高中数学三角形中的边角关系的题型总结-正余弦定理的应用.doc

高中数学三角形中的边角关系正余弦定理的应用一、知识要点1、 三角形内角和定理：A+B+C= ， = -(+)三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin=cos(+)， cos=sin(+)， tan=cot(+) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B)3、 三角形面积公式 absinC=bcsinA=casinB=其中p=（a+b+c）如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。4、 正弦定理=2RsinA sinB sinC a= b c sinA=，sinB=，sinC= a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC 适用类型：AASS，SSA A (2,1,0解) 务必注意有两解！4、三角形射影定理：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA,5、余弦定理 适用类型：SSSA，SASS，AASS(2,1,0解) 务必注意有两解！注：常选用余弦定理鉴定三角形的形状.5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c为三角形的最大边 + ABC是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tantan+tantan+tantan=1、若三角形三内角成等差数列，则B= 三边成等差数列，则0dB sinAsinB ，ABcosAcosB， 但sinA cosA 不一定成立，sinA +sinB +sinC cosA +cosB+cosC（2）反之，若任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，则ABC是锐角三角形；（3）若某一个角的正弦大于另一个角的余弦，不一定是锐角三角形；（4）若某一个角的余弦大于另一个角的正弦，cosAsinB，则ABC是钝角三角形。11、在锐角三角形中，任意一个角的正切大于另一个角的余切，tanAcotB， tanAtanB1，tanA+tanB+tanCcotA+cotB+cotC12、 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在中，AB是成立的_条件（答：充要）；（3）在中， ，则_（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_（答：）；（5）在中，若其面积，则=_（答：）；（6）在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_（答：）；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为（答：）；（8）在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）二、典型题型分类解析题型1：正、余弦定理例1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知中，则（ ） A B C D 或答案 C例2（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。例4（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练例5.在ABC中,已知a =,b=,B=45,求A、C及c.分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定ABC是否有解，有几解，亦可用余弦定理求解.解： B=4590,且b1.因为0C,所以C0,所以cos B=,故B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2=a2+c2-ac,又b2=ac,所以ac=a2+c2-ac,得a=c.因为B=,所以ABC为等边三角形.北2010ABC题型7：正余弦定理的实际应用例18（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。例19（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解：方案一：需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . 第一步：计算AM . 由正弦定理；第二步：计算AN . 由正弦定理；第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）. 第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN . 由正弦定理； 第三步：计算MN . 由余弦定理例20.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？考资三【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形内切圆的半径：，特别地，；3三角学中的射影定理：在ABC 中，4两内角与其正弦值：在ABC 中，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。四、课堂检测：1在中，若=1,C=, =则A的值为（ ） 2（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 答案：2 解：设由正弦定理得高考资源网由锐角得，高考资源网又，故，高考资源网3. 在ABC中，则的最大值是_ 4在ABC中，若则B的取值范围是_。5.在ABC中，如果不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）6.在ABC中，A为最小角，C为最大角， cos(2AC)，sin B，则cos 2(BC)_。解析：A为最小角，2ACAACABC180.cos(2AC)，sin(2AC).C为最大角，B为锐角又sin B，故cos B.即sin(AC)，cos(AC).cos(BC)cos Acos(2AC)(AC)，cos 2(BC)2cos2(BC)1.答案：7.已知ABC的周长为6，成等比数列，求（1）ABC的面积S的最大值；（2）的取值范围高考资源网7. 解：设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b=ac 在ABC中得,故有又从而高考资源网（），即（）高考资源网高考资源网 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com五、课后基础练习 -三角形中的边角关系1在中，则等于（ ） A B C D22在中，已知，那么一定是（ ） A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形3在中，若，则的值为_5已知、是的三个内角，若和分别是关于的方程的两个实根，则角_；实数的取值范围是_6在中，角、所对的边分别是、，且 求的值； 若，的面积，求7在中，角A、B、C的对边分别为、，且 求角B的大小； 若，求的面积8在中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，且，若向量，且 求A的大小； 求的值9在中，、为角A、B、C的对边，且 求的值； 若，求的最大值10在中，角A、B、C的对边为、，且. 求角的大小； 设向量， ，且的最大值为5，求实数的值11在中，角A、B、C所对的边分别是、， 求的值； 若最长的边为1，求最短边的长12在中，、为三个内角， 若，求角； 若恒成立，求实数的取值范围六、课后基础练习答案：1C 2B3 4， 5；6解：= 分 由 由余弦定理a2=b2+c22bccosA可得： .7 解法一：由正弦定理得 将上式代入已知即 A+B+C=，为三角形的内角，. 解法二：由余弦定理得， 将上式代入 整理得 为三角形的内角，. 将代入余弦定理得 8解：（1）由m/n得 即 舍去 （2）由正弦定理， 9解：（1）由已知得 ， 又 （2）由余弦定理，得 即 当且仅当时取等号. 所以ac的最大值为9.10解：（I）因为所以整理得所以，因为 （2）设所以，当取得最大值.依题意，符合题意.所以，. 11解：（I）因为所以B为锐角，所以所以， 又所以tanC=1. （）由所以c边最大，即c=1. 又因为边最小.因为 所以，12解：（） = 因为 ，所以B=30或B=150. （）因为0B，所以2sinB的最大值为2，所以