九年级数学第二十七章相似三角形难题易错题.docx

1如图所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF2如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F若AB=a，AD=c，BE=b，则BF= 3如图所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求证：4如图所示，ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G求证：5一条直线截ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F求证：6如图所示P为ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d7如图所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF8已知：P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：9如图所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN10P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）求证：11如图所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB12已知P为ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于213如图所示在ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求证：EFAB14如图所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH15已知M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PMQM求证：PQ2=PB2+QC216如图所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC17如图所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2=PAPC（提示：设法证明PABPBC）18已知：如图，ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1求证：CEAD19如图所示，ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值20.在ABC中，ABC=124求证：1AB+1AC=1BC提示：要证明如几何题的常用方法：比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变为，利用相关定理将两个个比通分即：2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2小题）1如图所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF考点：平行线分线段成比例725636 专题：计算题分析：由于BC是ABC与DBC的公共边，且ABEFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF解答：解：在ABC中，因为EFAB，所以EF：AB=CF：CB，同样，在DBC中有EF：CD=BF：CB，+得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得x：6+x：9=1，解得x=故EF=厘米点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算2如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F若AB=a，AD=c，BE=b，则BF= 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质725636 专题：计算题分析：首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：EFBEOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值解答：解：取AB的中点M，连接OM，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OB=OD，OMADBC，OM=AD=c，EFBEOM，AB=a，AD=c，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答案为：点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17小题）3如图所示在ABC中，BAC=120，AD平分BAC交BC于D求证： 考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定725636 专题：证明题分析：过D引DEAB，交AC于E，因为AD平分BAC（=120），所以BAD=EAD=60若引DEAB，交AC于E，则ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可实现求证的目标解答：证明：过D引DEAB，交AC于EAD是BAC的平分线，BAC=120，BAD=CAD=60又BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，EA=ED=AD由于DEAB，所以CEDCAB，=1由，得=1，从而+=点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证CEDCAB是解题的关键4如图所示，ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G求证： 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质725636 专题：证明题分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB在EIH中，由于DFIH，=IH=AB，=，从而，=1+在OED与OBH中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，OEDOBH（AAS）从而DE=BH=AI，=1由，得=2点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题5一条直线截ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F求证： 考点：三角形的面积725636 专题：证明题分析：连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证解答：证明：如图，连接BE、AD，BDE与DCE等高，=，DCE与ADE等高，=，ADF与BDF等高，=，AEF与BEF等高，=，=，=1点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比6如图所示P为ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质725636 专题：计算题分析：由FGBC，HICA，EDAB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得IHBAFGABC，于是=，=，再结合=，先计算式子右边的和，易求+=2，从而有+=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可解答：解：FGBC，HICA，EDAB，四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，IHBAFGABC，=，=，+=，又DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，DE+AF+BI=2（AI+IF+FB）=2AB，+=2，DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，+=+=2，+=2，解得d=306点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质7如图所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF考点：平行线分线段成比例725636 分析：由平行线的性质可得=，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长解答：解：ADBC，EFBC，=，又=，=，OE=BC=，OF=AD=，EF=OE+OF=15点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题8已知：P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：考点：相似三角形的判定与性质725636 专题：证明题分析：由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可解答：证明：在平行四边形ABCD中，则ADBC，ABCD，=1点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握9如图所示，梯形ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN考点：相似三角形的判定与性质；梯形725636 专题：计算题分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长解答：解：MNBC，在ABD中，=，即OM=，同理ON=，MN=OM+ON=点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握10P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）求证：考点：平行线分线段成比例725636 专题：证明题分析：（1）由平行线可得PIFCAB，得出对应线段成比例，即=，同理得出=，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同解答：证明：（1）DEAB，IHAC，FGBC，可得PIFCAB，=，同理=，+=+=1（2）仿（1）可得=，=，+=+=1点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论11如图所示在梯形ABCD中，ABCD，ABCD一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB考点：相似三角形的判定与性质；梯形725636 专题：计算题分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论解答：解：ABCD，EF=FG=CH=HI=IJ，=，=，=，DJ=4AE，又=，解得AB=AE，又AE=CJ，AB=CJ，EB=4CJ，=，CD=5CJ，AB：CD=：5=1：2点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握12已知P为ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2 考点：平行线分线段成比例725636 专题：证明题分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即PBC+PAC+PAB=ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设，即3ADPD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论解答：解：（1）由面积概念得：SPBC+SPAC+SPAB=SABC整理等式得：+=1，由面积概念得：=，=，=，即=同理得：=把式、代入式得：；（2）由，知，中至少有一个不大于，不妨设即3ADPD而AD=AP+PD，AP2PD，2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题13如图所示在ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求证：EFAB考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质725636 专题：证明题分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFMAB，从而EFAB解答：证明：过B作BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于HAE是BAC的平分线，BAE=CAEBGAC，CAE=G，BAE=G，BA=BG又BDAG，ABG是等腰三角形，ABF=HBF，F到AB与BH的距离相等，SABF：SHBF=AB：BH，SABF：SHBF=AF：FH，AB：BH=AF：FH又M是BC边的中点，且BHAC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，AB：AC=AF：FHAE是ABC中BAC的平分线，AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即（AM+MF）：（AMMF）=（BM+ME）：（BMME）（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME在MEF与MAB中，EMF=AMB，MEFMABABM=FEM，所以EFAB点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B引BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H和利用合分比定理14如图所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质725636 专题：证明题分析：要证QHDH，只要证明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，从而HBQ=HCD，因而BHQ与DHC相似解答：证明：在RtPBC中，BHPC，PBC=PHB=90，PBH=PCB显然，RtPBCRtBHC，=，由已知，BP=BQ，BC=DC，=，=ABC=BCD=90，PBH=PCB，HBQ=HCD在HBQ与HCD中，=，HBQ=HCD，HBQHCD，BHQ=DHC，BHQ+QHC=DHC+QHC又BHQ+QHC=90，QHD=QHC+DHC=90，即DHHQ点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法15已知M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PMQM求证：PQ2=PB2+QC2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理725636 专题：证明题分析：以M点为中心，MCQ顺时针旋转180至MBN，根据旋转的旋转可得MCQ与MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形对应角相等可得，MBN=C，再连接PN，可以证明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后证明PBN为直角三角形，根据勾股定理即可证明解答：证明：如图，以M点为中心，MCQ顺时针旋转180至MBN，MCQMBN，BN=QC，MN=MQ，MBN=C，连接PN，PMQM，PM垂直平分NQ，PN=PQ，ABC是直角三角形，BC是斜边，ABC+C=90，ABC+MBN=90，即PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，PQ2=PB2+QC2点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键16如图所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC考点：相似三角形的判定与性质；平行线的判定725636 专题：证明题分析：由题中条件可得AC=AF，即ACF是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出ECF=EFC，结论得证解答：证明：ACB=90，CDAB，CAD=BCD，又AE平分CAB，CF平分BCD，BCF=CAE，B=ACD，B+ECF=B+BCF，即ACF=AFC，又AE平分CAB，AC=AF，CE=EF，即ECF=EFC，EFC=BCF，即EFBC点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握17如图所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2=PAPC（提示：设法证明PABPBC）考点：相似三角形的判定与性质725636 专题：证明题分析：用APB=APC=120，CBP=BAP两个对应角相等证明PABPBC，根据相似比可证到结论解答：证明：APB=120，ABP+BAP=60，又ABC=60，ABP+CBP=60，CBP=BAP，又APB=APC=120，ABPBCP，=，BP2=PAPC点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论18已知：如图，ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1求证：CEAD考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形725636 专题：证明题分析：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，从而可推出ACBF，根据平行线的性质可得到两组对应角相等从而可判定ACEBFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF，进而得到CD=BF，再利用HL判定ACDCBF，由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论解答：证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，（1分）FBC=ACB=90ACBFACEBFE（3分）AC=2BF（4分）AC=BC，CD=BF（5分）在ACD和CBF中，ACDCBF（6分）1=22+3=1+3=904=90CEAD（7分）点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合运用19（巧解妙解）如图所示，ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值 考点：平行线分线段成比例725636 专题：应用题分析：作已知图形的中心对称图形，如图所示，设BF=a，FG=b，GE=c，由平行线的性质分别求出a，b与c之间的关系，即可得出其比值解答：解：如答图所示作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心令BF=a，FG=b，GE=cMCAM，NCANa：（2b+2c）=BM：MC=1：2a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1a+b=4c，所以a=c，b=cBF：FG：GE=5：3：2点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法20.在ABC中，ABC=124求证提示：要证明如将原等式变为，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及ABAC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC相似，期望能解决问题证 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=ABAC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED下面证明，ADEABC设A=，B=2，C=4，则:A+B+C=7=180由作图知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以 ACE=180-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=从而EAB=2EBA，AEBEAE=AC，AE=BD， BE=BD，BDE是等腰三角形，DBEDCAB， ABCDAE，