华罗庚学校数学教材(六年级上)第11讲棋盘中的数学(二).doc

本系列共 14 讲第十一讲 棋盘中的数学（二）棋盘覆盖的问题. 文档贡献者：winner_d1975有这样一道竞赛题：例 1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）34 （B）35 （C）44（D）45 （E）63 解：通过试验，很容易看到，应选择答案（B） 这类问题，容易更加一般化，即用 21 的方格骨牌去覆盖一个mn 的方格棋盘的问题定理 1： mn 棋盘能被 21 骨牌覆盖的充分且必要的条件是 m、n中至少有一个是偶数证明：充分性：即已知 m，n 中至少有一个偶数，求证：mn棋盘可被 21 骨牌覆盖不失一般性，设 m2k，则 mn2knk(2n)=.易知可被 n 个 21 骨牌覆盖，所以 mn 棋盘可被 kn 个 21 骨牌覆盖。必要性：即已知 mn 棋盘可以被 21 骨牌覆盖求证：m，n中至少有一个偶数若 mn 棋盘可被 21 骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即 mn 是个偶数，因此 m、n 中至少有一个是偶数例 2 下图中的 88 棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格， 问能否用 31 个 21 的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？分析 刚一想，31 个 21 骨牌恰有 62 个小方格，棋盘去掉两个 角后也是 62 个格，好像很有可能盖住但只要简单一试，便发现不 可能仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，21 骨牌 一次只能盖住一个黑格与一个白格只要发现这个基本事实立即可以 找到解答。解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62 个格中有黑格32 个，白格 30 个另外，如果用 21 骨牌 31 张恰能盖住这个残 角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31 个 骨牌将盖住 31 个黑格及 31 个白格这与 32 个黑格数，30 个白格数 的事实相矛盾所以，无论如何用这 31 张 21 的骨牌盖不住这个残 角棋盘例 3 在下图（1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）四个图形中：可以用若干块和 拼成的图形是第几号图形？解：图形（1）和（2）中各有 11 个方格，11 不是 3 的倍数，因 此不能用这两种图形拼成。图形（3）的右上角只能用来拼，剩下的图形显然不能用这 两种图形来拼。只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有 多种，下图仅举出一种为例说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的因为一个图形可 以用若干块 和盖住，这个图形的小方格数一定是 3 的倍数。因此，小方格数不是 3 的倍数的图形一定不能用 与 形的“骨牌”盖住，这是“必要条件排除法”但要注意，一个图形小方格数是 3 的倍数，也不能保证一定能用 与盖住。这 表明这个条件并不充分，图形（3）表明的就是这种情况例 4 2n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的充分且必要的条 件是 3n证明：充分性：即已知 3n，求证 2n 棋盘可被 骨牌覆盖。若 3n 时，设 n3k，则 2n23kk（23）由于两个可拼成一个 23 小棋盘，这时 2n 恰为 k 个 23 组成，所以当 3n 时 2n 棋盘可以被若干个形盖住。必要性：即已知 2n 棋盘可以被骨牌覆盖，求证：3n。 设 2n 棋盘被 x 个形覆盖，则2n3x则 32n，但（2，3）1，3n说明：例 4 的结论为我们制定 mn 棋盘能否被形覆盖提供 了一种思考方法比如，若 3n 且 2m 时， mn 棋盘可分成若干个 2n 棋盘，而每个棋盘都能被形盖住，因此 mn 棋盘可被 形盖住。例 5 一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形， 每种图形都由 4 个面积为 1 的小方格组成现用 7 个这样的图形拼成 一个 74 的长方形（可以重复使用某些图形）那么，最多可以用上 面七种图形中的几种？分析 用七个图形，共 4728 个方格，要是能拼成 47 的棋 盘，小格数一样，这表明存在可能性。显见由型七个，可以拼成 47 的棋盘；由 4 个 型及 3 个也可以拼成 47 的棋盘。这时采用了小“方块”中的两种。这样试下去，我们会发现，由七种方块中的 6 种可以拼成 47 棋盘格，如下图所示。但要将七种“方块”每个都只用一次，要拼成 47 棋盘，试几次会 发现拼不出来。因此我们会想到，是不是不可能呢？下面我们证明这 一点。证明：用 6 种“方块”构成 47 棋盘已如上图所示 下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成 47 的长方形棋盘将长方形的 28 个小方格如下图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为 14。若能用 7 种“方块”拼成，则必占据了 3 个黑格一个白格或 3 个白格 1 个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各 2 个因此，7 种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等 于 14综上所述，要拼成 47 的方格，最多能用上七种“方块”中的6 种图形。例 6 由 11、 22、33 的小正方形拼成一个 2323 的大 正方形，在所有可能的拼法中，利用 11 的正方形最少个数是多少？ 试证明你的结论解：用 11 的正方形至少一个第一步：中心放一个 11 的正方形，剩下的 4 个 1112 的矩形 ， 是可以用 6 个 22 正方形和 12 个 33 正方形拼成的，如下图所示第二步：不用 11 而只用 22 与 33 的正方形是拼不成的将2323 的大正方形的 1，4，7，10，13，16，19，22 各行染红色， 其余各行染蓝色如下图任意 22 或 33 正方形都将包含偶数个蓝 色小格，但蓝格总数是 2315，是个奇数，矛盾所以不用 11 的 小正方形是拼不成 2323 棋盘的。综上所述，要拼成 2323 棋盘，至少要用一个 11 的小正方形 例 7 88 的棋盘能否用 15 个形骨牌和 1 个 形骨牌覆盖？解：如下图用黑白二色相间涂染 88 棋盘，总计有 32 个黑格 及 32 个白格。当我们把 放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格。当我们把形骨牌任意盖在 88 棋盘上时，要么它盖住三黑一白（称为第类），要么它盖住三白一黑（称为第类），总之一个盖住奇数个（3 个，或 1 个）白格。假设用 15 个形骨牌和 1 个 形骨牌可以覆盖这个 88 棋盘，则 15 个形骨牌将盖住=奇数个白格 。1 个 形骨牌盖住 2 个白格。所以 15 个形骨牌和 1 个形骨牌共盖住：奇数2=奇数个白格。这与 88 棋盘上共有 32 个白格的总数相矛盾。所以 88 的棋盘不能用 15 个 关于棋盘的覆盖问题我们简单介绍到这里，并且只是个别的例题，作为入门的先导罢了！习题十一1，在 44 的正方形中，至少要放多少个形块，使得在不 重叠的情形下无法再在正方形中多放一个形块？2，3 个形块和一个字块能否盖 44 的棋盘纸？3，证明一个 59 的棋盘能被形块覆盖。4求证 44 棋盘格切去左上角与右下角两个格后的残角棋盘， 不能用 7 个 12 骨牌所覆盖5请将如下图所示的 66 棋盘分成两块，使得两块的形状和大 小都相同，并且每一块中都含有 A、B、C、D、E 五个字母。