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考点一：函数、导数、不等式模型例1、（江苏金湖第二中学2009届）（本小题满分16分）某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示第t天4101622Q（万股）36302418（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？解：（1）4分（2）设的坐标代入，得日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为9分（3）由（1）（2）可得即当；当上是减函数，所以，第15日交易额最大，最大值为125万元 15分例2、（江苏省2012年高考考前数学试卷）（本小题满分14分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)设05,试确定下潜速度,使总的用氧量最少.例3、(本小题满分13分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；（）现有两个奖励函数模型：(1)y；(2)y4lgx3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 解析:（）设奖励函数模型为yf(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x10，1000时，f(x)是增函数；f(x)9恒成立；恒成立. （3分）（）（1）对于函数模型：当x10，1000时，f(x)是增函数，则.所以f(x)9恒成立.因为函数在10，1000上是减函数，所以. 从而，即不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型f(x)4lgx3：当x10，1000时，f(x)是增函数，则. 所以f(x)9恒成立.设g(x)4lgx3，则.当x10时，所以g(x)在10，1000上是减函数，从而g(x)g(10)10.所以4lgx30，即4lgx3，所以恒成立.故该函数模型符合公司要求. （13分）例4、因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄露到一鱼塘中。为治理污染，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放 个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中。若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和。根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效的治污的作用。（）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达几天？（）若因材料紧张，第一次只能投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值（精确到01，参考数据：取14）。解：1）因为 ，所以，当时，由，解得，所以此时。 当时，由，解得，所以此时。综合得，即，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天。（2） 当时， ，由题意知，对于恒成立。因为，而，所以，故当且仅当时，有最小值为，令，解得，所以的最小值为。又，所以的最小值约为16。 例5、（连云港市2011届高三一轮复习模拟考试数学试题）（本小题15分）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时间x(小时)的关系为，其中a与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作. (1)令，求t的取值范围；（2）求函数；（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？ 解: （1）,时，.时，.。4分（2）令.当，即时，；当，即时， 。所以10分（3）当时，是增函数，；当时，是增函数，.综上所述，市中心污染指数是，没有超标. 15分例6、（本小题满分14分）一条小船在如图所示的Y型河流中行驶，从逆流行驶到，再从顺流行驶到，间航程和间航程相等，水流的速度为3km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h）的平方成正比.（1）当船在段、段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水中的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？考点二：三角函数模型例1、如图5，一架飞机原计划从空中处直飞相距的空中处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在处沿与原飞行方向成角的方向飞行，在中途处转向与原方向线成角的方向直飞到达处已知在飞行路径中，求；图5求新的飞行路程比原路程多多少（参考数据：，）例解析：解：（1）由条件得。 曲线段FBC的解析式为 当x=0时，CDEF， 。6分 （2）由（1）可知。 ，“矩形草坪”的面积为 。12分 例3、（江苏省扬州市2010-2011学年度第一学期期末调研测试）（本小题满分15分）某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为，通过金属杆支撑在地面处（垂直于水平面），是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面，设金属杆所在直线与圆环所在水平面所成的角都为。（圆环及金属杆均不计粗细）（1）当的正弦值为多少时，金属杆的总长最短？（2）为美观与安全，在圆环上设置个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆的总长最短，对比（1）中点位置，此时点将会上移还是下移，请说明理由。解：（）设为圆环的圆心，依题意，CA1O=CA2O=CA3O=，CA1=CA2=CA3=，CO=，设金属杆总长为ym，则=，（），当时，；当时，当时，函数有极小值，也是最小值。 7分（）依题意，=，当时，；当时，当时，函数有极小值，也是最小值。13分当n4时，所以C点应上移。 15分考点三：数列模型例1、祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务。某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元设表示前n年的纯收入（=前n年的总收入前n前的总支出投资额）（I）从第几年开始获取纯利润？（II）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为 3分（I）纯利润就是要求 解得 知从第三年开始获利。 6分（II）年平均利润当且仅当n=6时取等号故此方案先获利616+48=144（万美元），此时n=6， 9分 当n=10时，故第种方案共获利128+16=144（万美元）， 12分故比较两种方案，获利都是144万美元。但第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第方案 13分例2、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%（I）求第n年初M的价值的表达式；（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新 考点四：解析几何模型考点五：综合型例1、（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形。已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H。设弧AD的长为，。（1）求关于的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角满足：时，招贴画最优美。例2、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小ADBC60h（）求外周长的最小值，并求外周长最小时防洪堤高h为多少米？（）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？解：（1），ADBC+2=BC+， ，设外周长为，则 当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时堤高为米(2)设，则,是的增函数，(米)（当时取得最小值）例3、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（1）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时） 解：（）由题意：当；当 再由已知得 故函数的表达式为（2）依题意并由（1）可得 8分当0x20时，f（x）为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；9分当20x200时，f（x）x（200x）210分当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f（x）在区间20,200上取得最大值11分综上，当x100时，f（x）在区间0,200上取得最大值3333即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时12分
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