBBHFBCD，BF=，BE=AE=10BE=点F的运动速度是点E的运动速度的3倍，但3不存在实数t，使得点B与点O重合点评：本题的难点在于反证法的运用，这个在平时要加强练习。16. （2013年江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1，0)（1）b ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S 求S的取值范围；若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有 个解：（1）；2c点A的坐标为(1，0)，代入方程，得，B=假设点B的坐标为（x，0），根据根与系数的关系，得x=2c，点B横坐标为2c（2）在中，令x=0，得y=c点C的坐标为（c，0）设直线BC的解析式为，点B的坐标为（2c，0），2ck+c=0c0，直线BC的解析式为AEBC，可设直线AE的解析式为点A的坐标为（1,0），直线AE的解析式为由解之，得或点E的坐标为(12c，1c)点C的坐标为(0，c)，点D的坐标为(2，0)直线CD的解析式为点C、D、E三点在同一直线上，解之得，（舍去）抛物线的解析式为（3）设点P的坐标为(，)点A的坐标为（1,0），点B的坐标为（4,0），点C的坐标为（0，2），AB=5，OC=2，直线CB的解析式为在PBC中，BC是定长，BC=，PBC的面积就由P点到BC的距离来确定。（涉及到求面积的时候一定要找到一个不变的）当1x0时，=5，解法一：当0x4时，过点P做PGx轴于G，交BC于点F点F的坐标为(，)PF=()=S=()4=当x=2时，=4，0S4综上所述，S的取值范围为0S5解法二：做直线PKBC且PK与抛物线相切。此时P点到BC的距离最远。设此时PK的直线方程为y=，PK与抛物线相切，所以方程y=与之有一个公共解。联立方程，得，变形，得，即，方程之有一个解，x=2，a=4，此时P点坐标为（2，3），过点P做PGx轴于G，交BC于点FF点坐标为（2，1），PF=2 （此处也可以用点到直线的距离公式解）S=24=4综上所述，S的取值范围为0S511设P点坐标为（x，y）当1x0时，S从5（不含5）逐渐减小至0，满足条件的点有4个；当0x2时，S从0逐渐增大至4（含4），满足条件的点有4个；当2x4时，S从4（不含4）逐渐减小至0，满足条件的点有3个。综上所述，满足条件的点共有11个。点评：做题时要注意前后题目给的解题提示，如本题中平行就已经暗示要以BC为底边，P到BC的距离为高来解三角形面积。17. （2013年江苏泰州12分）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点（1）求证：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围解：（1）证明：QAP=BAD=90，QAB+BAP=PAD+BAPQAB=PAD, 又ABQ=ADP=90，ABQADP（2）ABQADP，即，DP=x，CD=AB=20，PC=CDDP=20x如图，过点M做MNQC于点NMNQC，CDQC，点M为PQ的中点点N为QC的中点，MN为中位线，MN=PC=(20x)=10x在RtBMN中，由勾股定理得，y与x的函数关系为 （）=当x=8或者DP=8时，y取最小值为45，BM的最小值为=（3）设PQ与AB交于点E如图，点M落在矩形ABCD外部，需满足的条件是BEMN（此处是找临界点，BE=MN时，即M点在AB上时）ADPABQ，即，解之得ABCD，QBEQCP，即，解之，得MN为中位线，MN=PC=BEMN，解之，得点评：要熟练掌握找临界点。18. （2013年江苏无锡10分）如图1，菱形ABCD中，A=60，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）APQ的面积S（）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出（1）求点Q运动的速度；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=23=6cm，此时如下图所示 图1AQ边上的高S=，解得AQ=3cm点Q的运动速度为：33=1cm/s(2) 由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动的情形，如下图所示 图2点Q运动至点D所需时间为：61=6s，点P运动至点C所需时间为：122=6s，至终点D所需时间为：182=9s因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6t9解法一：过点P做PEAD交AD的延长线于点E，则PE=S=解法二：过点A做AMCD交CD的延长线于点M，则AM=AD= PD=182tS=FG段的函数表达式为：S= （6t9）（3）存在菱形ABCD的面积为：当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成APQ和五边形PBCDQ两部分，如下图所示：此时APQ的面积S=根据题意，得，解之，得t=s当点P在BC上运动时，PQ将菱形ABCD分成梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如下图所示：此时，有，即，解之，得t=s综上所述，存在t=s或者t=s，使得PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分。点评：本题解题关键是弄清两个点的运动过程。尤其是对于这种有两个点的运动过程的题目要特别注意。另外此题中面积的变化图形最好自己画一下，求出每一个过程中面积与时间t的关系。略微一变化又是一道中考题。19.（2013年江苏徐州10分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标： ；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由解：（1）（3,4）设B点坐标为（a，0），根据韦达定理可知3a=，a=1AB的长为1(3)=4,D点坐标为（3,4）（2）设PA=t，OE=m由DAP=POE=DPE=90，得DAPPOE， 当时，m有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为。（3）存在。点P在y轴左侧时，假如DP=PE，则PADEOP，AD=PO=4 OE=AP=1 P点的坐标为（4,0）ADGOEG，重叠部分的面积=点P在y轴右侧时，假如DP=PE，则PADEOP，AD=PO=4 OE=AP=7 P点的坐标为（4,0）ADGOEG， PG=PAAG=BCAD BF=重叠部分的面积=20.（2013年江苏扬州12分）如图1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PEPA交CD所在直线于E设BP=x，CE=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；（3）如图2，若m=4，将PEC沿PE翻折至PEG位置，BAG=90，求BP长解：（1）APB+CPE=90，CEP+CPE=90，APB=CEP又B=C=90，ABPPCE，即y与x的函数关系式为y=（2）当时，y取得最大值，最大值为。点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，1，解之，得m。m0，m的取值范围为：0m（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，GPE=CPE，又GPE+APG=90，CPE+APB=90，APG=APBBAG=90，AGBC，GAP=APBGAP=APG，AG=PG=PC如上图，分解延长CE、AG，交于点H，则易知ABCH为矩形，HE=CHCE=2y，GH=AHAG=4（4x）=x，在RtGHE中，由勾股定理得：，即，化简得： 由（1）可知y=，这里m=4，y=代入式整理得：，解之，得或x=2BP的长为或2