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概率论与数理统计期末练习题（2011.12） 姓名 参考答案 1袋中有4个白球，6个黑球；从袋中任取3个球，并记取到2个白球和1个黑球，求概率 题型：古典概率。2已知 ，求条件概率 题型：条件概率，加法公式；3设随机变量的概率分布为，为常数，求的值（因，得）4若事件和满足，则和独立证：因 化简得：，故和独立.5将两信息分别编码为和传递出去，接收站收到时，被误作的概率为，而 被误作的概率为，信息与信息传递的频繁程度为，求（1）接收站收到的信息是的概率；（2）若接收站收到的信息是，求原发信息是的概率题型：全概率公式与贝叶斯公式（1） 接收站收到的信息是的概率（2） 若接收站收到的信息是，则原发信息是的概率6设随机变量，已知，求的值题型：正态分布化为标准正态分布；若，则解：因得7设随机变量服从的均匀分布，服从参数为的泊松分布，服从 分布，且，相互独立，求方差 题型：用重要分布的期望或方差，性质，求方差（或期望）解：由题意 （方差的性质）， （用到均匀分布的方差为；泊松分布的方差为，正态分布的方差）8设随机变量服从指数分布，即其概率密度为，服从的的二项分布，X与Y的相关系数为，求. 解：因 （性质） （用到指数分布的方差=，二项分布的方差=；）9设随机变量的概率密度函数为，求(1)常数；（2）的分布函数；（3）概率题型：一维连续型随机变量的题型解：（1）因，得， （2）的分布函数（3）概率思考：求期望， 方差10随机变量的分布律为0120025010（1） 试确定常数； （2）的分布函数；（3）求概率.解：（1）常数（2）的分布函数（3）概率11.设二维随机变量的概率密度为（1）求常数；（2）求关于和关于的边缘概率密度； 并问与是否相互独立？（3）求概率.解： (1) ;即，得 （2）关于的边缘概率密度= 关于的边缘概率密度: = 显然当时; 所以与不相互独立. (3) = （或=+）=12.设随机变量的概率分布律为： X Y012-10.30.10.2 10.10.30求：（1）关于和的边缘分布律；（2）关于的分布律； （3），协方差.解：（1）关于的边缘分布律: 0120.40.40.2 关于的边缘分布律：-110.60.4（2）因的取值为故的取值为: 0 0 -1 1 -2 2所以的分布律为-2-10120.20.10.40,30 （3） 故 故 13设随机变量相互独立，且都服从相同的指数分布，概率密度函数为，试用中心极限定理求概率的近似值. （结果用标准正态分布函数表示）题型：中心极限定理，近似公式： 期望，为均方差解：由题意，由中心极限定理概率14. 设是来自总体的样本，（1）证明：； 是总体均值的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由）证（1）因 同理，故是总体均值的无偏估计量解：（2）同理比较大小，得较有效15.设总体具有概率密度,其中是未知参数.又为来自该总体的一个样本，为样本值.试求未知参数的矩估 计量与最大似然估计量.题型：参数估计（点估计）解：（1）求矩估计因令，得，故参数的矩估计量为.（2）似然函数 （注：，连乘）取对数 （注：）令 ，得 故的最大似然估计量为.（注：为大写）16.设某种清漆的干燥时间服从正态分布，现随机地抽取9个样品，测得干燥时间的均值（小时），样本均方差，为未知，求的置信水平为95%的置信区间(,精确到第二位小数).题型：关于总体均值的置信区间（为未知）解：这里，故 的置信水平为95%的置信区间为： 即置信区间为 17某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取5件，测得样本方差，问根据这一数据能否推断该批产品的方差较以往的有显著的变化？(取显著性水平)（即检验假设： ）（，）解：由题意，需检验假设：； 拒绝域为：；计算：，在拒绝域内，即可以认为方差是不正常。18.设随机变量，的概率密度为，且相互独立。求的密度函数解：由题意随机变量的密度函数为随机变量的概率密度为：考虑区域： 得： 15
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