第四章_静态场边值问题解法15大作业

1 电磁场边值问题的数值解法 由于在许多实际应用中 电磁场的边界条件过于复杂而使得 无法采用精确的解析解 因此 往往采用数值解 常用的有 其中 有限差分法 是数值解的一种较简单的解法 作为数值解 法的入门 本课程只对该内容进行介绍 有限差分法 Finite diffence method 有限单元法 finite element method 矩量法 method of moment 简称 MOM 每种方法都是将一个连续域分成有限个离散点 然后求解一 系列代数方程 需要计算机编程 而不是微分或积分方程 五 数值法 2 有限差分法的基本思路 在用有限差分法求解经典问题时 首先 需要把求解的区域划分成网格 如正方网格 把 求解区域内连续的场分布 用求网节点上的离散的数值接代 替 只要将网格划分得充分地细 就能达到足够的精确度 当然 网格划分越细 精度也就越高 但同时 所花费的计 算时间也就越长 其次 就是将静场问题的微分方程化为 差分方程 然后 进行求解 关于网格的划分 有不同的方法 下面以 正方形网格 最 简单情况下的一种处理方法 为例 说明有限差分求解静态 场问题的思路 故1点的电位为 设X轴上邻近O点的一点的电位为 x 用泰勒公式展开为 3点的电位为 当h很小时 4阶以上的高次项都可以略去 得到 同样地 由2点和4点的电位 可以得到 将上两式再相加 得到 考虑到 在二维情况下 有 泊松方程为 0 2 2 2 2 yx 得到 上式表明 任一点的电位等于围绕它的四个点的电位的平均值 当用网络将区域划分后 对于每一个网络写出类似的式子 就 得到方程数 与未知电位的网格点数目相等的线形方程组 已知 的边界条件在离散化后成为边界上的节点的已知电位值 其中 时称为泊松方程的 有限差分方程 0 F 时 就得到拉普拉斯方程的有限差分方程 即 0 以一顶部电位为1000V 两侧及底部的电位为零的正方形 截面的无限长金属盒为例 为说明问题方便 在正方形区 域内的水平和垂直方向各画三条平行的等间距直线 如图 所示 从而 有 或 或 用矩阵可表示为 上面的线性方程可由计算机编程求解 在实际的工程问题中 为了满足足够的计算精度 网格的划分 是非常细的 因此即使采用计算机编程求解 其工作量也是很 大的 3 迭代法 3 1 简单迭代法 其步骤是 1 先对每 格点设一初值 这个初值完全可以 任意 给定 但较好的估计初值 可以较快 地求得解 用有限差分法求解金属盒内电位初值 右图是初步确定初值的步骤及结果 2 按固定顺序依次计算每点新值 即 n ji n ji n ji n ji n ji 1 11 1 1 4 1 3 迭代终止 当所有格点电位迭代出的值均满足 nn 1 其中 为事先设定的精度 如 10 10 则迭代终止 对于格点数较多的边值问题 叠代过程需编程由计算机来完成 3 2 超松弛 successive over relaxation SOR 法 简单迭代法在解决问题时收敛速度比较慢 通常实用价值不 大 为减少叠代次数 实际应用中常采用超松驰法 1 采用 松驰法 或 赛德尔法 在计算每一网格点电位时 把刚才计算得到的邻近点的电 位新值代入 即 1 1 1 11 1 1 4 1 n ji n ji n ji n ji n ji 由于提前使用了新值 使得收敛速度加快 2 引入 松驰因子 加速因子 acceleration factor 将上式作一定的调整 n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji 1 1 1 11 1 1 4 4 1 上式改写为 等式右边的第二项 括号 为 的修正项 为了加快收 敛 引进一个 松驰因子 ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji 1 1 1 11 1 1 4 4 大于 1为 超松弛 小于 1 为 欠松弛 z松驰因子一般取在 1 2之间 视具体情况而定 z松弛因子选得越好 收敛速度越快 z最佳松弛因子的选取 需由实验来确定 考虑如图所示 节点 1 2 3 4初始点位为 50v 终止精度为 0 1v 选择加速因子为 1 0 6次迭代之后收敛到 V1 37 5v V2 37 5v V3 12 5v V3 12 5v 大作业 如图所示矩形电位槽 U 0 100V a 10cm b 5cm 求 槽内电位分布情况 要求 利用迭代法求解 终止精度为 10 6 v 网格节点数为 40 40 并利用 contour命令画出 电位线图