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向量的概念及运算【知识要点】1向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量。向量一般用,表示，向量的大小即向量的模 记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 (2)零向量:长度为0的向量，记为，其方向是任意的，规定平行于任何向量. (3)单位向量:模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。 (4)平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量。 (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.2向量的运算(1)向量加法:设，则+=。向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(2)向量的减法 :表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。(3)实数与向量的积:记作，；数乘向量满足交换律、结合律与分配律当0时，的方向与的方向 ； () 当0时，的方向与的方向 ； () 当0时， () 3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4. 平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任 一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底。【典例解析】例1.如下图，以向量为边作平行四边形OADB，C为对角线的交点，试用a，b表示。例2.已知是两个不共线的非零向量，它们的起点相同，且三个向量的终点在一条直线上，求实数的值。【巩固练习】一选择题：1.在平行四边形ABCD中，+等于 （ ） A. B. C. D.2.设不共线，与平行，则实数的值是 （ ） A. B. C. D.不能确定3.设为单位向量，若为平面内的某个向量，则=|；若与a0平行，则=|；若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 34.M是ABC的重心，则下列各向量中与共线的是 （ ） A.+ B.3+ C. + D.+ +5.设平面向量、的和。如果向量、，满足， 且顺时针旋转后与同向，其中，则 （ ） A. -+= B. -+= C. +-= D. +=6.过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若， 则的值为 （ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）17.已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a+b表示A. 向东北方向航行2km B. 向北偏东30方向航行2kmC. 向北偏东60方向航行2km D. 向东北方向航行（）km 8.已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P，若若 实数满足，则实数等于 （ ） A B C 1.5 D.39. 已知等差数列的前n项和为，若，且 三点共线（该 直线不过点O），则等于 （ ）A.100 B101 C200 D20110.如图：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边 界），且，则实数对（x,y）可以是 （ ） A. B. C. D. 11.已知ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系是 ( )A. P在ABC的内部 B. P在ABC的外部 C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点12O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的 （ ）A外心B内心C重心D垂心二、填空题 13.给出下列命题：若|，则=；若=，=，则=；若/，/，则/；=的充要条件是|=|且/；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；其中正确的序号是 。 14.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： = ， = ， = 。 15.在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 16.是平面内不共线两向量，已知，若 三点共线，则= 17.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， 则实数m = _ 18.已知O是ABC内一点，3，则AOB与AOC的面积的比值为_ 三、解答题ABNMDC19.如图,ABCD是一个梯形, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和20.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2) 求证:A、B、D共线; 试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.21.(1)如图,已知, 作出+, -2 (2) 如图,已知,+作出 (3) 如图,已知,-2.作出,+,-2【反思总结】
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